浙江省金华市金华第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题（含答案）

浙江省金华第一中学2025届高三上学期10月月考数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若复数满足，则( )
A. B. C. D.
2.直线 平面，，那么过且平行于的直线( )
A. 只有一条，不在平面内 B. 有无数条，不一定在平面内
C. 只有一条，且在平面内 D. 有无数条，一定在平面内
3.已知，为单位向量，若，则( )
A. B. C. D.
4.的展开式中项的系数是( )
A. B. C. D.
5.某圆锥母线长为，其侧面积与轴截面面积的比值为，则该圆锥体积为( )
A. B. C. D.
6.已知随机变量，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知函数的图象关于直线轴对称，且在上没有最小值，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知某多选题给出的四个选项中会有多个选项符合题目要求，全部选对的得分，有选错的得分，部分选对的得分．若选项中有其中个选项符合题目要求，记随机作答该题时至少选择一个选项所得的分数为随机变量，则( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某科技公司统计了一款最近个月的下载量如表所示，若与线性相关，且线性回归方程为，则( )
月份编号
下载量万次
A. 与负相关 B.
C. 预测第个月的下载量是万次 D. 残差绝对值的最大值为
10.设是公比为正数等比数列的前项和，若，，则( )
A. B. C. 为常数 D. 为等比数列
11.已知定义域为的偶函数满足，当时，则下列结论正确的有( )
A. B. 的图象关于点成中心对称
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若双曲线的离心率为，则该双曲线焦点到渐近线的距离为 ．
13.曲线在点处的切线与直线垂直，则 ．
14.已知集合，且，其中若任意，均有，求实数的最大值 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，分别是三角形三个内角，，的对边，已知，，
求的值；
求的周长．
16.本小题分
如图，长方体中，点分别在上，且，．
求证：平面；
当时，求平面与平面的夹角的余弦值．
17.本小题分
已知直线与抛物线交于两点，且．
求；
设为的焦点，，为上两点，，求面积的最小值．
18.本小题分
已知函数，其中为自然对数的底数．
当时，求的单调区间；
若方程有两个不同的根．
求的取值范围；
证明：．
19.本小题分
若数列满足，则称为数列，记．
写出满足，且的一个数列；
若，，证明：数列是递增数列的充要条件是；
对任意给定的整数，是否存在首项为的数列，使得？如果存在，写出一个满足条件的数列；如果不存在，说明理由．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.或
13.或
14.
15.
由得：，
，
由知，故为锐角，，
．
由知：，，
由正弦定理得：，
，
故的周长为．

16.
因为平面平面，所以，
又且，平面，所以平面，
且平面，故，同理，，
平面，
所以平面．
以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，如图：
则，
在平面中，
设平面的一个法向量为，
则，可取
由知，平面的一个法向量为
设平面与平面的夹角为，
则
故所求的夹角的余弦值为．

17.解：设，，联立，
消去得：，
，，，
，，
，
，，，
，
由知，所以，显然直线的斜率不可能为零，
设直线：，，
由，可得，所以，，
，
因为，所以，
即，即，
将，，代入得，
，所以，且，解得或．
设点到直线的距离为，所以，
，
所以的面积，
又或，所以当时，的面积．
18.
由题意得，，则，
由，解得．
当时，单调递增，
当时，单调递减；
综上，在区间内单调递增，在区间内单调递减；
由，得，
设，
由得在 区间内单调递增，在区间内单调递减，
又，当时，，且当时，，
所以当时，方程有两个不同的根，即方程有两个不同的根，
故的取值范围是
不妨设，则，且．
法一：
当时，结合知，即；
当时，．
设
则
所以在区间内单调递增，
则，即，
所以
又在区间内单调递减，
所以，即，
又，所以，
故，所以，得证．
法二：
设，，
则，
所以在区间内单调递增，又，
所以，即．
又，所以，
又在区间内单调递减．
所以，即，
又，所以，得证．

19.
数列，，，，是一个满足条件的数列．
必要性：由数列是递增数列，得，
则是首项为，公差为的等差数列，所以；
充分性：由，
得，，，，
于是，即，而，，
因此，上述各不等式都取等号，
即，从而是递增数列，
所以数列是递增数列的充要条件是．
设，则，
有，，，，
于是
，
由，得为偶数，
于是为偶数，
则要使，必须使为偶数，
即整除，亦即或，
当时，数列的项满足，，，
此时，有且成立，
当时，数列的项满足，，
，时，亦有且成立，
当或时，不能被整除，
此时不存在数列，使得且成立，
所以对任意给定的整数，不存在首项为的数列，使得．

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