3.1.1 椭圆及其标准方程 课件（22张PPT）

(共22张PPT)
3.1.1 椭圆及其标准方程
1 椭圆及其标准方程
问题1：取一条定长的细绳，把它的两端分别固定在图板上的两点，套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，画出的轨迹是什么曲线？
椭圆的定义
我们把平面内与两个定点 的距离的和等于常数（大于 ）
的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离
叫做椭圆的焦距.
一般用2a表示
一般用2c表示
问题2：定义中的常数为什么要大于焦距 ？
若 ，轨迹为线段
若 无轨迹方程.
下面我们根据椭圆的几何特征，选择适当的坐标系，建立椭圆方程.
思考1：如何建立坐标系？
根据椭圆定义有
以经过椭圆两焦点的直线为x轴，
线段 的垂直平分线为y轴，建
立平面直角坐标系 .
思考2：如何设点、列方程？
设 是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为 ，
则 ，根据椭圆定义，点M与焦点 的距离和为 .
椭圆可看作点集
即
思考3：如何化简如下含两个根式的方程？
移项后等式两边平方，得
整理得
两边平方再整理，
上述方程两边同时除以 ，得
思考4：观察右图，你能从中找出表示 的线段吗？
思考5：如何说明方程 是椭圆的标准方程？
椭圆上任一点都满足上述方程；
反过来，以上述方程的解为坐标的点都在椭圆上.
所以这个方程为椭圆的标准方程，它表示焦点在x
轴上，两个焦点分别是 的椭圆，
这里有 .
问题3：如果焦点 ， 在y轴上，且 ， 的坐标分别为 ，那么椭圆的方程是什么？
这个方程叫做焦点在y轴上的椭圆的标准方程.
知识梳理
1. 椭圆的定义：与两个定点的距离的和等于常数____________
的点的轨迹.
2.椭圆标准方程建立的过程:___________________________.
3.椭圆的标准方程：(1)焦点在x轴上 _______________________.
(2)焦点在y轴上________________________.
知识巩固
例1. 若方程 表示椭圆，
则实数m满足的条件是_______________.
解：由题可列
解得
方法一:分情况讨论
将点A，B的坐标带入椭圆方程
已知椭圆过点 和 ，则此椭圆的标准方程为______.
当焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为
则有
（与题设矛盾，舍去）
解得
跟踪训练1
当焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为
将点A，B的坐标带入椭圆方程
综上，椭圆的方程为
则有
得到
符合题意.
方法二：直接设椭圆的一般方程
将点A，B的坐标带入椭圆方程
所以，椭圆的方程为
则有
解得
设椭圆的一般方程为
在涉及到求椭圆的标准方程题目时，
要注意考虑题目中焦点位置的不确定
性，从而进行分类求解；其次，要注
意在设椭圆方程时，不同的设法对应
的未知数的范围也不同.
反思感悟
例2. 已知F是椭圆 的左焦点，P是此椭圆上的动点，
是一定点，则 的最大值为_____;最小值为____.
分析：任意取椭圆上的P点，如右图所示
可以发现随着P在椭圆上运动恒有
2 椭圆中距离和差的最值问题
所以
例2. 已知F是椭圆 的左焦点，P是此椭圆上的动点，
是一定点，则 的最大值为_______;最小值为____.
解：椭圆的一般方程为
由椭圆的定义可知，
例3. 已知F是椭圆 的左焦点，P是此椭圆上的动点，
是一定点，则 的最大值为_______;最小值为____.
分析：任意取椭圆上的P点，如右图所示
无法观察出随着P在椭圆上运动时
的最大最小值.可用椭圆
的定义进行转化.设椭圆的右焦点
为 ，则有
解：椭圆的一般方程为
由椭圆的定义可知
设椭圆的右焦点为
例3. 已知F是椭圆 的左焦点，P是此椭圆上的动点，
是一定点，则 的最大值为_______;最小值为____.
方法总结
（1）根据题目画出相应的直角坐标系与椭圆；
（2）根据三角形两边之差小于第三边、两边
之和大于第三边分析题目，可以直接分
析就直接分析，否则就用椭圆的定义进
行转化.
1.知识清单
（1）椭圆的标准方程.
（2）椭圆中距离和差的最值问题.
2.方法：数形结合、坐标法
3.常见误区：
（1）在求椭圆方程时要注意焦点位置的不确定性;
（2）设椭圆的方程时，需要备注的参数范围.
课堂小结