2024-2025学年北京市海淀区八一学校高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区八一学校高三上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则为( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.在平面直角坐标系中，角以为始边，终边与单位圆交于点，则( )
A. B. C. D.
6.已知定义在上的奇函数在单调递增．若，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
7.已知函数和直线，那么“”是“直线与曲线相切”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8.苏格兰数学家纳皮尔发明的对数及对数表部分对数表如下表所示，为当时的天文学家处理“大数”的计算大大缩短了时间．因为，所以的位数为一个自然数数位的个数，叫做位数，已知是位数，则正整数的值为( )
A. B. C. D.
9.先将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到函数的图象，若方程有实根，则的值可以为( )
A. B. C. D.
10.已知函数若的图象上存在两个点关于原点对称，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.已知函数，若，则 ．
12.函数的最小值为 ．
13.曲线在处的切线恰好是曲线的切线，则实数 ．
14.已知函数满足，，且在内不存在零点，则函数的零点为 ．
15.唐代李皋发明了“桨轮船”，这种船是原始形态的轮船，是近代明轮航行模式之先导如图，某桨轮船的子的半径为，它以的角速度逆时针旋转轮子外边沿有一点，点到船底的距离是单位：，轮子旋转时间为单位：当时，点在轮子的最高点处．
当点第一次入水时， ；
当时，函数的瞬时变化率取得最大值，则的最小值是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数，．
Ⅰ求的最小正周期和单调递增区间；
Ⅱ设，若函数为奇函数，求的最小值．
17.本小题分
已知函数，再从条件、条件、条件这三个条件中选择两个作为一组已知条件，使的解析式唯一确定．
求的解析式；
设函数，求在区间上的最大值．
条件：的最小正周期为；
条件：为奇函数；
条件：图象的一条对称轴为．
注：如果选择多组条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
已知函数，其中．
若是函数的极值点，求的值；
若，讨论函数的单调性．
19.本小题分
已知函数，．
若曲线在点处的切线与平行，求的值；
当时，求在区间上的最大值和最小值；
当时，若方程在区间上有唯一解，求的取值范围．
20.本小题分
已知函数．
若，求曲线在点处的切线方程；
当时，求证：函数存在极小值；
请直接写出函数的零点个数．
21.本小题分
对于集合，定义函数对于两个集合，定义集合
写出和的值，并用列举法写出集合；
用表示有限集合所含元素的个数，求的最小值；
有多少个集合对，满足，，且？
参考答案
1.
2.
3.
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8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.解：Ⅰ，
所以函数的最小正周期．
由，，
得，
所以函数的单调递增区间为，．
Ⅱ由题意，得，
因为函数为奇函数，且，所以，即，
所以，，解得，，验证知其符合题意．
又因为，所以的最小值为．
17.解：选择条件：
由条件及已知得，
所以．
由条件得，
所以，即．
解得．
因为，
所以，
所以
选择条件：
由条件及已知得，所以．
由条件得，
解得．
因为，
所以．
所以．
选择条件：
由条件得，
所以，即．
解得．
因为，
所以，
由条件得，
即，此时的解析式不唯一．
由题意得，
化简得．
因为，
所以，
所以当，即时，的最大值为．
18.解：由题意 ， ，
因为 是函数 的极值点，
所以 ，解得 ，
经检验， 符合题意，
故 ；
，
当时，令 ，解得 或 ，
当 时，
因为 当 时 ，当 或 时 ，
所以在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时，
因为当 时 ，当 或 时 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减；
当 时， ，所以 在 上单调递减．
综上，当 时， 在 上递减，在 上递增，在 上递减；
当 时， 在 上单调递减；
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，在 上单调递减．

19.，，
由题意，解得；
当时，，
所以．
当时，，，
所以．
所以在区间上单调递增．
因此在区间上的最大值为，最小值为．
当时，．
设，，
因为，，所以．
所以在区间上单调递减．
因为，，
所以存在唯一的，使，即．
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减．
因为，，又因为方程在区间上有唯一解，
所以．

20.由函数求导得，
，
则，而，
所以曲线在点处的切线方程是；
函数的定义域为，由知，，
因为，
当时，，，
所以，则有，函数在上递增，
当时，，
所以，
则有，函数在上递减，
于是得当时，函数取得极小值，
所以当时，函数存在极小值；
函数的定义域为，
由，可得，
显然是函数的零点，
当时，函数的零点即为方程的解，
令，则，
令，则，
当时，，当时，，
函数在上递增，在上递减，
，，
即有，在，上都递减，
令，，
当时，，当时，，
在上递增，在上递减，，
即，恒有，当且仅当时取“”，
当时，，当时，，
因此，在上单调递减，取值集合为，在上递减，取值集合为，
于是得当或时，即或时，方程有唯一解，当或时，此方程无解，
综上：当或时，函数有一个零点，
当或时，函数有两个零点．

21.，，．
根据题意可知：对于集合，
且，则；
若且，则．
所以要使的值最小，，，一定属于集合；，，，是否属于不影响的值；集合不能含有之外的元素．
所以当为集合的子集与集合的并集时，取到最小值．
因为，
所以．
由定义可知：．
所以对任意元素，，
．
所以．
所以．
由知：．
所以．
所以．
所以，即．
因为，
所以满足题意的集合对的个数为．

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