2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学分校高三上学期10月月考检数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市海淀区中国人民大学附属中学分校高三上学期10月月考检数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.下列函数中，在定义域上为奇函数，且在上递减的是( )
A. B. C. D.
3.已知，以下四个数中最大的是( )
A. B. C. D.
4.已知角的顶点在原点，始边与轴非负半轴重合，终边经过点，则角的一个可能值为( )
A. B. C. D.
5.已知函数，则的解集为( )
A. B.
C. D.
6.已知定义域为的函数满足是奇函数，是偶函数，则下列各数一定是零点的是( )
A. B. C. D.
7.深度学习的神经网络优化模型之一是指数衰减的学习率模型：，其中，表示每一轮优化时使用的学习率，表示初始学习率，表示衰减系数，表示训练迭代轮数，表示衰减速度．已知，某个指数衰减学习率模型的初始学习率为，衰减速度为经过轮迭代学习时，学习率衰减为，则学习率衰减到以下所需要的训练迭代轮数至少为 参考数据：
A. B. C. D.
8.已知均为正实数．则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件
9.音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”它的性质是每经过相同的时间间隔，它的
振幅就变化一次如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过的最大整数若该条曲线还满足，经过点则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为( )
A. B. C. D.
10.如图所示，直线与曲线相切于两点，其中若当时，，则函数在上的极大值点个数为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.函数的定义域为
12.函数的值域为 ．
13.已知对任意实数，均有，写出一组满足条件的 ．
14.已知函数有两个零点，则的取值范围为 ．
15.已知函数定义域为，最小值记为，给出以下四个结论：
的最小值为；
的最大值为；
在上单调递减；
只有唯一值使得的图象有一条垂直于轴的对称轴．
其中所有正确结论的是： ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知数列的前项和为．
求的通项公式：
若等比数列满足，求的前项和．
17.本小题分
已知函数．
若，求的值；
已知在上单调递减，，从以下三个条件中选一个作为已知，使得函数唯一确定，求的值．
是曲线的一个对称中心；
；
在上单调递增；
18.本小题分
已知函数
若，求曲线的斜率为的切线方程；
求函数的单调递增区间；
若函数在上恰有个零点，直接写出的取值集合．
19.本小题分
海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：时即为凌晨点分
时刻：时
水深：米
根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式；
某条货船的吃水深度水面高于船底的距离为米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有米，根据中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长．
20.本小题分
已知函数，记其在点处的切线方程为：．
定义关于的函数．
求的解析式；
当时，判断函数的单调性并说明理由；
若满足当时，总有成立，则称实数为函数的一个“点”，求的所有点．
21.本小题分
已知集合，对于任意，
操作一：选择中某个位置某两个数之间或第一个数之前或最后一个数之后，插入连续个或连续个，得到；
操作二：删去中连续个或连续个，得到；
进行一次操作一或者操作二均称为一次“月变换”，在第次“月变换”的结果上再进行次“月变换”称为第次“月变换”．
若对进行两次“月变换”，依次得到，直接写出和的所有可能情况．
对于和至少要对进行多少次“月变换”才能得到？说明理由．
证明：对任意，总能对进行不超过次“月变换”得到．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.答案不唯一
14.
15.
16.因为数列的前项和为，
当时，；
当时，；
又因为，符合，
所以的通项公式为：，．
设等比数列的公比为．
因为等比数列满足，即，，
所以，所以，
所以的前项和．

17.依题意，函数，由，得，
即，而，解得，
所以的值是．
由在上单调递减，得函数的最小正周期，解得，
由，得，又，而，
即，，因此，
选择，是曲线的一个对称中心，而，
则函数的最小正周期，解得，
由，得，函数唯一确定，经验证符合题意，
所以．
选择，，即，化简得，
又，，，于是，
联立，解得，不符合题意，函数不能确定．
选择，在上单调递增，，则函数的最小正周期，
解得，由，得，函数唯一确定，经验证符合题意，
所以．

18.解：因为，
所以，，
设斜率为的直线与相切于，
令，解得或，
当时，切点为，
此时切线方程为；
当时，切点为，
此时切线方程为：，
即；
综上，所求切线方程为：和；
解：因为，
所以，
令，得或，
所以函数的单调递增区间为；
解：令，
则，
令，
则，
所以当时，，单调递减；
当时，，单调递增；
所以，又，，
又因为函数在上恰有个零点，
即直线与的图象在上只有一个交点，
如图所示：
由此可得或，
解得或，
所以实数的取值集合为

19.由表格可知的最大值为，最小值为，
所以，
由表格可知，
所以，
所以，
将点代入可得：，
所以，
解得，
因为，所以，
所以．
货船需要的安全水深为米，
所以进港条件为．
令，
即，
所以，
解得，
因为，
所以时，，
时，
因为时时分，时时分．
时 时分，时 时分．
因此，货船可以在时分进港，早晨时分出港；或在下午时分进港，下午时分出港．
则该货船最早进港时间为时分，停靠总时长为小时分钟．

20.，
当时，，，
故在处的切线方程为：，
即，
；
由知：

，


令，
则，
令，
则，
当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
故


，
，，
即恒成立，即恒成立，
即在上单调递增，
又，
故当时，，即，单调递减；
当时，，即，单调递增；
综上所述：当时，在上单调递减；在上单调递增；
当时，总有成立，
故与同号，即当时，，
当时，，
又，
即在上单调递增，即恒成立，
由知：，即，
故当时，恒成立，
，
解得：或，
当时，恒成立，
解得：，故或，
故的所有点为或．

21.由于对进行一次“月变换”后就得到了，说明一定含有个相同且相邻的数，从而只可能是，，，对应的分别是，，．
对每个中的元素，将其所有连续的和连续的各自记为一个段落，则容易得到：
若对某个进行一次操作一得到，则的段落数或者和的段落数相等，或者比的段落数多，或者比的段落数多；
若对某个进行一次操作二得到，则的段落数或者和的段落数相等，或者比的段落数少，或者比的段落数少．
这表明，每次“月变换”下，变换前后元素的段落数之差的绝对值不超过．
现在，的段落数为，的段落数为．
故若对进行次“月变换”后可以得到，则由前面的结论知包含的段落数之差的绝对值不超过，所以，得．
如果，则再次由前面的结论可知，变换过程中每次都是操作二，且有次变换后相比变换前的段落数多，有次变换后相比变换前的段落数多．
但在只进行操作二的情况下，的数量不可能减少，但包含的的个数分别是，矛盾．
所以．
下面的变换过程表明是可行的：
，
，
，
，
，
．
所以，至少要对进行次“月变换”才能得到．
由于能通过“月变换”得到，当且仅当能通过“月变换”得到，所以我们不妨设的段落数不小于的段落数，则．
此时，我们再不妨设中的段落数不超过的段落数，从而中的段落数不超过．
显然，如果不含，则只需要一次操作使含的个数与相等，然后再插入至多个连续的构成的段落即可，由知结论成立．
下面考虑含的情况，进行如下操作：
第一步：如果的的个数小于，则在的任意一个右侧增加若干个使得二者含数量相等，否则跳过该步骤；
第二步：我们不断对进行增加或删除连续若干个的操作．
准备工作：如果和开头的数码不同，则在开头增加或删去若干个，否则跳过该步骤．
然后反复进行以下步骤：
情况：如果当前的的第一个和不一致的段落对应的数字是由组成的，则在的该段落中间添加若干个数量与的下一个段落的的个数相等，或者在该段落末尾删去的下一个由组成的段落；
情况：如果当前的的第一个和不一致的段落对应的数字是由组成的，则在的该段落中间添加或删去若干个，使得该段的的个数与的该段落的的个数相等．
如此反复后，如果第一步进行了操作，则最终和一致；如果第一步没有进行操作，则最终相比在末尾多出若干个．
第三步：如果相比在末尾多出若干个，则删除多余的，否则跳过该步骤．
至此，我们就将操作变成了．
由于每执行一次第二步的操作时，使得段落数增加的准备工作和段落数减少的删除的操作的总次数不超过，而增加的操作的次数不超过，同时第一步和第三步不可能同时进行操作，所以总的操作次数不会超过，故需要的操作次数不超过．

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