5.2 三角函数的概念 课件（35张PPT）

(共35张PPT)
三角函数的概念
O
P
A

我们能否建立一个函数模型，
刻画点P的位置变化情况？
圆O上的点 P以 A为起点做逆时针旋转
① 建立函数模型,要利用直角坐标系。
分析要解决这个问题，我们需要什么工具？
② 根据任意角的定义，需要借助单位圆。
O
P
A
(1,0)
(x,y)
问题1: 这个运动过程中的有哪些变量，判断
它们之间是否具有函数关系.如果有，
能否写出函数解析式？

x
y
O
A

(1,0)
点P 在单位圆上运动过程中涉及的变量有：点P的横坐标、纵坐标，弧长，旋转角度 .
P
(x,y)
判断变量：间的哪两个变量能否构成函数关系？
x
y
O
A

(1,0)
M
P
(x,y)
根据勾股定理可知
即
问题2: 若角 终边与单位圆交于点P，
如何求点P的坐标呢？
x
y
当我们遇到一般性问题应该如何研究？
特殊化
O
A

(1,0)
P
(x,y)
设
M
中
可得,,
即,
所以点P的坐标为.
当时，点P的坐标是什么？
x
y
O
A

(1,0)
M
P
(x,y)
当
,
所以点P的坐标为.
x
y
任意给定一个角 ，点P的坐标唯一确定吗？
因为单位圆的半径不变，点P的坐标只与角 的大小有关，当角 确定时，点P的坐标是 也唯一确定.
O
A

(1,0)
P
(x,y)
x
y
在展示的运动变化的过程中，观察角 的终边与单位圆的交点P的坐标，有什么发现？能否运用函数的语言刻画这种对应关系呢？
对任意一个实数α，它的终边OP与单位圆的交点P的横、纵坐标x、y都是唯一确定的，有如下对应关系：
O
A

(1,0)
P
(x,y)
①任意角α (弧度)→ 唯一实数x；
②任意角α (弧度)→ 唯一实数y。
x
y
O
A

(1,0)
任意角三角函数定义
P
(x,y)
设 是一个任意角， ∈R，它的终边OP与单位圆相交于点P(x,y)，
x
y
把点P的横坐标x叫做α的余弦函数，记做，即；
把点P的纵坐标y叫做α的正弦函数，记做，；
把点P的纵坐标与横坐标的比值叫
做α的正切函数，记做tan α，
即.
正弦函数、余弦函数、正切函数的对应关系各是什么？
O
A

(1,0)
P
(x,y)
实数 (弧度)对应
于点的纵坐标y →正弦函数；
x
y
实数 (弧度)对应
于点的横坐标 →余弦函数；
O
A

(1,0)
P
(x,y)
x
y
当点的横坐标为0时，角的终边在轴上，此时，所以无意义。
因此，对于确定的角，的值也是唯一确定的，所以也是以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数，称为正切函数。
O
A

(1,0)
P
(x,y)
x
y
实数α (弧度)对应于点P的纵坐标y与横坐标 (x≠0)之比→正切函数.
任意角三角函数的定义是否符合高中函数的定义？
O
A

(1,0)
P
(x,y)
x
y
正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或者坐标的比值为函数值的函数。由于角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系， 所以三角函数可以看成是自变量为实数的函数.
正弦函数：；
余弦函数：；
正切函数：.
三角函数
任意角三角函数的定义域分别是什么呢？
O
A

(1,0)
P
(x,y)
x
y
正弦函数和余弦函数的定义域都是实数集，即， ，对于正切函数而言，要求点的横坐标，即角的终边不能位于轴上，那么正切函数的定义域为
这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢？
O
A

(1,0)
P
(x,y)
x
y
任意角的三角函数是通过角与单位圆交点的坐标定义的，锐角三角函数是通过直角三角形边长的比值定义的，在单位圆中直角三角形斜边为1，所以锐角三角函数也可用角的终边与单位圆交点的坐标定义，此时终边上的点都在第一象限，因此锐角三角函数值都是正数，而任意角的三角函数值可以是负数.
这个定义相对于锐角三角函数的定义有什么不同呢？
O
A

(1,0)
P
(x,y)
x
y
；
；
.
O
A
(1,0)
B
x
y
例1.求的正弦、余弦和正切值。
解：
在直角坐标系中作∠ = ,
∠ 的终边与单位圆的
交点 的坐标为
O
P
x
y
例2.如图，设是一个任意角，它的终边上任意一点（不与原点重合）的坐标为，点与原点的距离为。
①你能根据三角函数的定义作图表示
和吗？
求证：， ，
②在你所作的图形中，， ，表示什么？你能找到它们与任意角的三角函数的关系吗？

O
P
x
y

M
解：
设角的终边与单位圆交于点 ，分
别过点, 作x轴的垂线, ，垂足
分别为，则，
∽
所以得到,即.
因为与同号，所以，即.
同理可证： . .
通过问题，我们能够找到， ，并利用它们的相似关系，根据三角函数的定义得到证明。
O
P
x
y

例2实际上给出了任意角的三角函数的另外一种定义，而且这种定义与已有的定义是等价的，能否用严格的的数学语言叙述这个定义吗？
O
P
x
y

M
一般对于任意角，角终边上的任意一点的坐标为，它到原点的距离为，那么，，
任意角的三角函数值不会随点的位置的变化而变化。
三角函数是如何定义的？
我们除了学习这种定义，还有什么定义方法？
①单位圆定义法:建立直角坐标系，使角的顶点与坐标原点重合，终边与单位圆的交点为， 即可由点坐标得到三角函数定义.
②终边定义法: 建立直角坐标系，对于任意角角终边上的任意一点的坐标为，它到原点的距离为，那么， ， .
在我们研究三角函数概念的过程中，你体会到了什么数学思想方法？
转化与化归
数形结合
函数思想
作业：
1.求的正弦、余弦和正切值。
2.课本第179页，第1题。
谢谢观看