2024-2025学年江苏省苏州市部分学校高三（上）适应性数学试卷（含答案）

2024-2025学年江苏省苏州市部分学校高三（上）适应性数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则的元素个数为( )
A. B. C. D.
2.复数、满足，若，则( )
A. B. C. D.
3.若向量，若与夹角为钝角，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
4.随机变量的取值集合为且，则( )
A. B. C. D.
5.已知，若正实数满足，则( )
A. B. C. D.
6.如图，四棱锥截取自棱长为的正方体其中平面且是线段上靠近的三等分点，是线段上最靠近的四等分点，，分别是棱和上的动点且恒有，垂足为，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知角、满足，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8.表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数已知函数且满足：对，有，则的可能取值是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数和，下列说法正确的是( )
A. 和均为周期函数，且是、的周期之一
B. 和均为周期函数，且是、的周期之一
C. 的值域为
D. 对恒成立
10.如图，对于抛物线：，，是它的焦点，的准线与轴交于，过点作斜率为的直线与依次交于、两点，使得恰有，下列说法正确的是( )
A. 是定值，不是定值
B. 不是定值，也不是定值
C. A、两点横坐标乘积为定值
D. 记中点为，则和横坐标之比为定值
11.设为的单调递增数列，且满足，则下列选项正确的是( )
A.
B. 至多有种取值可能
C.
D. 表示大于或者等于的最小整数，表示小于或者等于的最大整数
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，，则的最小值为______．
13.高三开学，学校举办运动会，女子啦啦队排成一排坐在跑道外侧因烈日暴晒，每个班的啦啦队两侧已经摆好了两个遮阳伞，但每个遮阳伞的荫蔽半径仅为一名同学，为了效益最佳，遮阳伞的摆放遵循伞与伞之间至少要有一名同学的规则高三一班共有七名女生现在正坐成一排，因两边的遮阳伞荫蔽范围太小，现在考虑在她们中间添置三个遮阳伞则添置遮阳伞后，晒黑女生人数的数学期望为______．
14.若且关于的不等式在上恒成立，则的取值范围是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
野餐用的三脚架三只脚长度均为，露营结束后三脚架落在森林里，有白蚁聚集到其中一只脚啃食．
求证：啃食过程中三脚架顶点的运动轨迹是一段圆弧；
啃食完毕后脚长变为，且垂直于地面，若未损坏的两只脚所在平面与地面所成二面角为，求原三角架对应四面体的体积用表示．
16.本小题分
已知椭圆：，与圆在第一、第二象限分别交于、两点，且满足，．
求椭圆的标准方程；
是椭圆上的一点，若存在椭圆的弦使得，求证：四边形的面积为定值．
17.本小题分
已知正整数列满足，且有对任意正整数恒成立．
求证：对任意，均为偶数；
记，求证：．
18.本小题分
“三角换元”是代数中重要且常见的运算技巧，有些代数式看似复杂，用三角代替后，实则会呈现出非常直观的几何意义，甚至可以与复杂的二次曲线产生直观联系．
利用恒等式和，求函数和的最小值．
在中，角、、对应的边为、、：
求证：；
已知实数，满足，求二元函数的最大值．
19.本小题分
已知函数，其中为正实数．
若，讨论在的单调性．
若，且方程在至少有一个根，求实数的取值范围．
参考答案
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15.证明：由题意知，原三脚架为侧棱长为的正三棱锥，如图，
则有，设平面，，分别为，的中点，
假设白蚁聚集到脚进行啃食，则啃食过程中顶点向下移动，
在中，的长度保持不变，故顶点到点的距离为定值，
故三脚架顶点的运动轨迹是一段以为圆心，为半径的圆弧；
解：由题意，啃食完毕后脚长变为，且垂直于地面，如图所示，
则，且平面，则，
由，为中点，可得，
又，所以平面，
又平面，所以，
故即为未损坏的两只脚所在平面与地面所成二面角，
则，故DE，所以，
从而得，
所以，
，
故原三角架对应四面体的体积为：
．
16.解：由对称性知，，
因为，，所以是边长为的等边三角形，
因为位于第一象限，所以，
代入椭圆的方程有，
代入圆的方程有，
联立解得，，
所以椭圆的标准方程为．
证明：设，，则直线的斜率为，且，即，
因为，所以四边形是平行四边形，，
设直线的方程为，，，
联立，得，
所以，，
所以，
因为，
所以，
整理得，即，
而点到直线的距离为，
所以四边形的面积，为定值．
17.证明：由题，，
即，
则，
即有，
整理得：，
则有，，，
即，
即，又，则，
若为奇数，则为偶数，此时为偶数，
若为偶数，则亦为偶数，
故对任意，均为偶数；
由知，，
则，
故，
故，
其中，
，
则，
则
，
则，
则
，
则，
即有
．
18.解：设，，则，
因为，所以，所以，所以，
即的最小值为；
当时，
，
表示点到点和的距离之和，
所以；
当时，
，
表示点到点和的距离之差，
所以．
综上，的最小值为：．
证明：因为，
所以
，证毕；
在中，令，则且，
因为，设，，
所以，
可得，
则
，
其表示点到点和的距离之差再加上，
所以，
当且仅当，
即时等号取得，此时满足．
19.解：因为函数，
所以，
因为，，所以，，
所以，，
所以，所以在上单调递减．
当时，，设，
则，即，
即，
设，，
则，
设，，
则
，
因为，所以，即，
所以在上单调递增，
又因为，
，
所以当时，，即，
所以在上单调递减，，当时，，
所以在上至少有一个根时，．
故实数的取值范围为．
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