第22章二次函数 单元测试（含答案） 2024-2025学年数学人教版九年级上册

第22章二次函数
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.二次函数的对称轴是( )
A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线
2.下列关于二次函数的说法正确的是( )
A. 它的图象经过点 B. 它的图象的对称轴是直线
C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y有最大值为0
3.把二次函数的图象向左平移3个单位，再向上平移2个单位后，得到的图象所对应的二次函数表达式为( )
A. B. C. D.
4.若抛物线是常数的顶点恰好在直线上，则n的值为( )
A. B. C. 1 D. 2
5.若二次函数的图象与x轴有两个不同的交点，则a的取值范围为( )
A. B. C. 且 D. 且
6.如图是二次函数的部分图象，由图象可知关于x的不等式的解集是( )
A. B. C. D. 或
7.已知二次函数的部分y与x的值如下表：
x … 0 1 2 3 …
y … 6 8 6 0 …
根据表格可知，一元二次方程的解是( )
A. ， B. ，
C. ， D.
8.在同一直角坐标系中，直线与二次函数的图象可能是( )
A. B. C. D.
9.赵州桥始建于隋代，是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔石拱桥．如图是一座仿赵州桥建造的抛物线形拱桥的示意图，正常水位时，水面宽12 m，水位上涨5 m到达警戒水位，此时水面宽8 m，则正常水位时拱顶离水面的高度为( )
A. 3 m B. 6 m C. 8 m D. 9 m
10.如图是二次函数的部分图象，有下列结论：①方程的两个根是，；②；③为实数；④若点，为抛物线上两点，当，且时，有，其中正确的是( )
A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ①④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.二次函数图象的顶点坐标为__________.
12.写出一个二次函数，其图象满足：有最小值；与y轴交于点，则这个二次函数的解析式可以是__________.
13.若二次函数的最大值为，则a的值为__________.
14.如图，某小区有一块靠墙墙的长度不限的矩形空地ABCD，为美化环境，用总长为90米的篱笆围成三块面积相等的矩形花圃靠墙一侧不用篱笆，篱笆的厚度不计设矩形ABFE的边米，矩形区域ABCD的面积为S平方米，当x为__________时，S有最大值．
15.如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，若抛物线与线段AB没有交点，则a的取值范围是__________.
16.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿边向B以的速度移动不与点B重合，动点Q从点B开始沿边向C以的速度移动不与点C重合如果P、Q分别从A、B同时出发，那么经过________秒，四边形的面积最小．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
已知抛物线的对称轴为直线
求m的值；
将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，求得到的新抛物线是否经过点
18.本小题8分
已知一个二次函数图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示：
x … 0 1 2 3 …
y … 0 3 4 3 0 …
求这个二次函数的表达式；
在给定的平面直角坐标系中画出这个二次函数的图象；
结合图象，直接写出当时，y的取值范围．
19.本小题8分
如图，对称轴为直线的抛物线与x轴相交于A，B两点，其中点A的坐标为，且点在抛物线上．
求抛物线的解析式；
点C为抛物线与y轴的交点；
①点P在抛物线上，且，求点P点坐标；
②设点Q是线段AC上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段QD长度的最大值．
20.本小题8分
鄂州市化工材料经销公司购进一种化工原料若干千克，价格为每千克30元.物价部门规定其销售单价不高于每千克60元，不低于每千克30元.经市场调查发现：日销售量千克是销售单价元的一次函数，且当时，时，在销售过程中，每天还要支付其他费用450元.
求出y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围;
求该公司销售该原料日获利元与销售单价元之间的函数关系式;
当销售单价为多少元时，该公司日获利最大 最大获利是多少元
21.本小题8分
在平面直角坐标系xOy中，，是抛物线上两点，且满足设抛物线的对称轴为
当时，写出m，t的之间的等量关系．
当时，均满足，求m的取值范围．
22.本小题8分
如图，抛物线与x轴交于A，B两点点A在点B的左侧，与y轴交于点C，直线经过B，C两点，点A的坐标为，点P是第一象限抛物线上的一个动点，于点Q，设点P的横坐标为
求抛物线的函数表达式；
求线段PQ的最大值，并求此时n的值；
在的条件下，当线段PQ取最大值时，若点M是x轴正半轴上一动点，点N是抛物线上一动点，试判断是否存在这样的点M，使得以点B，P，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
23.本小题8分
如图，已知线段AB与点P，若在线段AB上存在点Q，满足，则称点P为线段AB的“限距点”.
如图，在平面直角坐标系xOy中，若点
①在中，是线段AB的“限距点”的是_________；
②点P是直线上一点，若点P是线段AB的“限距点”，请求出点P横坐标的取值范围.
在平面直角坐标系xOy中，点，直线与x轴交于点M，与y轴交于点若线段MN上存在线段AB的“限距点”，请求出t的取值范围.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的对称轴求解．
先把一般式化为顶点式，然后根据二次函数的性质确定抛物线的对称轴方程．
【解答】
解：，
抛物线的对称轴为直线
故选
2.【答案】C
【解析】解：A、当时，，故此选项错误；
B、它的图象的对称轴是直线，故此选项错误；
C、当时，y随x的增大而减小，故此选项正确；
D、当时，y有最小值为0，故此选项错误；
故选：
根据二次函数的图象性质即可判断．
此题考查了二次函数的图象性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．
3.【答案】D
【解析】略
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】D
【解析】略
7.【答案】C
【解析】略
8.【答案】C
【解析】略
9.【答案】D
【解析】略
10.【答案】C
【解析】略
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了二次函数的性质．抛物线的顶点式的顶点坐标是将二次函数解析式配方，写成顶点式，根据顶点式与顶点坐标的关系求解．
【解答】
解：，
抛物线顶点坐标为
12.【答案】答案不唯一
【解析】略
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】18
【解析】略
15.【答案】或
【解析】如解图，当抛物线过点A时，把代入得；过点B时，把代入得，当抛物线与线段AB没有交点时，由a的大小与抛物线开口大小关系可知a的取值范围为或
16.【答案】3
【解析】【分析】
本题考查了函数关系式的求法以及最值的求法．根据等量关系“四边形APQC的面积=三角形ABC的面积-三角形PBQ的面积”列出函数关系求最小值．
【解答】
解：设P、Q同时出发后经过的时间为ts，四边形APQC的面积为，
则有：
当时，S取得最小值．
故答案为：
17.【答案】【小题1】
解：对称轴为直线，
解得，的值为；
【小题2】
由可知，，
将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位，
可得，
将代入，
解得，
得到的新抛物线经过点

【解析】见答案
见答案
18.【答案】解：由题意可得二次函数的顶点坐标为，
设二次函数的解析式为：，
把点代入，得，
故抛物线解析式为，即；
如图所示：
，
当时，有最大值4，
当时，，
当时，，
又对称轴为，
当时，y的取值范围是
【解析】利用表中数据和抛物线的对称性可得到二次函数的顶点坐标为，则可设顶点式，然后把点代入求出a即可；
利用描点法画二次函数图象；
根据、3时的函数值即可写出y的取值范围．
本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的图象与性质．
19.【答案】解：抛物线的对称轴为直线，
又点与在抛物线上，
，
解得，
抛物线的解析式为
①由知，二次函数的解析式为，
抛物线与y轴的交点C的坐标为，与x轴的另一交点为，
则，，
设P点坐标为，
，
，
，
则，
当时，，
当时，，
点P的坐标为或；
②设直线AC的解析式为，
将，代入得，
解得，
直线AC的解析式为，
设Q点坐标为，，
则D点坐标为，
，
当时，线段QD的长度有最大值
【解析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的性质和二次函数的最值，以及三角形面积．
因为抛物线的对称轴为直线，点与在抛物线上，代入抛物线的解析式，即可解答；
①先由二次函数的解析式为，得到B，C点坐标，然后设P点坐标为，根据列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点P的坐标；
②先运用待定系数法求出直线AC的解析式为，再设Q点坐标为，则D点坐标为，然后用含x的代数式表示QD，根据二次函数的性质即可求出线段QD长度的最大值．
20.【答案】解：设，
根据题意得，
解得：，，
；
；
，
，
时，w有最大值为1950元，
当销售单价为60元时，该公司日获利最大，为1950元．
【解析】此题考查了二次函数的应用，待定系数法求一次函数解析式，以及二次函数的性质，熟练掌握二次函数性质是解本题的关键．
根据y与x成一次函数解析式，设为，把x与y的两对值代入求出k与b的值，即可确定出y与x的解析式，并求出x的范围即可；
根据利润=单价销售量列出W关于x的二次函数解析式即可；
利用二次函数的性质求出W的最大值，以及此时x的值即可．
21.【答案】解： 点 ，
是抛物线 上两点，
当 时，点 M 和点 N 关于抛物线的对称轴 对称
.
将点 到对称轴的距离记为 ，点 到对称轴的距离记为 ，抛物线与 y 轴交点记为点 ，到对称轴的距离记为 .
，
点 N 到对称轴的距离大于点 M 到对称轴的距离，即
当 时，均满足
，
点 C 到对称轴的距离大于点 N 到对称轴的距离，即
当 时，均满足
综上， .

【解析】略
22.【答案】【小题1】
解：当时，，
点C的坐标为，
将代入中，得，
直线BC的解析式为，
当时，，
，点B的坐标为，
将，代入中，
得，解得，
抛物线的函数解析式为；
【小题2】
，，
，，
如解图，过点P作轴于点E，交直线BC于点F，
，
，
，
，
点P的横坐标为n，
，，
，
，
且点P在第一象限的抛物线上，
当时，线段PQ有最大值，
；
【小题3】
存在，点M的坐标为或或

【解析】见答案
见答案
略
23.【答案】①；②或；
【解析】【分析】
①已知，根据勾股定理，结合两点之间的距离公式，即可得到答案；
②根据题意，作出“限距点”的轨迹，结合图形，即可得到答案；
结合的轨迹，作出图像，可分为两种情况进行分析，分别求出两个临界点，即可求出t的取值范围.
【详解】
①根据题意，如图：
点，
，
点C为，点在AB上，
；
为，点在AB上，
；
点到点A的距离最短，为；
线段AB的“限距点”的是点C、E；
故答案为：C、
②由题意直线上满足线段的“限距点”的范围，如图所示.

点P在线段AN和DM两条线段上包括端点，
，
设点M的坐标为：，
，
，
，
易知，
同理
点P横坐标的取值范围为：或
与x轴交于点M，与y轴交于点N，
令，得；令，得，
点M为：，点N为：；
如图所示，
此时点M到线段AB的距离为2，
，
；
如图所示，，
，
，
，
，，
，
，，
解得：；
综上所述：t的取值范围为：
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，利用勾股定理解直角三角形，一次函数的图像与性质，一次函数的动点问题，以及新定义的理解，解题的关键是正确作出辅助图形，利用数形结合的思想，以及临界点的思想进行解题，本题难度较大，分析题意一定要仔细.
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