第25章概率初步 单元练习（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级上册

第25章概率初步
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列判断正确的是( )
A. 任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上
B. 天气预报说“明天的降水概率为”，表示明天有的时间都在降雨
C. “篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件
D. “a是实数，”是不可能事件
2.袋子中装有4个黑球和2个白球，这些球的形状、大小、质地等完全相同，在看不到球的条件下，随机地从袋子中摸出三个球．下列事件是必然事件的是
A. 摸出的三个球中至少有一个球是黑球 B. 摸出的三个球中至少有一个球是白球
C. 摸出的三个球中至少有两个球是黑球 D. 摸出的三个球中至少有两个球是白球
3.小张掷一枚均匀硬币，结果是一连9次掷出正面向上，那么他第10次掷硬币时，出现正面向上的概率是
A. 0 B. 1 C. D. 不能确定
4.小强同学从，0，1，2，3，4这六个数中任选一个数，满足不等式的概率是( )
A. B. C. D.
5.在下列图形中任取一个是中心对称图形的概率是( )
A. B. C. D. 1
6.做随机抛掷一枚纪念币的试验，得到的结果如下表所示：
抛掷次数n 500 1000 1500 2000 2500 3000 4000 5000
“正面向上”的次数m 265 512 793 1034 1306 1558 2083 2598
“正面向上”的频率
下面有3个推断：
①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，所以“正面向上”的概率是；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次．
其中所有合理推断的序号是
A. ② B. ②③ C. ①③ D. ①②③
7.一个盒子中有红球m个，白球8个，黑球n个，每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率与不是白球的概率相同，那么m与n的关系是
A. ， B. C. D.
8.在 ABCD中，AC，BD是两条对角线，现从以下四个关系：①，②，③，④中随机取出一个作为条件，可推出 ABCD是菱形的概率为
A. B. C. D. 1
9.10个人去钓鱼，一共钓到3条鱼，假设每个人钓到鱼的可能性相同，那么这3条鱼由同一个人钓到的概率是( )
A. B. C. D.
10.一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字，0，1，2，连续抛掷两次，朝下一面的数字分别是a，b，将其作为M点的横、纵坐标，则点落在以，，为顶点的三角形内包含边界的概率是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.我国古代的“四书”是指《论语》《孟子》《大学》《中庸》．它是儒家思想的核心著作，是我国传统文化的重要组成部分．若从这四本著作中，随机抽取两本先随机抽取一本，不放回，再随机抽取另一本，则抽取的两本恰好是《论语》和《大学》的概率是__________.
12.有下列事件：①随意翻到一本书的某页，这页的页码是奇数；②测得某天的最高气温是；③掷一枚质地均匀的骰子，向上一面的数字是2；④四边形的内角和是其中，属于必然事件的是__________填序号
13.在一个不透明袋子中，装有3个红球，5个白球和一些黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋中随机摸出一个球是白球的概率为，则袋中黄球的个数为______.
14.从，0，，3中随机任取一数，取到无理数的概率是__________.
15.一个盒中装着大小、外形一模一样的x颗白色弹珠和y颗黑色弹珠，从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是如果再往盒中放进12颗同样的白色弹珠，取得白色弹珠的概率是，那么原来盒中有白色弹珠__________颗．
16.有三张正面分别写有数1，3，4的卡片，它们的背面完全相同，将这三张卡片背面朝上洗匀后随机抽取一张，若以其正面的数作为a的值，把方程组的解记为平面直角坐标系中点A的坐标，则点A位于第四象限的概率是__________.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
有两把不同的锁和四把不同的钥匙，其中两把钥匙恰好分别能打开这两把锁，其余的钥匙不能打开这两把锁．现在任意取出一把钥匙去开任意一把锁．
请用列表或画树状图的方法表示出上述事件所有可能的结果；
求一次打开锁的概率．
18.本小题8分
为了提高学生的阅读能力，某校开展了“读好书，助成长”的活动，并计划购置一批图书.购书前，对学生喜欢阅读的图书类型进行了抽样调查，并将调查数据绘制成两幅不完整的统计图，如图所示.
调查问卷单项选择题
你最喜欢阅读的图书类型是( )
A.文学名著
B.名人传记
C.科学技术
D.其他
请根据统计图回答下列问题：
本次调查共抽取了__________名学生，两幅统计图中的__________，__________;
已知该校共有3600名学生，请你估计该校喜欢阅读“A”类图书的学生有多少人;学校将举办读书知识竞赛，九年级班要在本班3名优胜者男1女中随机选送2人参赛，请用列表或画树状图的方法求被选送的两名参赛者为一男一女的概率.
19.本小题8分
有4张背面完全相同的纸牌A，B，C，D，其正面分别画有4个不同的几何图形．小华将这4张纸牌背面朝上洗匀后摸出一张，放回洗匀后再摸出一张．
用画树状图或列表的方法表示两次摸牌所有可能出现的结果纸牌可用A，B，C，D表示；
求摸出的两张纸牌牌面上所画几何图形，既是轴对称图形又是中心对称图形的概率．
20.本小题8分
为监控某条生产线上产品的质量，检测员每隔相同时间抽取一件产品，并测量其尺寸，在一天的抽检结束后，检测员将测得的数据按从小到大的顺序整理成了如下表格：
编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩
尺寸 a b
按照生产标准，产品等次规定如下：
尺寸范围 或
产品等次 特等品 优等品 合格品 非合格品
在统计优等品个数时，将特等品计算在内；在统计合格品个数时，将优等品含特等品计算在内．
已知此次抽检的合格率为，请判断编号为 的产品是否为合格品，并说明理由．
已知此次抽检出的优等品尺寸的中位数为
①求a的值；
②将这些优等品分成两组，一组尺寸大于9 cm，另一组尺寸不大于9 cm，从这两组中各随机抽取1件进行复检，求抽到的2件产品都是特等品的概率．
21.本小题8分
共享经济已经进入人们的生活.小沈收集了自己感兴趣的4个共享经济领域的图标，分别代表共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为A、B、C、D的四张卡片除字母和内容外，其余完全相同，如图.现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好.
小沈从中随机抽取一张卡片是“共享服务”的概率是__________;
小沈从中随机抽取一张卡片不放回，再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率这四张卡片分别用它们的编号A、B、C、D表示
22.本小题8分
在甲、乙两个不透明的布袋中，甲袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字0，1，2；乙袋中装有3个完全相同的小球，分别标有数字，，0；现从甲袋中随机抽取一个小球，记录标有的数字为x，再从乙袋随机抽取一个小球，记录标有的数字为y，确定点M坐标为
用树状图或列表法列举点M所有可能的坐标；
求点在直线上的概率；
在平面直角坐标系xOy中，的半径是2，求过点能作的切线的概率．
23.本小题8分
如图①是一枚质地均匀的正四面体形状的骰子．每个面上分别标有数字1、2、3、4，如图②是一个正六边形棋盘．现通过掷骰子的方式玩跳棋游戏，规则：将这枚骰子掷出后，看骰子向上三个面除底面外的数字之和是几，就从图②中的点A开始沿着顺时针方向连续跳动几个顶点，第二次从第一次的终点处开始，按第一次的方法跳动．
随机掷一次骰子，则棋子跳动到点C处的概率是________；
随机掷两次骰子，用画树状图或列表的方法求棋子最终跳动到点C处的概率．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了概率的意义以及随机事件的定义，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用概率的意义以及随机事件的定义分别分析得出答案．
【解答】
解：A、任意掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上，故A错误；
B、天气预报说“明天的降水概率为”，表示明天有的可能降雨，不一定是有的时间都在降雨，故B错误；
C、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，故C正确；
D、“a是实数，”是必然事件，故D错误．
故选
2.【答案】A
【解析】解：A、是必然事件；
B、是随机事件，选项错误；
C、是随机事件，选项错误；
D、是随机事件，选项错误．
故选：
必然事件就是一定发生的事件，依据定义即可作出判断．
解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
3.【答案】C
【解析】【分析】
根据概率的意义，无论哪一次掷硬币，都有2种情况，即正面、反面朝上，直接计算可得答案；本题考查概率的计算，其结果只与符合条件的情况数目与总的情况数目有关，与哪一次试验无关．
【解答】
解：根据概率的意义，无论哪一次掷硬币，都有2种情况，即正面、反面朝上，
正面朝上的概率都为
故选
4.【答案】C
【解析】解：在，0，1，2，3，4这六个数中，满足不等式的有、0这两个，
所以满足不等式的概率是，
故选：
找到满足不等式的结果数，再根据概率公式计算可得．
本题主要考查概率公式，用到的知识点为：概率等于所求情况数与总情况数之比．
5.【答案】C
【解析】【分析】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．由共有4种等可能的结果，任取一个是中心对称图形的有3种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
【解答】解：题图中从左向右第1，3，4个图形是中心对称图形，
所以任取一个是中心对称图形的概率是
故选
6.【答案】B
【解析】解：①当抛掷次数是1000时，“正面向上”的频率是，但“正面向上”的概率不一定是，本小题推断不合理；
②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在附近摆动，显示出一定的稳定性，可以估计“正面向上”的概率是，本小题推断合理；
③若再次做随机抛掷该纪念币的试验，则当抛掷次数为3000时，出现“正面向上”的次数不一定是1558次，本小题推断合理；
合理推断的序号为②③
故选：
根据用频率估计概率以及频率和概率的概念判断．
本题考查利用频率估计概率，大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了概率公式，根据概率公式分别计算出取得白球和不是白球的概率，根据概率相等即可得到答案.
【解答】
解：盒子中每个球除颜色外都相同，从中任取一个球，取得白球的概率为，不是白球的概率为，
由于这两个事件概率相同，因此，
故选
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了菱形的判定及概率，熟练掌握菱形的判定定理是解题的关键．
菱形的判定：①菱形定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形平行四边形+一组邻边相等=菱形；②四条边都相等的四边形是菱形．③对角线互相垂直的平行四边形是菱形或“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”根据菱形的判定得出①或③正确，再用概率公式计算即可.
【解答】
解：根据菱形的判定定理，
可推出平行四边形ABCD是菱形的有①或③，
概率为
故选
9.【答案】C
【解析】略
10.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查列举法求概率，列表得出所有等可能的结果数，找出其中落在以，，为顶点的三角形内包含边界的情况，利用概率公式求解即可.
【解答】
解：列表如下：
共有16种等可能结果，而落在以，，为顶点的三角形内包含边界有，，，，，，共7种可能情况，
所以落在以，，为顶点的三角形内包含边界的概率是
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】④
【解析】略
13.【答案】7
【解析】解：设有黄球x个，
根据题意得：，
解得：，
经检验是原方程的解，
故答案为：
设有黄球x个，根据概率公式得：，解得x的值即可．
此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
14.【答案】
【解析】解：，0，，3中是无理数的是，
取到无理数的概率是：
故答案为：
由，0，，3中是无理数的是，直接利用概率公式求解即可求得答案．
此题考查了概率公式的应用．注意用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
15.【答案】4
【解析】【分析】
本题考查的是概率的求法．如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
根据从盒中随机取出一颗弹珠，取得白色弹珠的概率是，可得方程，又由再往盒中放进12颗白色弹珠，取得白色弹珠的概率是可得方程，联立即可求得x的值．
【解答】
解：取得白色弹珠的概率是，可得方程
又由再往盒中放进12颗白色弹珠，取得白色弹珠的概率是，
可得方程，
组成方程组解得：，
故答案为
16.【答案】
【解析】略
17.【答案】解：分别用A与B表示锁，用A、B、C、D表示钥匙，
画树状图得：
则可得共有8种等可能的结果；
一次打开锁的有2种情况，
一次打开锁的概率为：
【解析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
由中的树状图，可求得一次打开锁的情况，再利用概率公式求解即可求得答案．
18.【答案】解：；84；15；
人；
画树状图如下：
由于实际选取中，不考虑顺序如选择“男、男”与选择“男、男”为同一种情况
则实际选取中只有3种可能，其中选取两名参赛者为一男一女的情况有2种，
则被选送的两名参赛者为一男一女的概率
【解析】【分析】
本题考查条形统计图，扇形统计图，用样本估算总体，用列举法求概率.
用A类型的人数除以所占的百分比即可得出第一空；用抽取的人数乘以B类型所占的百分比可得第二空；用C类型的人数除以抽取的人数乘以可得第三空；
用3600乘以喜欢阅读“A”类型图书的学生占比即可；
画树状图即可解答.
【解答】
解：名；
；
；
见答案；
见答案.
19.【答案】解画树状图得：
则共有16种等可能的结果．
既是中心对称图形又是轴对称图形的只有B、C，
既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，
既是轴对称图形又是中心对称图形的概率为：
【解析】此题考查了列表法或树状图法求概率以及轴对称图形与中心对称图形的性质．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果；
由既是轴对称图形又是中心对称图形的有4种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案．
20.【答案】解：不合格．
因为，不合格的有个，给出的数据只有①②两个不合格；
①优等品有⑥ ，中位数为⑧和⑨a的平均数，
，
解得
②大于9cm的有⑨⑩ ，小于9cm的有⑥⑦⑧，其中特等品为⑦⑧⑨⑩
画树状图为：
共有九种等可能的情况，其中抽到两种产品都是特等品的情况有4种．
抽到两种产品都是特等品的概率
【解析】本题考查的是利用树状图求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
由，不合格的有个，给出的数据只有①②两个不合格可得答案；
①由可得答案；
②由特等品为⑦⑧⑨⑩，画树状图列出所有等可能结果，再根据概率公式求解可得．
21.【答案】
画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率

【解析】见答案
22.【答案】解：列表如下：
点M的坐标可能为，，，，，，，，
共有9种结果，每种结果出现可能性相同，点M在的图象上的结果有2种．
在上.
共有9种结果，每种结果出现的可能性相同，在上的点有，，在外的点有，，，所以过点能作的切线的点有5个．
过点M能作的切线.

【解析】见答案
23.【答案】解：；
9 8 7 6
9
8
7
6
从表格可以看出，随机掷两次骰子，两次的数字之和共有16种等可能的结果，
当表格中的和为14时棋子恰好到达点C处，有3种情形，
所以棋子最终跳动到点C处的概率为
【解析】【分析】
本题考查列表法与树状图，概率公式等知识，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率
和为8时，可以到达点C，根据概率公式计算即可；
利用列表法统计即可.
【解答】
解：将正四面体形状的骰子掷出后，骰子向上三个面的数字之和有以下4种等可能的结果：；
；
；
，
题图②中棋子从点A沿着顺时针方向分别连续跳动6、7、8、9个顶点，依次到达点A、B、C、D处，随机掷一次骰子，
则棋子跳动到点C处的概率是，
故答案为；
见答案．
第1页，共1页