2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年福建省泉州市晋江市养正中学高二（上）月考
数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在空间四边形中，，分别为，的中点，则( )
A. B. C. D.
2.已知点，，，若，，三点共线，则，的值分别是( )
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
5.如图，在平行六面体中，，，，，则的长为( )
A.
B.
C.
D.
6.已知点在平面内，是平面的一个法向量，则下列点中，在平面内的是( )
A. B. C. D.
7.数学家欧拉于年在他的著作三角形的几何学中首次提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线已知的顶点为，，，则该三角形的欧拉线方程为( )
A. B. C. D.
8.在等腰直角三角形中，，点是边边上异于的一点，光线从点出发，经，反射后又回到点如图，若光线经过的重心，则三角形周长等于( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知直线：，则下列结论正确的是( )
A. 直线的一个法向量为
B. 若直线：，则
C. 点到直线的距离是
D. 过与直线平行的直线方程是
10.关于空间向量，以下说法正确的是( )
A. 非零向量，，若，则
B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面
C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底
D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线
11.如图，在棱长为的正方体中，为的中点，若一点在底面内包括边界移动，且满足，则( )
A. 与平面的夹角的正弦值为
B. 点到的距离为
C. 线段的长度的最大值为
D. 与的数量积的范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，设直线：，：，若，则 ______．
13.当点到直线：距离的最大值时，直线的一般式方程是 ．
14.空间中，两两互相垂直且有公共原点的三条数轴构成直角坐标系，如果坐标系中有两条坐标轴不垂直，那么这样的坐标系称为“斜坐标系”现有一种空间斜坐标系，它任意两条数轴的夹角均为，我们将这种坐标系称为“斜坐标系”我们类比空间直角坐标系，定义“空间斜坐标系”下向量的斜坐标：，，分别为“斜坐标系”下三条数轴轴、轴、轴正方向的单位向量，若向量，则与有序实数组相对应，称向量的斜坐标为，记作若，，则的斜坐标为______在平行六面体中，，，，为线段的中点如图，以为基底建立“空间斜坐标系”若，则与夹角的余弦值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知直线：，：，其中为实数．
当时，求直线，之间的距离；
当时，求过直线，的交点，且垂直于直线的直线方程．
16.本小题分
如图，在正四棱柱中，，，分别为，的中点．
证明；平面．
求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
设直线的方程为．
求证：不论为何值，直线必过一定点；
若直线分别与轴正半轴，轴正半轴交于点，，当面积最小时，求此时的直线方程；
当直线在两坐标轴上的截距均为正整数且也为正整数时，求直线的方程．
18.本小题分
如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，，，是边长为的等边三角形，，是线段的中点．
求证：平面平面；
若，是否存在，使得平面和平面夹角的余弦值为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
19.本小题分
如图，在三棱台中，，，为的中点，二面角的大小为．
求证：；
若到平面的距离为，求的值．
参考答案
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13.．
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15.解：因为直线：，：，时，
则，解得，
此时直线的方程为，
所以两条直线间的距离；
当时，则直线的方程为：，
联立，解得，，
即两条直线的交点的坐标为，
又因为所求的直线垂直于，设所求的直线方程为，
将点的坐标代入可得，
解得．
所以直线的方程为．
16.解：证明：在正四棱柱中，，，分别为，的中点，
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系，
则，，，，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，得，
，平面，
平面．
，
设与平面所成角为，
则与平面所成角的正弦值为：
．
17.证明：由：，整理得，
所以直线经过直线与的交点，
由，解得，所以不论为何值，直线必过一定点．
解：由，令；得，令，得，
根据，得，
所以，
当且仅当，即时，取等号．
此时直线方程为，即．
解：直线在两坐标轴上的截距均为正整数，
结合的结论，可知与均为正整数，且也为正整数，
根据，可知，所以直线的方程为．
18.证明：在中，由余弦定理知，，
所以，即，
因为，且，、平面，
所以平面，
又平面，所以平面平面．
解：以为坐标原点，，所在直线分别为，轴，作平面，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
所以，，，，，
所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以，
设平面的法向量为，则，即，
取，则，，所以，
因为平面和平面夹角的余弦值为，
所以，，
整理得，，即，
解得或，
因为，所以，
故存在，使得平面和平面夹角的余弦值为，此时．
19.解：证明：取的中点，连接，，
由题意知，四边形是等腰梯形，是等边三角形，
所以，，
因为，、平面，
所以平面，又平面，
所以；
以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
由知，，，
所以就是二面角的平面角，即，
所以，其中，
所以，，，
设平面的法向量为，则，
取，则，，所以，
因为到平面的距离为，
所以，整理得，即，
解得或舍，
故的值为．
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