2024-2025学年江苏省南通市海门中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年江苏省南通市海门中学高二（上）学情调研
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.直线的倾斜角大小( )
A. B. C. D.
2.已知直线过点且与直线垂直，则该直线方程为( )
A. B. C. D.
3.若方程表示一个圆，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知直线：，则“，”是“直线不通过第二象限”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
5.在直角坐标系中，若过原点的直线与圆：有公共点，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
6.直线过点，绕按逆时针方向转角，所得的直线为，若继续按逆时针方向转角，则得到直线，则直线的方程为( )
A. B. C. D.
7.在平面直角坐标系中，直线的方程为，若圆上有且仅有个点到直线的距离为，则直线的倾斜角为( )
A. 或 B. 或 C. D.
8.已知点，直线与轴，轴分别交于点，若以线段为边在第一象限内作等边，使得和的面积相等，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 若直线在两坐标轴上的截距相等，则
B. 若过点，的直线的斜率是，则
C. 两平行直线与之间的距离为，则或
D. 直线关于直线对称的直线为
10.已知点在圆：外，以线段为直径的圆和圆交于，两点，则( )
A. 直线与圆相切
B. 当时，
C. 当时，点的轨迹方程为
D. 当点坐标为时，直线的方程为
11.已知直线：与圆：交于，两点，与轴交于点，点为弦的中点，则( )
A. 的最小值为 B. 面积的最大值为
C. 存在定点，使得为定值 D. 有最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若直线：在轴上的截距为，则实数的值为______．
13.已知圆：与圆：有且仅有一条公切线，则该公切线方程为______．
14.“出租车几何”或“曼哈顿距离”是由十九世纪的赫尔曼闵可夫斯基所创词汇，是种被使用在几何度量空间的几何学用语在平面直角坐标系内，对于任意两点、，定义它们之间的“曼哈顿距离”为已知点，若点满足，则动点的轨迹的长度为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在平面直角坐标系中，设直线：，直线：．
若直线，求实数的值；
求证：直线过定点，并求出点的坐标；
当时，设直线，交点为，过作轴的垂线，垂足为，求点到直线的距离．
16.本小题分
已知函数．
解关于的不等式组；
若函数的图象与坐标轴有三个不同的交点，且经过该三点的圆与轴相切，求的值．
17.本小题分
已知圆的圆心在直线上，且与轴相切，直线被圆截得的弦长为．
求圆的方程；
若直线与圆相切，且与轴，轴分别交于点，．
写出关于的表达式；
求面积的最小值，并写出此时的直线的方程．
18.本小题分
已知，，点满足．
求点的轨迹方程；
过点作直线交轨迹于点，，交轴于点．
若，求直线的方程；
若，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由．
19.本小题分
规定：在桌面上，用母球击打目标球，使目标球运动，球的位置是指球心的位置，球是指该球的球心点两球碰撞后，且标球在两球的球心所确定的直线上运动，目标球的运动方向是指目标球被母球击打时，母球球心所指向目标球球心的方向所有的球都简化为平面上半径为的圆，且母球与目标球有公共点时，目标球就开始运动，在桌面上建立平面直角坐标系，解决下列问题：
如图，设母球的位置为，目标球的位置为，要使目标球向处运动，求母球的球心运动的直线方程；
如图，若母球的位置为，目标球的位置为，让母球击打目标球后，能否使目标球向处运动？
如图，设母球的位置为，目标球的位置为，能使目标球向处运动或处运动，求，的取值范围直接写出结果即可
参考答案
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15.解：直线：，直线：，
直线，
，
解得．
证明：直线：，
，
由，得，，
直线过定点．
当时，直线：，直线：，
解方程组，得，，，
过作轴的垂线，垂足为，，
直线的方程为：，即，
点到直线的距离．
16.解：不等式组为
当时，
或，
当时，
或，
当时，
当时，，
当时，或，
综上：当时，不等式组的解集为，
当时，不等式组的解集为，
当时，不等式组的解集为；
函数与坐标轴的三个不同的交点为，，，其中且，
设经过该三点的圆的方程为，
则解得
圆的方程为，
即，
该圆与轴相切，
，
解得．
17.解：因为圆的圆心在直线上，且与轴相切，
所以设圆的方程为，
圆心到直线的距离为，
又直线被圆截得的弦长为，
所以，
解得，
所以圆的方程为或；
因为直线与圆相切，且在轴，轴上的截距均为正数，
所以圆的方程为，
直线的方程为，即，
所以，
即为，
化为，
所以；
，
令则，
所以，
当且仅当即时，，
此时直线的方程为．
18.解：设，
因为，所以，
化简的点的轨迹方程：．
因为过点的直线与轴有交点，所以直线的斜率存在，
设直线的方程为，
由
消去得，，
设，，
则，
，
因为，所以，
所以，即，
由得，
代入，得，
解得．
，
则，，，
因为，
所以解得
为定值．
19.解：根据图，点，所在的直线方程为，
当，两球碰撞时，球的球心在直线上，并且球心在第四象限，
因此设，两球碰撞时，球的球心坐标为，
所以，则
解得，，所以，两球碰撞时，球的球心坐标，
因此母球的球心运动的直线方程为：，化简可得．
假设能使目标球向处运动，所以根据第一问知球需运动到处，
且到达处前不与目标球接触．
所以，，
因此，
因此为锐角，
过作于，那么点在线段上，
因此，
因此球的球心还未到直线上时，就会与目标球接触，
因此不能使目标球向处运动．
，．
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