2024-2025学年福建省泉州市泉港一中高一（上）第一次月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年福建省泉州市泉港一中高一（上）第一次月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，又，那么集合的真子集共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
2.已知集合，集合，若，则( )
A. B. C. D.
3.下列对应关系：
，，：的平方根
，，：的倒数
，，：
，，：其中是到的映射的是( )
A. B. C. D.
4.已知实数，则函数的最小值为( )
A. B. C. D.
5.下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，，则
C. 若，，则 D. 若，，则
6.设函数，则不等式的解集是( )
A. B.
C. D.
7.区间是关于的一元二次不等式的解集，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.已知函数，，若对于任一实数，与至少有一个为正数，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列四个结论中，正确的结论是( )
A. 与表示同一个函数．
B. “”的充分不必要条件是“”．
C. 已知，，则的取值范围的取值范围是．
D. 函数的值域为．
10.下列说法正确的有( )
A. 的最小值为．
B. 函数的最小值为．
C. 若，为正实数，若，则的最小值为．
D. 设，为正实数，若，则的最大值为．
11.对，表示不超过的最大整数，如，，我们把，叫做取整函数，也称为高斯函数以下关于“高斯函数”的命题，其中是真命题有( )
A. ，，
B. ，，若，则
C. ，
D. 不等式的解集为，
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知命题：，，则的否定是______，命题是______填入“真”或“假”命题．
13.若函数的定义域是，则函数的定义域是______．
14.已知函数，若关于的不等式恰有两个整数解，则实数的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知集合，．
若，求；
若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围．
16.本小题分
已知，．
若不等式对于一切实数恒成立，求实数的取值范围；
求不等式的解集．
17.本小题分
某开发商计划年在泉州开发新的游玩项目，全年需投入固定成本万元，若该项目在年有万人游客，则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元．
求年该项目的利润万元关于人数万人的函数关系式利润销售额成本；
当年的游客为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少．
18.本小题分
已知函数．
求函数的解析式；
设，若存在使成立，求实数的取值范围．
19.本小题分
取名于荷兰数学家鲁伊兹布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理该定理表明：对于满足一定条件的图象连续不间断的函数，在其定义域内存在一点，使得，则称为函数的一个“不动点”若，则称为的“稳定点”将函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为和，即，，已知函数．
当，时，求函数的不动点；
若对于任意，函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围；
若时，且，求实数的取值范围．
参考答案
1.
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12.， 假
13.
14.
15.解：若，则，或，
又，
．
是的充分不必要条件，，
当时，则，，
当时，则，解得，
综上：，
实数的取值范围是．
16.解：因为，
则不等式，可化为，
即对于任意的实数恒成立，
当时，即时，不等式为，解得，不符合题意；
当时，则满足，解得，
综上可得，实数的取值范围为．
由不等式，可得，即，
当时，不等式可化为，解得，即不等式的解集为；
当时，方程的解为或，
当时，，不等式的解集为或；
当时，
当时，即，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为，
当时，，不等式的解集为．
综上可得：当时，原不等式的解集为；
当，原不等式的解集为或，
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为．
17.解：某开发商计划年全年投入固定成本万元，若该项目在年有万人游客，
则需另投入成本万元，且，该游玩项目的每张门票售价为元，
则，
又，
所以，
即；
当时，单调递增，且当时，
所以，
当时，，
则在上单调递增，所以，
当时，，
当且仅当即时等号成立，故，
，
综上，游客为万人时利润最大，最大为万．
18.解：解法一：，．
又，．
解法二：令，则由于，所以．
代入原式有，
所以．
，．
存在使成立，
在时有解．
令，由，得，
设．
则函数的图象的对称轴方程为，
当时，函数取得最小值．
，即的取值范围为．
19.解：当，时，，
设为不动点，因此，
即，，
解得或，
所以，为函数的不动点．
因为恒有两个不动点，
即恒有两个不等实根，
整理为，
所以恒成立．
即对于任意，恒成立．
令，
则有，即，
故或，又，
；
时，，
因为，所以有实根，
所以，所以，
记，则关于的方程的解为方程组的解的值，
两式相减可得，
因为，即要使与有相同的解，
则与的的解集相同，
所以方程无解或其解与相同，
即无解或其解为，
所以，
所以，
综上，所以实数的取值范围是．
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