第21章一元二次方程 单元测试（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级上册

第21章一元二次方程
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列方程中，一定为一元二次方程的是( )
A. B. C. D.
2.方程中二次项系数，一次项系数和常数项分别是
A. 1，，1 B. ，，1 C. 1，3， D. ，3，
3.下列方程中有一个根为的方程是( )
A. B. C. D.
4.方程的根是( )
A. ， B. ，
C. ， D. 以上都不对
5.把一元二次方程变形成，则( )
A. B. C. 1 D. 3
6.方程的根的情况是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 无实数根 D. 只有一个实数根
7.把长为2m的绳子分成两段，使较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积．设较长一段的长为x m，依题意，可列方程为( )
A. B. C. D.
8.关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为( )
A. 2 B. C. 2或 D. 0
9.如果关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是( )
A. B. C. 且 D. 且
10.对于实数a，b，定义运算“”为，例如：，则关于x的方程的根的情况，下列说法正确的是( )
A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根
C. 没有实数根 D. 无法确定
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.写出一个以0和2为根的一元二次方程：______.
12.当k满足条件______时，关于 x的方程是一元二次方程．
13.关于x的一元二次方程可变形为，则的值是__________.
14.如果m是方程的一个根，那么代数式的值为__________.
15.阅读下面的诗词然后解题．
大江东去浪淘尽，千古风流数人物．
而立之年督东吴，早逝英年两位数．
十位恰小个位三，个位平方与寿符．
哪位学子算得快，多少年华属周瑜？
请你通过列方程式，算出周瑜去世时的年龄为__________.
16.下面是用配方法解关于x的一元二次方程的具体过程，
解：第一步：
第二步：
第三步：
第四步：，
以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是______.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
选择适当的方法解方程：
18.本小题8分
为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则原方程化为，解此方程得，，
当时，，，
当时，，，
原方程的解为，，，
以上方法叫做换元法解方程，达到了降次的目的，体现了转化思想．
用上述方法解下列方程：
；
19.本小题8分
已知关于x的一元二次方程有一个实根为，求m的值及方程的另一个实根.
20.本小题8分
已知关于x的一元二次方程
求证：方程总有两个实数根；
若，且此方程的两个实数根的差为3，求m的值.
21.本小题8分
已知等腰的两边长b，c恰好是关于x的一元二次方程的两个根．若的另一边长，试求的周长．
22.本小题8分
小明大学毕业后和同学创业，合伙开了一家网店，暑期销售原创设计的手绘图案T恤衫．已知每件T恤衫的成本价为60元，当销售价为100元时，每天能售出20件；经过一段时间销售发现，当销售价每降低1元时，每天就能多售出2件．
若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为多少元？
小明希望每天获得的利润达到1050元并且优惠最大，则每件T恤衫的销售价应该定为多少？
为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小明每天能否获得1200元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由．利润率
23.本小题8分
如图，在矩形ABCD中，，，点P从点A出发，沿AB边向终点B以的速度移动，同时点Q从点B出发，沿BC边向终点C以的速度移动．若其中有一个动点先到达终点，则两个动点同时停止运动，设运动时间为
填空：__________cm，__________cm；用含t的代数式表示
当为何值时，？
在动点P，Q运动过程中，是否存在某一时刻使得五边形APQCD的面积为矩形面积的？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：方程是二元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B.方程是一元二次方程，故本选项符合题意；
C.方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
D.当时，方程是一元一次方程，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
故选：
根据一元二次方程的定义逐个判断即可．
本题考查了一元二次方程的定义，能熟记一元二次方程的定义是解此题的关键，只有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
2.【答案】A
【解析】解：把方程转化为一般形式得：，二次项系数，一次项系数和常数项分别是1，，
故选：
一元二次方程的一般形式是：是常数且特别要注意的条件．这是在做题过程中容易忽视的知识点．在一般形式中叫二次项，bx叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．
去括号的过程中要注意符号的变化，以及注意不能漏乘，移项时要注意变号．确定二次项系数、一次项系数、常数项时不能漏掉前面的符号，特别是负号．
3.【答案】D
【解析】解：A、当时，，所以不是方程的解；
B、当时，，所以不是方程的解；
C、当时，，所以不是方程的解；
D、当时，，所以是方程的解．
故选：
利用一元二次方程解的定义对各选项分别进行判断．
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
4.【答案】D
【解析】解：方程整理得：，
这里，，，
，
，
则，
故选：
方程整理为一般形式，找出a，b，c的值，计算出根的判别式的值大于0，代入求根公式即可求出解．
此题考查了解一元二次方程-公式法，利用此方法解方程时，首先将方程整理为一般形式，找出a，b及c的值，确定出根的判别式的值，当根的判别式的值大于等于0时，代入求根公式即可求出解．
5.【答案】A
【解析】略
6.【答案】C
【解析】解：，，，
，
所以方程没有实数根．
故选：
把，，代入进行计算，然后根据计算结果判断方程根的情况．
本题考查了一元二次方程为常数的根的判别式当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根．
7.【答案】A
【解析】解：较长一段的长为xm，
较短一段的长为，
依题意得：
故选：
由题意设较长一段的长为xm，可得出较短一段的长为，根据较长一段的长的平方等于较短一段的长与原绳长的积，列出关于x的一元二次方程，此题得解．
本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查的是一元二次方程的定义，正确理解二次项系数不为0是解题的关键.由一元二次方程的定义，可知，一根是0，代入可得，进而通过解方程即可求得a的值.
【解答】
解：是关于x的一元二次方程，
，即①
由一个根是0，代入，
可得，
解之得②
由①②得
故选
9.【答案】C
【解析】解：根据题意得且，
解得且
故选：
根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两不等式的公共部分即可．
本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的两个实数根；当时，方程有两个相等的两个实数根；当时，方程无实数根．
10.【答案】A
【解析】略
11.【答案】
【解析】解：，，
所以以0和2为根的一元二次方程为，
故答案为：
此题为一道开放型的题目，答案不唯一，只要写出一个即可．
本题考查了根与系数的关系，能熟记根与系数的关系的内容是解此题的关键．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得，
解得
故答案为
根据一元二次方程的定义得到，然后解不等式即可．
本题考查了一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
13.【答案】
【解析】解：由方程可变形为，可知此方程有一个根是
将代入原方程就可得出，
故答案为
本题考查解一元二次方程的因式分解法及方程解的概念，同时也体现了整体意识.
14.【答案】5
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．
先把m代入方程，得到，再代入代数式，即可求出答案．
【解答】
解：把m代入方程，得到，
所以，
15.【答案】36岁
【解析】设周瑜去世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为，依题意，得，解得，，当时，周瑜去世时的年龄为25岁，未到而立之年岁，不符合题意；当时，周瑜去世时的年龄为36岁，符合题意．
16.【答案】④①③②
【解析】【分析】
本题主要考查解一元二次方程-配方法，解题的关键是掌握配方法解一元二次方程的步骤．
把二次项系数化为1以后，把常数项移到等号右边，两边都加上一次项系数一半的平方，再运用开平方法求解．
【解答】
解：，
把二次项系数化1得：，
移项得：，
配方得：，即，
开方得：，
解得：，，
故第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是④①③②，
故答案为：④①③②．
17.【答案】解：
，
或，
或
，
或，
或
【解析】方程移项后，左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
方程左边分解因式后，利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
本题考查了解一元二次方程-因式分解法：把一元二次方程变形为一般式，再把方程左边进行因式分解，然后把方程转化为两个一元一次方程，解这两个一元一次方程得到原方程的解．
18.【答案】【小题1】
解：将视为一个整体，设，则原方程化为，
解此方程得，，
当时，，
，
当时，，
，
原方程的解为，；
【小题2】
设，则原方程化为，解此方程得，，
当时，，
，
当时，，
，
原方程的解为，，，

【解析】见答案
见答案
19.【答案】解：把代入方程，得，解得，
设方程的另一个实根为，则由一元二次方程根与系数的关系可得，

【解析】见答案
20.【答案】证明：一元二次方程，
，
该方程总有两个实数根．
解：一元二次方程，
解方程，得，
，
该方程的两个实数根的差为3，

【解析】证明一元二次方程的判别式大于等于零即可；
用m表示出方程的两个根，比较大小后，作差计算即可．
本题考查了一元二次方程根的判别式，方程的解法，熟练掌握判别式，并灵活运用实数的非负性是解题的关键．
21.【答案】解：由题意知，，
是等腰三角形，
①当时，，
解得，
方程化为，
解得，
，
，，4能构成等腰三角形，
此时的周长为；
②当或时，
把代入方程，得，
解得，
方程化为，
解得，，
，，4，能构成等腰三角形，
此时的周长为
综上所述，的周长为9或

【解析】见答案
22.【答案】【小题1】
解：元，
答：若降价8元，则每天销售T恤衫的利润为1152元；
【小题2】
设每件T恤衫降价x元，则每天可销售件，
依题意，得，
整理，得，
解得，，
要优惠最大，
，
当时，销售价为元，
当每件T恤衫的销售价为75元时，小明每天获得的销售利润达到1050元并且优惠最大；
【小题3】
不能．
理由如下：设每件T恤衫降价x元，
为了保证每件T恤衫的利润率不低于，
，
解得，
依题意，得，
整理，得，
解得，
为了保证每件T恤衫的利润率不低于，降价必须不超过7元，
，都不符合题意，舍去．
答：为了保证每件T恤衫的利润率不低于，小明每天不能获得1200元的利润．

【解析】见答案
见答案
见答案
23.【答案】【小题1】
t
2t
【小题2】
，，
由勾股定理可得，
当时，，解得舍去或，
当时，；
【小题3】
不存在，理由如下：
假设五边形APQCD的面积为矩形面积的，
则的面积为矩形面积的，
则，
又，
，即
此时，方程无实数根，
即不存在某一时刻可使五边形APQCD的面积为矩形面积的

【解析】略
见答案
见答案
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