5.3 诱导公式 课件（38张PPT）

(共38张PPT)
诱导公式
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三角函数的基本性质的研究方法：
目录
01
一、创设情境，引入课题
04
基本性质
02
圆的几何性质
05
三角函数的定义
03
三角函数的
目录
06
单位圆的几何性质
07
公式一
08
同角三角函数的基本关系
关于原点对称
关于x轴对称
关于直线y=x对称
关于y轴对称
O
x
y
关于原点对称
关于x轴对称
关于直线y=x对称
关于y轴对称
O
x
y
二、探究公式二~公式四
β
α
问题1．在直角坐标系内，设任意角 α 的终边与单位圆交于点P1 .作P1 关于原点的对称点P2，以OP2 为终边的角 β 与角 α 有什么关系？
β= 2kπ+(π+α)(k∈Z).
P1
P2
O
角 β 与角 α 的三角函数值
角 π+α 与 α 的三角函数值
公式一
x
y
转化
设P1(x1，y1)，P2(x2，y2).
π+α
α
P1
P2
O
追问1：P1与P2的坐标有什么关系？如何用角表示P1与P2的坐标？
因为P2 是点P1关于原点的对称点， 所以
x2=－x1 ， y2=－y1.
x
y
目录
11
追问1：P1与P2的坐标有什么关系？如何用角表示P1与P2的坐标？
10
根据三角函数的定义，得
追问2：角 π+α 与 α 的三角函数值之间有什么关系？
x2=－x1
y2=－y1
追问2：角 π+α 与 α 的三角函数值之间有什么关系？
x2=－x1，y2=－y1
追问2：角 π+α 与 α 的三角函数值之间有什么关系？
公式二
追问3：公式二的探究过程是什么？
第一步，根据圆的对称性，建立角之间的关系；
第三步，等量代换，得到公式.
第二步，建立坐标之间的关系，用角表示点的坐标；
问题2．类比公式二的探究过程和方法，作P1 关
于x轴对称的点P3，那么可以得到什么结论？
α
P1
P3
O
-α
第一步，
以OP3 为终边的一个角为－α；
x
y
第二步，设P1(x1，y1)，P3(x3，y3).
x3=x1， y3=－y1.
根据三角函数的定义，得
问题2．类比公式二的探究过程和方法，作P1 关
于x轴对称的点P3，那么可以得到什么结论？
公式三
问题2．类比公式二的探究过程和方法，作P1 关
于x轴对称的点P3，那么可以得到什么结论？
问题3．类比公式二的探究过程和方法，作P1 关于
y轴对称的点P4，那么又可以得到什么结论？
第一步，以OP4 为终边的一个角可以
看成是OP3绕着原点按逆时针方向
旋转π，就可以得到π－α.
π-α
α
P1
P3
O
P4
-α
x
y
第二步，设P1(x1，y1)，P4(x4，y4).
x4=－x1， y4=y1.
根据三角函数的定义，得
问题3．类比公式二的探究过程和方法，作P1 关于
y轴对称的点P4，那么又可以得到什么结论？
公式四
问题3．类比公式二的探究过程和方法，作P1 关于
y轴对称的点P4，那么又可以得到什么结论？
追问：通过上面的分析，关于y轴对称可以看成
是关于x轴对称和关于原点对称的合成.能不能从
代数变换角度，利用已知公式直接推出公式四？
问题4．观察公式一~公式四的左右两边，有什么共同的结构特征？
公式三
公式四
公式一
公式二
问题4．观察公式一~公式四的左右两边，有什么共同的结构特征？
公式三
公式四
公式一
公式二
1. 公式表示的是角kπ±α(k∈Z)
与α的三角函数的关系；
问题4．观察公式一~公式四的左右两边，有什么共同的结构特征？
公式三
公式四
公式一
公式二
2. 公式左右两边三角函数名不变；
1. 公式表示的是角kπ±α(k∈Z)
与α的三角函数的关系；
问题4．观察公式一~公式四的左右两边，有什么共同的结构特征？
3. 公式右边的符号由圆的对称变
换中点的坐标关系确定.
2. 公式左右两边三角函数名不变；
公式三
公式四
公式一
公式二
1. 公式表示的是角kπ±α(k∈Z)
与α的三角函数的关系；
追问：求值的依据是什么？
利用诱导公式转化为锐角三角函数值.
例1 利用公式求下列三角函数值：
(1) ； (2) ；
(3) ； (4)
三、例题讲解，巩固理解
解：原式
(1)
追问：如何转化到锐角？
(2)
追问：如何转化到锐角？
解：原式
(3)
追问：如何转化到锐角三角函数？
公式一
公式四
解：原式
追问：如何转化到锐角三角函数？
公式三
公式一
公式二
解：原式
(3)
追问：如何转化到锐角三角函数？
解：原式
公式一
公式四
追问：如何转化到锐角三角函数？
解：原式
公式三
公式一
公式二
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
锐角的三角函数
用公式三或一
公式一
用公式二或四
0~2π的角的三角函数
追问：根据例1，你能归纳一下把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的步骤吗？
例2 化简
追问：本题的化简依据是什么？
诱导公式，同角三角函数的关系.
例2 化简
解：
所以
原式
四、课堂小结，形成结构
问题5．回顾本节课的学习内容，回答下列问题：
(1) 公式一~公式四有怎样的结构特征？如何记忆
它们呢？
(2) 运用公式一~公式四将任意角的三角函数化为
锐角三角函数的基本步骤是怎样的？
(3) 公式二~公式四的研究方法是什么？
(1) 公式一~公式四有怎样的结构特征？如何记忆它们呢？
③ 四组公式右边的符号由圆的对称变换中点的坐标关系确定.
② 四组公式左右两边三角函数名不变；
① 四组公式表示的是角kπ±α(k∈Z)与α的三角函数的关系；
以单位圆为载体，数形结合记忆.
(2) 运用公式一~公式四将任意角的三角函数化为锐角三角函数的基本步骤是怎样的？
任意负角的三角函数
任意正角的三角函数
锐角的三角函数
用公式三或一
公式一
用公式二或四
0~2π的角的三角函数
坐标间的关系
三角函数的关系
角与角的关系
圆的对称性
形
数
(3) 公式二~公式四的研究方法是什么？
五、课后作业
教科书第191页：练习第2，3题；
教科书第194页：习题5.3第2，3题.
1.
2. 自主探究终边关于直线y=x对称的两个角的三角函数值的关系.