第24章圆单元测试（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级上册

第24章圆
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图，在中，AB是直径，CD是弦，，垂足为点E，连接CO，AD，，则下列说法中正确的是
A. B.
C. D.
2.如图，AB是直径，C，D是上位于AB异侧的两点．下列四个角中，一定与互余的角是
A. B. C. D.
3.如图，AB是的直径，点C，D，E在上．若，则的度数为
A. B. C. D.
4.如图，已知的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是，若与互补，，则AB的长为
A. 6 B. 8 C. D.
5.点A，B在上，且若C是上的一点点C不与点A，B重合，则等于
A. B. C. 或 D. 或
6.如图，AB是的直径，C是线段OB上的一点不与点B重合，D，E是半圆上的点且CD与BE交于点用①，②，③中的两个作为题设，余下的一个作为结论组成命题，则能组成的真命题的个数为
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
7.如图，正六边形ABCDEF内接于，的半径为6，则这个正六边形的边心距OM和的长分别为( )
A. 3，
B. ，
C. ，
D. ，
8.如图，在中，弦，点C在AB上移动，连结OC，过点C作交于点D，则CD的最大值为( )
A. 5 B.
C. 3 D. 2
9.如图，在矩形ABCD中，，，将矩形ABCD按如图所示的方式在直线l上进行两次旋转，则点B在两次旋转过程中经过的路径的长是( )
A. B. C. D.
10.如图，在矩形ABCD 中，，，AD，AB，BC分别与相切于E，F，G三点，过点D作的切线交BC于点M，切点为N，则DM的长为
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.左图中的三翼式旋转门在圆柱形的空间内旋转，旋转门的三片旋转翼把空间等分成三个部分，右图是旋转门的俯视图，显示了某一时刻旋转翼的位置，根据图中的数据，可知的长是__________
12.如图，PA，PB是的切线，切点分别是点A和B，AC是的直径．若，，则BC的长为__________.
13.如图，的斜边，O是AB的中点，以O为圆心的半圆分别与两直角边相切于D，E两点，则图中阴影部分的面积为__________.
14.如图，的半径是2，直线l与相交于A，B两点，M，N是上的两个动点，且在直线l的异侧．若，则四边形MANB面积的最大值是__________.
15.如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，与x轴相切于B，与y轴交于，两点，则点A的坐标是__________.
16.如图，已知的半径是4，C，D是直径AB同侧圆周上的两点，，，动点P在AB上，则的最小值为__________.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
的三个顶点在上，，D为垂足，E是的中点．
求证：
18.本小题8分
如图，点D在上，过点D作的切线交直径AB的延长线于点P，于点
求证：DB平分
19.本小题8分
如图，AB是半圆的直径，左图中，点C在半圆外；右图中，点C在半圆内，请仅用无刻度的直尺只能画线按要求画图．
在左图中，画出的三条高线的交点；
在右图中，画出中AB边上的高．
20.本小题8分
如图，AB为的直径，弦于点E，连接AC，过A作，交于F，连接DF，过B作，交DF的延长线于点
求证：BG是的切线；
若，，求FG的长．
21.本小题8分
在平面直角坐标系xOy中，点M在x轴上，以点M为圆心的圆与x轴交于，两点，对于点P和，给出如下定义：若抛物线经过A，B两点且顶点为P，则称点P为的“图象关联点”．
已知，，，，在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是______；
已知的“图象关联点”P在第一象限，若，判断OP与的位置关系，并证明；
已知，，当的“图象关联点”P在外且在四边形ABCD内时，直接写出抛物线中a的取值范围．
22.本小题8分
已知的两边分别与相切于点A，B，的半径为
如图①，点C在点A，B之间的优弧上，，求的度数.
如图②，点C在圆上运动，当PC最大时，要使四边形APBC为菱形，的度数应为多少 请说明理由.
若PC交于点D，求第问中对应的阴影部分的周长用含r的式子表示
23.本小题8分
如图，在中，，，位于外，将线段CD绕点C顺时针旋转得到线段CE，连接DE，AE，
依题意补全图形；
判断AE与BD的数量关系与位置关系，并加以证明；
若，，AE与BD相交于点G，直接写出点G到直线AB的距离d的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧．也考查了圆周角定理和三角形三边的关系．连接OD，根据三角形的三边关系判断A；根据垂径定理，圆周角定理判断B，C，【解答】
解：连接OD，如图．
在中，，
，A错误；
是直径，CD是弦，，
，B错误；
是直径，CD是弦，，
，
，
，C错误，D正确.
故选
2.【答案】D
【解析】解： ，是所对的圆周角，
是的直径，
，
，
与互余的角是
故选
3.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查圆周角定理及其推论，解题的关键是掌握直径所对的圆周角是
连接AC，根据直径所对的圆周角是，得，再根据圆周角定理，可求出，即可求出的度数．
【解答】
解：连接
为的直径，
，
，
，
故选
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题主要考查圆周角定理，解题的关键是添加辅助线构造直角三角形.
延长AO交于点E，连接BE，由知，据此可得，在中利用勾股定理求解可得.
【解答】解：如图，延长AO交于点E，连接BE，
则，
又，
，
，
为的直径，
，
，
故选
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆周角定理，属于基础题，利用同弧所对的圆周角是圆心角的一半，求得圆周角的度数即可，注意点C可能在优弧上也可能在劣弧上，分两种情况讨论．
【解答】
解：如图．
当点C在优弧上时，
当点C在劣弧上时，
故选
6.【答案】D
【解析】解：延长DC交于G，如图，
若①，②，则，则，所以，则③成立；
若①，③，则，所以，则，所以②成立；
若②，③，则，，所以，所以①成立．
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了正多边形和圆、正六边形的性质、以及弧长公式的运用，熟练掌握正六边形的性质是解决问题的关键．连接OC，OB，由正六边形ABCDEF可求出，进而可求出，根据直角三角形角所对的边是斜边一半再利用勾股定理求出OM的长，再由弧长公式即可求出弧BC的长.
【解答】
解：连接OC，OB，
正六边形ABCDEF是圆的内接多边形，
，
，，
，
，
，
，
的长，
故选
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了垂线段最短，勾股定理和垂径定理等知识点，能求出点C的位置是解此题的关键．连接OD，如图，利用勾股定理得到CD，利用垂线段最短得到当时，OC最小，再求出CD即可．
【解答】
解：连接OD，如图，
，
，
，
当OC的值最小时，CD的值最大，
而时，OC最小，此时D、B两点重合，
，
即CD的最大值为，
故选：
9.【答案】A
【解析】略
10.【答案】A
【解析】解：如图，连接OE，OF，ON，OG，
在矩形ABCD中，
，，AD，AB，BC分别与相切于E，F，G三点，
，，
四边形AFOE和四边形FBGO是正方形，
，
，
是的切线，BC是的切线，AD是的切线，
，，
，，
在中，，
，
，
故选：
11.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了弧长的计算，以及圆的周长的计算方法，要熟练掌握，解答此题的关键是判断出，并求出直径是2m的圆的周长是多少．首先根据题意，可得，然后根据圆的周长公式，求出直径是2m的圆的周长是多少；最后用直径是2m的圆的周长除以3，求出的长是多少即可．
【解答】
解：根据题意，可得，
，
即的长是
故答案为
12.【答案】
【解析】解：连接
，PB是的切线，
，
，
为等边三角形，
，，
是的切线，
，
，
是的直径，
，
，
在中，，，
解得，，
故答案为：
连接AB，根据切线长定理得到，根据等边三角形的性质得到，，根据切线的性质得到，根据勾股定理计算即可．
本题考查的是切线的性质，切线长定理，直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
13.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了切线的性质，扇形面积的计算，等腰直角三角形，勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．由AC与BC都为圆O的切线，利用切线的性质得到三角形AOD与三角形BOE为直角三角形，由，且，利用HL得到两直角三角形全等，利用全等三角形的对应角相等得到三角形ABC为等腰直角三角形，进而确定出三角形AOD与三角形BOE都为等腰直角三角形，由斜边OA的长求出OD的长，且得出扇形圆心角的度数，阴影部分的面积为三角形AOD面积-扇形面积，求出即可．
【解答】
解：连接OD、OE，
、BC分别为圆O的切线，
为AB的中点，
，
在和中，
，
，
，
，
，
与都为等腰直角三角形，
，
，
根据勾股定理得：，
则
故答案为
14.【答案】
【解析】【分析】
本题也考查了圆周角定理以及三角形的面积．
过点O作于C，交于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，根据圆周角定理得为等腰直角三角形，求出AB，得到M点运动到D点，N点运动到E点时所求面积最大，求解即可．
【解答】
解：过点O作于C，交于D、E两点，连结OA、OB、DA、DB、EA、EB，如图，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
当M点到AB的距离最大时，的面积最大；当N点到AB的距离最大时，的面积最大，
即M点运动到D点，N点运动到E点，
此时四边形MANB面积的最大值
15.【答案】
【解析】解：作轴于点E，连接AB，AC，则四边形ABOE为矩形，
，，
，
点A的坐标是
本题可作过A点垂直于y轴的直线，根据三角形的勾股定理列出方程，求解即可得答案．本题考查常用辅助线作法：连接圆心和切点，作弦心距．
16.【答案】
【解析】解：过D作交于E，连接CE交AB于P，连接OE，作于F，如图所示：
此时最小．，
，
，
，
，
，
，
，
，，，
即的最小值为；
故答案为：
过D作交于E，连接CE交AB于P，连接OE，作于F，点D与E关于AB对称，此时最小．，由圆周角定理得出，求出，由等腰三角形的性质得出，由垂径定理得出，由直角三角形的性质得出，，得出即可．
本题考查了圆周角定理、垂径定理、轴对称的性质、等腰三角形的性质、含角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握圆周角定理和垂径定理是解题的关键．
17.【答案】证明：如图，连接OE，
是BC弧的中点，
弧弧EC，
，
，
，
，
，
，
，
【解析】此题主要考查学生对三角形内角和定理和圆心角、弧、弦的关系等知识点的理解和掌握，此题难度不大，关键是作好辅助线．
连接OE，利用垂径定理可得，再利用，可得，然后即可证明
18.【答案】证明：连结OD，如图．
为切线，
，
，即
，
，
，
，
，
平分
【解析】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．连结OD，如图，利用切线性质得，由得，又有，于是得到，即DB平分
19.【答案】解：如图所示：点P就是三个高的交点．
如图所示：CT就是AB上的高．
【解析】此题主要考查了复杂作图，关键是掌握锐角三角形的三条高交于一点，直径所对的圆周角是
根据圆周角定理：直径所对的圆周角是画图即可；
与类似，利用圆周角定理画图．
20.【答案】证明：，A，D，F在上，，
，，
在四边形BEDG中，
半径
是的切线．
解：连接
，
是的直径．
直径于E，
是的中位线．
，，
，
是等边三角形．
，
为AO的中点，
，
，
四边形BEDG是矩形．

【解析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、垂径定理、等边三角形的判定和性质、三角形中位线的性质、矩形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活运用所学知识解决问题．
由题意根据切线的判定定理证明半径，即可证明BG是的切线；
根据题意连接CF，证明OE是的中位线，得到，进而依据等边三角形的性质得到BE长，由矩形的性质可得出DG长，即可得到答案．
21.【答案】解：，H；
与的位置关系是：相切．理由如下：
为的直径，
为AB的中点．
，，
连接
为的“图象关联点”，
点P为抛物线的顶点．
点P在抛物线的对称轴上．
是AB的垂直平分线．
过点M作于
，
是的半径，且
与相切．

【解析】【分析】
本题考查圆的综合问题，二次函数图象上点的坐标的特征，切线的判定，待定系数法求函数解析式，三角形的面积等知识，综合程度较高．解题关键是根据“图象关联点”的定义，得出点P的横坐标.
由抛物线及圆的对称性可知，的”图象关联点”在线段AB的垂直平分线上，由此可判断；
连接PM，过点M作于点N，运用面积法证明即可；
求出点P纵坐标为或2时的函数解析式，再判断a的取值范围即可．
【解答】
解：抛物线经过，两点且顶点为P，
则顶点P的横坐标为，
在点E，F，G，H中，点F和点H的横坐标为，
在点E，F，G，H中，的”图象关联点”是F，H；
故答案为：F，
见答案；
由知，顶点P的横坐标为，由知的半径为，
已知，，
当的“图象关联点”P在外且在四边形ABCD内时，
顶点P的纵坐标范围大于且小于2，
当抛物线顶点坐标为时，设抛物线的解析式为：，把点代入得，
；
当抛物线顶点坐标为时，设抛物线的解析式为：，把点代入得，；
的取值范围为：
22.【答案】解：如图①，连接OA，OB，
，PB为的切线，
，
，
当时，四边形APBC为菱形.理由如下：连接OA，OB，如图②
由可知，，
，
点C运动到如图所示的位置时，PC距离最大，
经过圆心.
，PB为的切线，
，
又，
≌
，
四边形APBC是菱形.
的半径为r，
，
，
，
的长为
阴影部分的周长的长

【解析】见答案
23.【答案】解：补全图形如图1所示．
，
如图1，由旋转知，，，
，
，
，
≌，
，
在中，，，
，
，
，
，
即：，；

【解析】解：见答案；
见答案；
由知，，
点G在以AB为直径的圆上，如图2，
，
点G在上不包括点G，包括点，
，
点C到直径AB的距离为2，
即点G到AB的最大距离为
当，即时，
由旋转知，，
，
点G在AC左侧，
，
由知，，
，
，
，
，
过点G作于H，
，
，
当，即时，
由旋转知，，
，此时，点在BC右侧，
，
，
，
过点作于，
，
点G到直线AB的距离d的取值范围为
此题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，锐角三角函数，判断出点G是以AB为直径的圆上的一段弧是解本题的关键．
由旋转的性质即可得出结论；
由旋转的性质得出，，进而判断出，，最后用三角形的内角和定理即可得出结论；
先判断出点G是以AB为直径的圆上的一段弧，再用等腰三角形的性质求出，进而得出，即可得出结论．
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