2024-2025学年浙江省台州市书生中学高二（上）月考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省台州市书生中学高二（上）月考数学试卷
一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知点，直线过点，且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
2.为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则( )
A. B. C. D.
3.过点的直线在两坐标轴上的截距之和为零，则该直线方程为( )
A. B.
C. 或 D. 或
4.设直线：，一束光线从原点出发沿射线向直线射出，经反射后与轴交于点，再次经轴反射后与轴交于点若，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共1小题，每小题5分，共5分。
5.已知：，当坐标原点到直线的距离最大值时， ______．
三、解答题：本题共8小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
6.本小题分
如图，在平行六面体中，，，，，且点为与的交点，点在线段上，且．
求的长；
设，求，，的值．
与所成角的余弦值．
7.本小题分
已知直线的斜率为，纵截距为．
求点关于直线的对称点坐标；
求与直线平行且距离为的直线方程．
8.本小题分
在菱形中，对角线与轴平行，，，点是线段的中点．
求点的坐标；
求过点且与直线垂直的直线．
9.本小题分
如图，两个等腰直角和，，，平面平面，为斜边的中点．
求证：；
求二面角的余弦值．
10.本小题分
已知直线：，：，当时，直线，与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数的值；
已知直线过点，且与轴、轴的正半轴分别交于，两点，如图所示，求的面积的最小值及此时直线的方程．
11.本小题分
平面直角坐标系中，圆经过点，，．
Ⅰ求圆的标准方程；
Ⅱ设，过点作直线，交圆于，两点，，不在轴上．
(ⅰ)过点作与直线垂直的直线，交圆于，两点，记四边形的面积为，求的最大值；
(ⅱ)设直线，相交于点，试讨论点是否在定直线上，若是，求出该直线方程；若不是，说明理由．
12.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，且是边长为的等边三角形，四边形是矩形，，为的中点．
求直线与平面所成角的正弦值；
求点到平面的距离．
13.本小题分
如图，在三棱台中，底面是边长为的正三角形，侧面为等腰梯形，且，为的中点．
证明：；
记二面角的大小为，时，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.解：，
又，，，，
，
；
由题意，可得
，
，；
由，
可得
，
又
，
故，
则与所成角的余弦值为．
7.解：已知直线的斜率为，纵截距为，则方程为：，
设点为点，则关于直线的对称点坐标为，
则直线与直线垂直，则，即，
且的中点在直线上，所以，
联立和，解得，
所以点关于直线的对称点坐标为；
设所求的直线为，因为直线与直线平行且距离为，
又因为直线方程为：，即，
所以可设直线的方程为：，
利用两平行线间的距离公式得：
，解得或，
所以与直线平行且距离为的直线方程为：或．
8.解：四边形为菱形，轴，轴，可设，
，，
解得：舍或，．
，中点坐标为，
由于，且是，中点，点坐标为，
，，由中点坐标公式得，
又，，
则过点且与直线垂直的直线斜率为：，
所求直线方程为：，即．
9.证明：取中点，连接，，如图，
又为的中点，所以，又，则，
又为等腰直角三角形，，，
所以，又，，平面，
所以平面，又平面，
所以；
解：由知，，又平面平面，
平面平面，平面，
所以平面，即，，两两互相垂直，
故以为原点，，，为、、轴正方向，
建立空间直角坐标系，如图，
设，则，，，，
所以，，
设为平面的一个法向量，由，，
则有，令，即，
取平面的一个法向量为，
则，
由图可知，二面角的平面角为钝角，
故二面角的余弦值为．
10.解：由于直线：，
当时，，即直线和轴交于点，
由于直线：，
当时，，即与轴交于点，
易知：和均经过定点，即两直线交于点，
如图所示：
则四边形的面积，
即当时，，
所以四边形的面积最小时，．
由题意设直线的方程为，所以．
由基本不等式可得，当且仅当，即，时等号成立，
所以．
所以的面积，
即的面积的最小值为，此时直线的方程为，即．
所以面积的最小值为，此时直线的方程为．
11.解：Ⅰ设圆的方程为，
则，解得，
所以圆的标准方程为；
Ⅱ设直线的方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
若，则直线斜率不存在，
则，，
则，
若，则直线得方程为，即，
则圆心到直线的距离，
所以，
则
，
当且仅当，即时，取等号，
综上所述，因为，
所以的最大值为；
设，，
联立，消得，
则，
直线的方程为，
直线的方程为，
联立，解得，
则，
所以，
所以点在定直线上．
12.解：如图，取中点为，中点为，连接，
由题设可知，平面，
故以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，
，，
设平面的一个法向量为，
，，
则由，可得，
令，可得，，
故平面的一个法向量为，
记直线与平面所成角为，，
所以，
故直线与平面所成角的正弦值为；
如图，平面平面，四边形是矩形，
因为四边形是矩形，所以，，
又平面平面，，平面，
所以平面，平面，
故AD，，
在直角中，，，则，
在直角中，，，则，
在直角中，，，则，
则有，即；
同理可求得，，
设点到平面的距离为，
由，
所以，解得，
所以点到平面的距离为．
13.证明：如图，作的中点，连接，，
在等腰梯形中，，为，的中点，
，
在正中，为的中点，
，
，，，，平面，
平面，
又平面，．
解：平面，
在平面内作，以为坐标原点，以，，，分别为，，，轴正向，如图建立空间直角坐标系，
，，为二面角的平面角，即，，，，，，，
设平面的法向量为，，，
则有，
又，
，
，，
．
第1页，共1页