2024-2025学年上海市闵行中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年上海市闵行中学高二（上）学情调研数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共4小题，共18分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“”是直线与圆相交的条件．
A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充分必要 D. 既非充分也非必要
2.已知为抛物线：的焦点，为上一点，且，则到轴的距离为( )
A. B. C. D.
3.已知曲线：，为坐标原点，则下列结论中正确的是( )
A. 曲线关于直线成轴对称图形
B. 经过坐标原点的直线与曲线有且仅有一个公共点
C. 直线：与曲线所围成的图形的面积为
D. 设直线：，当时，直线与曲线有两个公共点
4.在平面直角坐标系中，为坐标原点，设点，定义．
对于下列两个命题：
设点是直线上任意一点，则“使得最小的点有无数个”的充要条件是“”；
设点是椭圆上任意一点，则．
则下列判断正确的是( )
A. 真真 B. 真假 C. 假真 D. 假假
二、填空题：本题共12小题，共54分。
5.经过点、两点的直线的倾斜角为______．
6.方程表示一个圆，则实数的取值范围是______．
7.抛物线的焦点坐标是 ．
8.两条直线：和：平行，则 ______．
9.设两圆与圆的公共弦所在的直线方程为______．
10.直线关于点对称的直线方程是______．
11.直线与直线所成夹角的余弦值等于______．
12.已知直线：与曲线有两个公共点，则实数的取值范围是______．
13.双曲线与直线无公共点，则双曲线的离心率的取值范围为______．
14.圆：上恰好存在个点，它到直线的距离为，则的取值范围为______．
15.双曲线的左右焦点分别为、，过坐标原点的直线与相交于、两点，若，则 ______．
16.已知点是椭圆的右焦点，点到椭圆上的动点的距离的最大值不超过，当椭圆的离心率取到最大值时，则的最大值等于______．
三、解答题：本题共5小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
已知向量．
求向量与夹角的余弦值；
若向量，求实数的值．
18.本小题分
在平面直角坐标系中，已知的三个顶点，，．
求边所在直线的方程；
若的面积等于，且点的坐标满足，求点的坐标．
19.本小题分
如图，某苗圃有两个入口、，，欲在苗圃内开辟一块区域种植观赏植物现有若干树苗放在苗圃外的处，已知，，以所在直线为轴，中点为原点建立直角坐标系．
工人计划将树苗分别沿和两条折线段路线搬运至处，请判断哪条搬运路线最短？并说明理由；
工人准备将处树苗运送到苗圃内的点处，计划合理设计点的位置，使得沿和两条折线段路线运输的距离相等请写出所有满足要求的点的轨迹方程．
20.本小题分
已知圆：，点，为坐标原点．
Ⅰ若，求圆过点的切线方程；
Ⅱ若直线：与圆交于、两点，且，求的值；
Ⅲ若圆上存在点，满足，求的取值范围．
21.本小题分
已知椭圆的短轴长为，点在椭圆上．
求椭圆的标准方程；
设点在椭圆上点不在坐标轴上，证明：直线与椭圆相切；
设点在直线上点在椭圆外，过点作椭圆的两条切线，切点分别为，，为坐标原点，若和的面积之和为，求直线的方程．
参考答案
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16.：．
17.解：因为，
，，
设与的夹角为，
所以；
因为，，
又，
所以，解得．
18.解：因为、，
可得，
所以边所在直线的方程为，
整理得；
点到直线的距离，
又，因为，
即，即，
又点的坐标满足，
所以或，
解得或，
所以点的坐标为或．
19.解：的长度最短，理由如下：
由，可得，，又，
，，
路线的长度为，
路线的长度为，
，路线的长度最短．
设点，已知，
可得，
点所有可能的位置是以、为焦点的双曲线的右支并且在苗圃内的部分，
，即，又，，
点的轨迹方程为．
20.解：Ⅰ若，圆：，可得圆心为，半径为．
设斜率存在，过点的切线方程为：，在圆外，有两条切线方程．
则由，
解得：或．
过点的切线方程为，或．
Ⅱ直线：与圆交于、两点，设，，
，
联立方程组：，消去，可得：
消去，可得：
把代入解得：．
Ⅲ圆：，圆心为，半径，
圆心在直线上，
设坐标为，
，
可得：
化简可得：，
表示圆心为，半径的圆．
圆的圆心为，半径，
圆心在直线上，如图：
两圆心的最大距离为，
即两圆心的最大距离，
故得：，
解得：，
故得的取值范围是
21.解：由题知，，解得，
所以椭圆的标准方程．
证明：因为点在椭圆上，所以，即，
联立消去整理得，
即，即，显然方程有唯一解，
所以直线与椭圆相切．
设，，，
将代入，解得，
因为点在椭圆外，所以或，所以，
由可得，切线，的方程分别为，
因为点在切线，上，所以，
所以点，在直线，即直线的方程为，
联立得，，
则，
所以
，
记点，到直线的距离分别为，，
则，
因为和的面积之和为，
所以，
解得，所以的方程为或．
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