第23章 旋转 单元测试 （含答案）2024-2025学年数学人教版九年级上册

第23章旋转
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是( )
A. B.
C. D.
2.下列图形中，与成中心对称的是( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在的正方形网格中，绕某点旋转一定的角度，得到，则旋转中心是点( )
A. P B. Q C. M D. N
4.如图，已知四边形ABCD和四边形EFGH关于点O成中心对称，下列结论错误的是( )
A. B.
C. D.
5.已知点与点关于原点对称，则的值是( )
A. 2 B. C. 4 D. 8
6.如图，是由经过平移得到的，还可以看作是经过怎样的图形变化得到 下列结论：①次旋转;②次旋转和1次轴对称;③次旋转;④次轴对称.其中所有正确结论的序号是( )
A. ①④ B. ②③ C. ②④ D. ③④
7.如图，点E是正方形ABCD的边DC上一点，把绕点A顺时针旋转到的位置.若四边形AECF的面积为20，，则AE的长为( )
A. 4 B. C. 6 D.
8.如图，将绕点C顺时针旋转得到，使点A的对应点D恰好落在边AB上，点B的对应点为E，连接BE，下列结论一定正确的是( )
A. B. C. D.
9.如图，将绕点C顺时针旋转得到若点A，D，E在同一条直线上，，则的度数是( )
A. B. C. D.
10.如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是的中心，，绕点O旋转，分别交线段AB，BC于D，E两点，连接DE，给出下列四个结论：四边形ODBE的面积始终等于④的周长的最小值为正确结论的个数是( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.点是抛物线上一点，则m的值是__________，点 M关于原点对称的点的坐标是__________.
12.如图，将绕点A逆时针旋转，得到，这时点B，C，D恰好在同一直线上，则的度数为__________.
13.如图，在中，，将绕点B按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为__________.
14.一副三角板按如图所示叠放在一起，若固定，将绕着公共顶点A，按顺时针方向旋转度，当的一边与的某一边平行时，相应的旋转角的值是______.
15.我们给出如下定义：在平面内，点到图形的距离是指这个点到图形上所有点的距离的最小值．在平面内有一个矩形ABCD，，，中心为O，在矩形外有一点P，，当矩形绕着点O旋转时，则点P到矩形的距离d的取值范围为__________.
16.如图，中，，点D为BC中点．，绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．则下列结论中正确的是_______.
①，②，
③，④，⑤AD与EF可能互相平分．
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
如图，在边长均为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点A，B，O均为格点每个小正方形的顶点叫做格点
作点A关于点O的对称点；
连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，点B的对应点为，画出旋转后的线段；
连接，，求出的面积直接写出结果即可
18.本小题8分
如图，逆时针旋转一定角度后与重合，且点C恰好成为AD中点．
指出旋转中心．
若，求出旋转角的度数．
若，求AE的长．
19.本小题8分
“三等分角”是被称为几何三大难题的三个古希腊作图难题之一．如图1所示的“三等分角仪”是利用阿基米德原理做出的．这个仪器由两根有槽的棒PA，PB组成，两根棒在P点相连并可绕点P旋转，C点是棒PA上的一个固定点，点A，O可在棒PA，PB内的槽中滑动，且始终保持为要三等分的任意角．则利用“三等分角仪”可以得到
我们把“三等分角仪”抽象成如图2所示的图形，完成下面的证明．
已知：如图2，点O，C分别在的边PB，PA上，且
求证：
20.本小题8分
某校九年级学习小组在学习探究过程中，用两块完全相同的且含角的直角三角尺ABC与直角三角尺AFE按如图①所示位置放置.现将绕A点按逆时针方向旋转角，如图②，AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点
求证：
当旋转角时，判断四边形ABPF的形状，并说明理由.
21.本小题8分
如图，在中，，，D是AB边上一点点D与A，B不重合，连接CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转得到线段CE，连接DE交BC于点F，连接
求证：≌
当时，求的度数.
22.本小题8分
如图，，点B与点C关于射线AH对称，连接点为射线AH上任意一点，连接将线段CD绕点C顺时针旋转，得到线段CE，连接
求证：直线EB是线段AC的垂直平分线；
点D是射线AH上一动点，请你直接写出与之间的数量关系．
23.本小题8分
小明研究了这样一道几何题：如图1，在中，把AB点A顺时针旋转得到，把AC绕点A逆时针旋转得到，连接当时，请问边上的中线AD与BC的数量关系是什么？以下是他的研究过程：
特例验证：
①如图2，当为等边三角形时，AD与BC的数量关系为__________BC；
②如图3，当，时，则AD长为__________.
猜想论证：
在图1中，当为任意三角形时，猜想AD与BC的数量关系，并给予证明．
拓展应用
如图4，在四边形ABCD，，，，，，在四边形内部是否存在点P，使与之间满足小明探究的问题中的边角关系？若存在，请画出点P的位置保留作图痕迹，不需要说明并直接写出的边DC上的中线PQ的长度；若不存在，说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】A
【解析】略
3.【答案】A
【解析】略
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查中心对称的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题.
利用中心对称图形的性质解决问题即可.
【解答】
解：四边形ABCD和四边形EFGH关于点O成中心对称
，，，
故A，C，D正确，只有B选项错误.
5.【答案】B
【解析】【分析】
此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特征以及代数式求值，正确把握关于原点对称的点的坐标特点是解题关键．
直接利用关于原点对称的点的性质得出x，y的值，进而代入计算即可得出答案．
【解答】
解：点与点关于原点对称，
，，
解得：，，
则
故选：
6.【答案】D
【解析】略
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查了旋转的性质以及正方形的性质，正确利用旋转的性质得出对应边关系是解题关键.
利用旋转的性质得出四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积，进而可求出正方形的边长，再利用勾股定理得出答案.
【解答】
解：绕点A顺时针旋转到的位置．
四边形AECF的面积等于正方形ABCD的面积等于20，
，
，
中，
故选
8.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
根据旋转的性质判断A，C错误，得到，根据等腰三角形的性质及三角形的内角和分析可得，故D正确；由于不一定等于，于是得到不一定等于，故B错误．
【解答】
解：将绕点C顺时针旋转得到，
，，，故A错误，C错误；
，
，，
，故D正确；
不一定等于，
不一定等于，故B错误.
故选：
9.【答案】C
【解析】解： 将绕点C顺时针旋转得到，
，，，
点A，D，E在同一条直线上，
，
，，
，
故选
10.【答案】C
【解析】解：连接OB、OC，如图，
为等边三角形，
，
点O是的中心，
，OB、OC分别平分和，
，
，即，
而，即，
，
在和中
，
≌，
，，故①正确；
，
四边形ODBE的面积，故③正确；
作，如图，则，
，
，
，，
，
，
即随OE的变化而变化，
而四边形ODBE的面积为定值，
，故②错误；
，
的周长，
当时，OE最小，则的周长最小，此时，
周长的最小值为，故④正确．
故选
连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得，再证明，于是可判断≌，所以，，则可对①进行判断；利用得到四边形ODBE的面积，则可对③进行判断；作，如图，则，计算出，利用随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于的周长，根据垂线段最短，当时，OE最小，的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．
本题考查旋转的基本性质，等边三角形的性质，以及全等三角形的判定与性质．
11.【答案】6

【解析】【分析】将代入即可求得m的值，进一步求得点M关于原点对称的点的坐标．
【解答】解：点是抛物线上一点，
，
，
点M关于原点对称的点的坐标是
故答案为：6，
12.【答案】
【解析】【分析】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是本题的关键．由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求的度数．
【解答】解： 将绕点A逆时针旋转，得到，
，
点B，C，D恰好在同一直线上，
是顶角为的等腰三角形，
13.【答案】9
【解析】【分析】利用旋转的性质可得，，由题意可得阴影部分的面积=，过点A作，利用含直角三角形的性质，即可求解．
【详解】解：由旋转的性质可得：，，≌
阴影部分的面积
过点A作，如下图：

，即阴影部分的面积为9
故答案为：9
【点睛】此题考查了旋转的性质，含直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．
14.【答案】45，135，165，30，75
【解析】解：分5种情况讨论：
当AC边与OB平行的时候；
边与OB边平行的时候；
边与OB边平行的时候旋转角应为，
边与AB边平行时，
边与AO边平行时
故答案为：45，135，165，30，
要分类讨论，不要漏掉一种情况，也可实际用三角板操作找到它们之间的关系；再计算．
本题考查旋转的性质．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点-旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．
15.【答案】
【解析】解：如图：设AB的中点是E，OP过点E时，点O与边AB上所有点的连线中，OE最小，此时最大，OP过顶点A时，点O与边AB上所有点的连线中，OA最大，此时最小，
如图①：，，中心为O，
，
，
如图②：，，中心为O，
，，，
，
；
的取值范围为
故答案为：
由题意以及矩形的性质得OP过矩形ABCD各边的中点时，d最大，OP过矩形ABCD的顶点时，d最小，分别求出d的值即可得出答案．
本题考查矩形的性质，旋转的性质，根据题意得出d最大、最小时点P的位置是解题的关键．
16.【答案】①②⑤
【解析】【分析】
本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，勾股定理，三角形的面积，二次函数的最值，正方形的判定与性质等知识．
先由ASA证明≌，得出，再由勾股定理即可得出，从而判断①；
设，，先由三角形的面积公式得出，，再根据二次函数的性质即可判断②；
由勾股定理得到EF的表达式，利用二次函数性质求得EF最小值为，而，所以，从而④错误；
先得出，再由得到，，所以③错误；
如果四边形AEDF为平行四边形，则AD与EF互相平分，此时，，又D为BC中点，所以当E、F分别为AB、AC的中点时，AD与EF互相平分，从而判断⑤．
【解答】
解：中，，点D为BC中点，
，，
，
，
在与中，
，
≌，
，
在中，
故①正确；
设，，则
，
当时，有最大值，
又，
故②正确；
，
当时，取得最小值，
等号当且仅当时成立，
而，
故④错误；
由①的证明知≌，
，
，
，
故③错误；
当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．
故⑤正确．
综上所述，正确的有：①②⑤．
故答案为：①②⑤．
17.【答案】解：如图所示，点即为所求；
如图所示，线段即为所求；

【解析】解：见答案；
见答案；
如图，连接，，
则
依据中心对称的性质，即可得到点A关于点O的对称点；
依据线段绕点顺时针旋转得点B的对应点，即可得出旋转后的线段；
依据三角形的面积公式进行计算即可．
本题主要考查了利用旋转变换作图，掌握旋转的性质是解题的关键．
18.【答案】解：绕点A逆时针旋转一定角度后与重合，
即旋转中心为点A；
根据旋转的性质得和都为旋转角，
，
，
，
即旋转角的度数为；
绕点A逆时针旋转与重合，
，，
点C恰好成为AD中点．
，

【解析】本题考查了旋转的性质，熟练运用旋转的性质是解决问题的关键．
利用旋转的定义可判断旋转中心为点A；
利用旋转的性质得和都为旋转角，且，然后根据周角的定义计算出即可；
利用旋转的性质得到，，然后利用点C恰好成为AD中点得到，从而得到AE的长．
19.【答案】证明：如图所示：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
即
【解析】直接利用等腰三角形的性质结合三角形的外角性质得出答案．
此题主要考查了等腰三角形的性质以及应用设计与作图，正确运用等腰三角形的性质分析是解题关键．
20.【答案】解：证明：由题可知，，，，
≌
当旋转角时，四边形ABPF是菱形.
理由：，
，
，
，
，
四边形ABPF是平行四边形.
又，
平行四边形ABPF是菱形.

【解析】见答案
21.【答案】证明：由题意可知：，，
，
，，
，
在和中，
≌
解：，，
，
由可知：≌，
，，
，
，
，

【解析】此题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质.
根据全等三角形的判定SAS求解；
根据旋转的性质和等腰三角形的判定与性质求解.
22.【答案】证明：连接AE，DB，CB，
点B与点C关于射线AH对称，，
，，
，
，
为等边三角形，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
又，
垂直平分AC；
当为钝角时，，
当为锐角时，
【解析】【分析】
本题主要考查了等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，线段垂直平分线的判定，全等三角形的判定与性质，证明≌是解题的关键．
连接AE，DB，CB，可得为等边三角形，再利用SAS证明≌，得，从而证明结论；
分为钝角和为锐角两种情形，分别画出图形，即可得出答案．
【解答】
见答案.
解：如图，当为钝角时，
点B与点C关于射线AH对称，
，
由知，
，
如图，当为锐角时，
点B与点C关于射线AH对称，
，
，
23.【答案】①是等边三角形
，
故答案为
②
在和中，
≌
故答案为4
与BC的数量关系：理由如下：
延长AD到M，使得，连接、，如图1所示：
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
，
，
在和中，
，
≌，
，
；
存在；作于E，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；理由如下：
延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作的中线PQ，连接DF交PC于O，如图4所示：
，，
，
，
在中，，，，
，，，
在中，，，，
，
，
，
，
，
，
是线段BC的垂直平分线，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
四边形CDPF是矩形，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
，
与之间满足小明探究的问题中的边角关系；
在中，，，，

【解析】【分析】
①由已知条件可得，由可得，已知，可求得，继而，可得
②当时，可得，是直角三角形，可证得≌，推出对应边相等，已知求出AD的长.
先做辅助线，延长AD到M，使得，连接、，如图1所示：
因为，，对角线相互平分，可得四边形是平行四边形，得出对应边相等，由推得，可证明≌，所以，；
先做辅助线，作线段BC的垂直平分线交BE于P，即为点P的位置；延长AD交BC的延长线于M，线段BC的垂直平分线交BC于F，连接PA、PD、PC，作的中线PQ，连接DF交PC于O
假设P点存在，再证明理由.
根据已知角可得出是直角三角形，，可得出，存在；
，，，，可求得，
由已知，推得且，可得PF是线段BC的垂直平分线，证得
因为，，可求得，利用线段长度可求得
利用全等三角形判定定理可证得≌，进而证得四边形CDPF是矩形，
得，，可得是等边三角形，求出DQ、DP，在中可求得PQ长度.
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