2024-2025学年北京市朝阳区东北师范大学朝阳学校高三上学期10月月考数学试题（含答案）

2024-2025学年北京市东北师范大学朝阳学校高三上学期10月月考
数学试题
一、单选题：本题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.若复数满足，则的共轭复数( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.设，，，则，，的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.已知，，则“”是“”( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6.已知是两个不同的平面，是两条不同的直线，能使成立的一组条件是( )
A. B.
C. D.
7.已知函数，则下列命题正确的是( )
A. 的图象关于直线对称 B. 的图象关于点对称
C. 在上为增函数 D. 的图象向右平移个单位得到一个偶函数的图象
8.如图，在中，为边上的中线，若为的中点，则( )
A. B. C. D.
9.德国心理学家艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”“遗忘曲线”中记忆率随时间小时变化的趋势可由函数近似描述，则记忆率为时经过的时间约为 参考数据：
A. 小时 B. 小时 C. 小时 D. 小时
10.已知等差数列的前项和为，若，且，则下列说法中正确的是( )
A. 为递增数列
B. 当且仅当时，有最大值
C. 不等式的解集为
D. 不等式的解集为无限集
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.若角的终边经过点，则的值为 ．
12.已知数列满足，则的前项和为 ．
13.若函数，对任意的都满足，则常数的一个取值为 ．
14.已知正方形的边长为，点满足，则的最大值为 ．
15.设函数给出下列四个结论：函数的值域是；，方程恰有个实数根；，使得；若实数，且则的最大值为其中所有正确结论的序号是 ．
三、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数．
求的最小正周期；
求在上的最大值和最小值．
17.本小题分
在中，．
求；
若，再从条件、条件、条件这三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，求的面积．
条件：；条件：；条件：的周长为．
注：如果选择的条件不符合要求，第问得分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分．
18.本小题分
如图，已知四棱锥，底面是边长为的菱形，，侧面为正三角形，侧面底面，为侧棱的中点，为线段的中点
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求证：；
Ⅲ求三棱锥的体积
19.本小题分
已知函数．
若，求函数的单调递减区间；
若，求函数在区间上的最大值；
若在区间上恒成立，求的最大值．
20.本小题分
已知函数，．
当时，
求曲线在处的切线方程；
求证：在上有唯一极大值点；
若没有零点，求的取值范围．
21.本小题分
已知项数为的数列是各项均为非负实数的递增数列若对任意的，，与至少有一个是数列中的项，则称数列具有性质．
判断数列，，，是否具有性质，并说明理由；
设数列具有性质，求证：；
若数列具有性质，且不是等差数列，求项数的所有可能取值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.由题意知，
，
则，
所以函数的最小正周期为；
因为，所以，
而函数在上单调递增，在上单调递减，
当，即时，函数取得最大值为；
当，即时，，
当，即时，，
所以当时函数取得最小值为．

17.由正弦定理，，
因为，所以．
因为，所以，所以，
因为，所以．
选择条件：
因为，由正弦定理．
因为，所以不唯一，故条件不成立．
选择条件：
因为，，所以．
因为，由正弦定理．
又，，
所以．
所以的面积．
选择条件：
因为的周长为，，即，
由余弦定理得，，
所以，即，
由解方程组，
所以的面积．

18.Ⅰ证明：连接，交于点
四边形为菱形 为中点
又为中点
平面，平面 平面
Ⅱ为正三角形，为中点
平面平面，平面平面，平面
平面，又平面
Ⅲ为中点
又，
，
由Ⅱ知，

19.当时，，则，
令因为，则
所以函数的单调递减区间是
．
令，由，解得，舍去．
当，即时，在区间上，函数在上是减函数．
所以函数在区间上的最大值为；
当，即时，在上变化时，的变化情况如下表
所以函数在区间上的最大值为．
综上所述：
当时，函数在区间上的最大值为；
当时，函数在区间上的最大值为．
当时，则在上恒成立
函数在上是减函数，则
成立
当时，由可知：
当时，在区间上恒成立，则成立；
当时，由于在区间上是增函数，
所以，即在区间上存在使得，不成立
综上所述：的取值范围为，即的最大值为．

20.解：
若，则，．
在处，，．
所以曲线在处的切线方程为．
令，，
在区间上，，则在区间上是减函数．
又，
所以在上有唯一零点．
列表得：
极大值
所以在上有唯一极大值点．
，
令，则．
若，则，在上是增函数．
因为，，
所以恰有一个零点．
令，得．
代入，得，
解得．
所以当时，的唯一零点为，此时无零点，符合题意．
若，此时的定义域为．
当时，，在区间上是减函数；
当时，，在区间上是增函数．
所以．
又，
由题意，当，即时，无零点，符合题意．
综上，的取值范围是．
21.数列，，，不具有性质．
因为，，和均不是数列，，，中的项，
所以数列，，，不具有性质．
记数列的各项组成的集合为，又，
由数列具有性质，，所以，即，所以．
设，因为，所以．
又，则，，，，．
将上面的式子相加得：．
所以．
当时，由知，，，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意．
当时，存在数列，，，，符合题意，故可取．
当时，由知，
当时，，所以，．
又，，
，，，，即．
由，，得：，，
由两式相减得：，这与数列不是等差数列矛盾，不合题意．
综上，满足题设的的可能取值只有．

第1页，共1页