第25章概率初步单元练习（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级上册

第25章概率初步
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.“抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上”这一事件是( )
A. 必然事件 B. 随机事件 C. 确定性事件 D. 不可能事件
2.已知抛一枚质地均匀的硬币，落地后正面朝上的概率为，下列说法错误的是 ( )
A. 连续抛一枚质地均匀的硬币2次，必有1次正面朝上
B. 连续抛一枚质地均匀的硬币10次，都有可能正面朝上
C. 大量反复地抛一枚质地均匀的硬币，平均每100次出现正面朝上50次
D. 通过抛一枚质地均匀的硬币决定谁先发球的比赛规则是公平的
3.经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左或向右转．若这三种可能性大小相同，则两辆汽车经过该十字路口全部继续直行的概率为( )
A. B. C. D.
4.如图是两个可以自由转动的质地均匀的转盘A， B，每个转盘被分成3个相同的扇形，游戏规定，小美与小丽分别转动转盘 A，B，若指针指向的数字较大者获胜，则小美获胜的概率是( )
A. B. C. D.
5.如图，五一期间，某景区规定A和B为入口，C，D，E为出口，小红随机选一个入口进入景区，游玩后任选一个出口离开，则她选择从A入口进入，从C或D出口离开的概率是( )
A. B. C. D.
6.从1、2、3、4四个数中随机选取两个不同的数，分别记为a、c，则关于x的一元二次方程有实数解的概率为( )
A. B. C. D.
7.九班从小华、小琪、小明、小伟四人中随机抽出2人参加学校举行的乒乓球双打比赛，每人被抽到的可能性相等，则恰好抽到小华和小明的概率是( )
A. B. C. D.
8.阿信、小怡两人打算搭乘同一班次电车上学，若此班次电车共有5节车厢，且阿信从任意一节车厢上车的机会相等，小怡从任意一节车厢上车的机会相等，则两人从同一节车厢上车的概率为( )
A. B. C. D.
9.九班有2名升旗手，九班、九班各有1名升旗手，现从这4人中随机抽取2人担任下周的升旗手，则抽取的2人恰好都来自九班的概率是( )
A. B. C. D.
10.在一个不透明的袋子里装有四个小球，球上分别标有6，7，8，9 四个数字，这些小球除数字外都相同．甲、乙两人玩“猜数字”游戏，甲先从袋中任意摸出一个小球，将小球上的数字记为 m，再由乙猜这个小球上的数字，记为如果 m，n满足，那么就称甲、乙两人“心领神会”，则两人“心领神会”的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.用2，3，4三个数字排成一个三位数，则排出的数是偶数的概率为__________.
12.用图中两个可自由转动的转盘做“配紫色”游戏：分别旋转两个转盘，若转盘a转出红色，转盘b转出蓝色即可配成紫色，则配成紫色的概率为__________.
13.如图，随机地闭合开关，，，，中的三个，能够使灯泡，同时发光的概率是__________.
14.已知的两条直径AC，BD互相垂直，分别以AB，BC，CD，DA为直径向外作半圆得到如图所示的图形，现随机地向该图形内掷一枚小针，记针尖落在阴影区域内的概率为，针尖落在内的概率为，则___.
15.在一个不透明的盒子里装着4个分别标有数字1，2，3，4的小球，它们除数字不同外其余完全相同，搅匀后从盒子里随机取出1个小球，将该小球上的数字作为a的值，则使关于x的不等式组只有一个整数解的概率为__________.
16.已知关于x的一元二次方程，从，2，3三个数中任取一个数，作为方程中b的值，再从剩下的两个数中任取一个数作为方程中c的值，能使该一元二次方程有实数根的概率是______.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
一个不透明的口袋中有三个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，甲从口袋中随机摸取一个小球，记下标号m，然后放回，再由乙从口袋中随机摸取一个小球，记下标号n，组成一个数对
用列表法或画树状图法，写出所有可能出现的结果；
甲、乙两人玩游戏，规则如下：按上述要求，两人各摸取一个小球，小球上标号之和为奇数则甲赢，小球上标号之和为偶数则乙赢．你认为这个游戏规则公平吗？请说明理由．
18.本小题8分
4张相同的卡片上分别写有数字0、1、、将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字记录下来;再从余下的3张卡片中任意抽取1张，同样将卡片上的数字记录下来.
第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为__________;
小敏设计了如下游戏规则：当第一次记录下来的数字减去第二次记录下来的数字所得结果为非负数时，甲获胜;否则，乙获胜.小敏设计的游戏规则公平吗 为什么请用画树状图或列表等方法说明理由
19.本小题8分
一个不透明的袋中装有2个红球和2个绿球，这些球除颜色外无其他差别．
先从袋中摸出1个球，记下颜色后放回，混合均匀后再摸出1个球．
①求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率；
②求两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率．
先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，则两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是多少？请直接写出结果．
20.本小题8分
为了保护学生视力，防止学生沉迷网络和游戏，促进学生身心健康发展，教育办公厅于2021年1月15日颁发了《教育部办公厅关于加强中小学生手机管理工作的通知》为贯彻《通知》精神，学校组织该主题漫画比赛．现在小雪和小英想通过设计一个游戏来决定谁去参赛．游戏规则如下：有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，3，4；另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球．先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字若指针指在分界线上则重转，再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字．若得到的两数字之和大于6，则小雪参赛；若得到的两数字之和小于6，则小英参赛．
请用列表或画树状图的方法表示出所有可能出现的结果；
此游戏公平吗？请说明理由．
21.本小题8分
如图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子．每个面上分别标有数字1、2、3、4，如图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面除底面外的数字之和是几，就从图②中的点A开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是________；
随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法求棋子最终跳动到点C处的概率．
22.本小题8分
从2018年高一新生开始，湖南全面启动高考综合改革，实行“”的高考选考方案.“3”是指语文、数学、外语三科必考;“1”是指从物理、历史两科中任选一科参加选考，“2”是指从政治、化学、地理、生物四科中任选两科参加选考.
“”的选考方案共有多少种 请直接写出所有可能的选法选法与顺序无关，例如：“物、政、化”与“物、化、政”属于同一种选法
高一学生小明和小杰将参加新高考，他们酷爱历史和生物，两人约定必选历史和生物.他们还需要从政治、化学、地理三科中选一科参考，若这三科被选中的机会均等，请用列表或画树状图的方法，求出他们恰好都选中政治的概率.
23.本小题8分
如图，有一个可自由转动的转盘，被分成了三个大小相同的扇形，分别标有数字2，4，另有一个不透明的瓶子，装有分别标有数字1，3，5的三个完全相同的小球.小杰先转动一次转盘，停止后记下指针指向的数字若指针指在分界线上则重转，小玉再从瓶子中随机取出一个小球，记下小球上的数字.
请用列表或画树状图的方法选其中一种表示出所有可能出现的结果;
若得到的两数字之和是3的倍数，则小杰赢;若得到的两数字之和是7的倍数，则小玉赢，此游戏公平吗 为什么
答案和解析
1.【答案】B
【解析】【分析】
根据随机事件的定义，随机事件就是可能发生，也可能不发生的事件，即可判断．
本题主要考查的是对随机事件概念的理解，解决此类问题，要学会关注身边的事物，并用数学的思想和方法去分析、看待、解决问题，比较简单．
【解答】
解：抛1枚均匀硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，
故抛1枚均匀硬币，落地后正面朝上是随机事件．
故选：
2.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了概率的意义，关键是弄清随机事件和必然事件的概念的区别根据概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，对各选项逐一判断即可.
【解答】
解：连续抛一均匀硬币2次必有1次正面朝上，不正确，有可能两次都正面朝上，也可能都反面朝上，故此选项错误；
B.连续抛一均匀硬币10次都可能正面朝上，是一个随机事件，有可能发生，故此选项正确；
C.大量反复抛一均匀硬币，平均100次出现正面朝上50次，故此选项正确；
D.通过抛一均匀硬币确定谁先发球的比赛规则是公平的，概率均为，故此选项正确.
故选
3.【答案】C
【解析】解：列表得：
右 直，右 左，右 右，右
左 直，左 左，左 右，左
直 直，直 左，直 右，直
直 左 右
一共有9种情况，两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的有一种，
两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的概率是
故选：
列举出所有情况，看两辆汽车经过这个十字路口全部继续直行的情况占总情况的多少即可．
本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
4.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查用列表法与树状图法求概率，用到的知识点为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
先根据题目要求用树状图法，列举出所有情况，根据小美获胜的次数除以总情况数即为所求的概率，
【解答】
解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中小美获胜的次数有5种，
所以小美获胜的概率是
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数n，再从中选出符合事件A或B的结果数m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率.也考查了根的判别式.
根据题意画出树状图得出所有等可能的结果数，再找出满足的结果数，然后根据概率公式求解即可.
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果数，其中满足一元二次方程的，即的结果有、、、、、，共6种结果，
则关于x的一元二次方程有实数根的概率为
7.【答案】C
【解析】把小华、小琪、小明、小伟分别记为A、B、C、D，列表如下：
共有12个等可能的结果，恰好抽到小华和小明的结果有2个，
恰好抽到小华和小明的概率为
故选
8.【答案】B
【解析】解：二人上5节车厢的情况数是：，
两人在不同车厢的情况数是，
则两人从同一节车厢上车的概率是；
故选：
此题主要考查了概率的求法．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9.【答案】B
【解析】【分析】
根据题意，画出树状图，列出所有的等可能结果，再从中找到满足条件的结果，利用概率公式即可求出概率．
此题考查的是概率的求法，掌握根据题意画树状图并根据树状图分析并计算概率是解决此题的关键．
【解答】
解：设九班，九班，九班分别用1，2，3表示，
由题意可知，树状图如下：
由图可知，一共有12种等可能的结果，其中抽取的2人恰好都来自九班的结果共有2种，
故抽取的2人恰好都来自九班的概率是
故选：
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意：概率=所求情况数与总情况数之比．
利用列表法列出所有等可能结果，由表格确定出所有等可能结果数及两人“心领神会”的结果数，根据概率公式求解可得．
【解答】
解：列表：
由表格知共有16种等可能的结果，其中符合条件的是，，，，，，，，，，共10种，
所以两人“心领神会”的概率是，
故选
11.【答案】
【解析】见答案.
12.【答案】
【解析】列表如下：
共有12个等可能的结果，其中配成紫色的结果有1个，
配成紫色的概率为
13.【答案】
【解析】随机闭合三个开关共有10种情况：，，
，，，，，
，，，
其中能使灯泡，同时发光的有和两种情况，
故所求概率为
14.【答案】
【解析】【分析】
此题主要考查了几何概率，正确得出各部分面积是解题关键．直接利用圆的面积求法结合正方形的性质得出，的值即可得出答案．
【解答】
解：设的半径为1，则，
故的面积为，
阴影部分面积为：，
则，，
故
故答案为：
15.【答案】
【解析】 【分析】
本题考查的是概率公式，一元一次不等式组的正整数解，理解整数比大1列出方程是解题的关键．
根据不等式组只有一个整数解可知较大的数比较小的数大1，列出方程求出a的值，再根据概率公式列式计算即可得解．【解答】
解：不等式组只有一个整数解，
，
解得，
故答案为
16.【答案】
【解析】解：画树状图为：，
共有6种等可能的结果数，
因为，
所以能使该一元二次方程有实数根占3种，
，；
，；
，，
所以能使该一元二次方程有实数根的概率
故答案为：
先利用树状图展示所有6种等可能的结果数，再根据判别式的意义得到当，；，；，时，该一元二次方程有实数根，然后根据概率公式计算．
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．也考查了根的判别式．
17.【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能结果，所有可能出现的结果为，，，，，，，，；
这个游戏规则不公平，
理由是：由可得，
小球上标号之和有9种等可能情况，
其中标号之和为奇数有4种，所以甲赢概率为，
标号之和为偶数有5种，所以乙赢概率概率为，机会不等，
这个游戏规则不公平.
【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意区分放回与不放回实验，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图得出所有可能的结果；
由中的结果分别得出和为奇数及和为偶数的概率，再进行解答即可.
18.【答案】解：
列表如下：
0 1 3
0 / 1 3
1 / 2
2 3 / 5
3 /
由表可知，共有12种等可能结果，其中结果为非负数的有6种结果，结果为负数的有6种结果，
所以甲获胜的概率=乙获胜的概率，
此游戏公平．
【解析】【分析】
本题考查的是游戏公平性的判断及列表法求概率．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
利用概率公式求解即可；
利用列表法法列举出所有可能，进而利用概率公式进而得出甲、乙获胜的概率即可得出答案．
【解答】
解：张卡片只有一张卡片上的数字是负数，
第一次抽取的卡片上数字是负数的概率为，
故答案为：
19.【答案】解：①画树状图得：
共有16种等可能的结果，第一次摸到绿球，第二次摸到红球的有4种情况，
第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率为：；
②两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，
两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的为：；
先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：种，且两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，
两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的概率是：
【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
①首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与第一次摸到绿球，第二次摸到红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
②首先由①求得两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的情况，再利用概率公式即可求得答案；
由先从袋中摸出1个球后不放回，再摸出1个球，共有等可能的结果为：种，且两次摸到的球中有1个绿球和1个红球的有8种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
20.【答案】解：画树状图如下：
共有9种等可能的结果；
此游戏公平，理由如下：
共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种，
小雪参赛的概率为，小英参赛的概率为，
此游戏公平．
【解析】画树状图即可；
共有9种等可能的结果，两数字之和大于6的结果有4种，两数字之和小于6的结果有4种，求出小雪参赛和小英参赛的概率，即可得出结论．
本题考查了游戏公平性、树状图法以及概率公式，判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平．
21.【答案】解：；
9 8 7 6
9
8
7
6
从表格可以看出，随机掷两次骰子，两次的数字之和共有16种等可能的结果，
当表格中的和为14时棋子恰好到达点C处，有3种情形，
所以棋子最终跳动到点C处的概率为
【解析】【分析】
本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
和为8时，可以到达点C，根据概率公式计算即可；
利用列表法统计即可.
【解答】
解：将正四面体形状的骰子掷出后，骰子向上三个面的数字之和有以下4种等可能的结果：；
；
；
，
题图②中棋子从点A沿着顺时针方向分别连续跳动6、7、8、9个顶点，依次到达点A、B、C、D处，随机掷一次骰子，
则棋子跳动到点C处的概率是，
故答案为；
见答案．
22.【答案】画树状图如下：
由树状图可知，共有12种等可能的结果.
故“”的选考方案有12种：物、政、化;物、政、地;物、政、生;物、化、地;物、化、生;物、地、生;
历、政、化;历、政、地;历、政、生;历、化、地;历、化、生;历、地、生.
画树状图如下：
由树状图知，共有9种等可能的结果，其中小明和小杰恰好都选中政治的只有1种结果，
所以小明和小杰恰好都选中政治的概率为

【解析】见答案
23.【答案】用列表法表示所有可能出现的结果情况如下：
故共有9种等可能的结果，即，，，，，，，，
公平.
理由：列出两次得数之和的所有可能的结果如下：
共有9种等可能的结果，其中“和为3的倍数”的有3种，“和为7的倍数"的有3种，
小杰胜，小玉胜，
即小杰胜小玉胜，
因此游戏是公平的.

【解析】见答案
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