3.2.1 双曲线及其标准方程 课件（24张PPT）

(共24张PPT)
3.2.1双曲线及其标准方程
学习目标
1．了解双曲线的实际背景，经历从具体情境中抽象出双曲线的过程，双曲线标准方程的推导过程．
2．掌握双曲线的定义，标准方程及几何图形.(重点)
3．通过双曲线概念的引入和双曲线方程的推导，提高用坐标法解决几何问题的能力．(难点)
情境一:我们的人民海军日夜守护着海疆的安全. 某天同时段内，在 A，B两个海岛上听到了炮弹爆炸声. 已知 A，B 两地相距 800 m. 在A地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s，且声速为 340 m/s，如何确定爆炸点的位置？
A
B
椭圆
双曲线
抛物线
情境二
在本章刚开始的时候，我们已经知道椭圆、双曲线、抛物线统称为圆锥曲线，他们都可以由平面截双锥模型而获得，可见椭圆和双曲线有着内在的联系，那么他们的定义和作图过程是否也有类似的联系和相似之处呢？
圆锥曲线的形成
如图，在直线 l 上取两个定点 A，B，P 是直线 l 上的动点 . 在平面内，取定点 F1，F2, 以点 F1为圆心 、线段PA 为半径作圆，再以 F2 为圆心、线段 PB 为半径作圆.
圆 F1半径 r1 = | PA|，圆 F2半径 r2 = |PB|，圆心距 d = |F1F2|
l
调整 F1，F2 两点的距离，随着点 P 在直线 l 上滑动，两圆的位置和大小关系也随之改变.
当两圆相交时，交点的轨迹 M 会出现哪些图形？
圆 F1半径 r1 = | PA|，圆 F2半径 r2 = |PB|，圆心距 d = |F1F2|
l
圆 F1半径 r1 = | PA|，圆 F2半径 r2 = |PB|，圆心距 d = |F1F2|
l
在变化过程中出现了哪些类型的曲线呢？
我们知道，当点 P 在线段 AB 上运动时，如果
||PA|－|PB||<|F1F2|<|AB|，
那么两圆相交，交点M满足：
|MF1|＋|MF2|＝|AB|>|F1F2|.
结合椭圆的定义可知：
两圆的交点 M 的轨迹是以 F1，F2 为焦点，以线段 AB 的长为长轴长的椭圆.
r1 ＋r2 =|AB|（定值）
l
①当 M 靠近定点 F1时，
|MF2|－|MF1|＝|AB|
轨迹是一支曲线
当点 P在线段 AB 外运动时，如果|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|,
那么两圆相交,交点 M 满足什么特点呢？
②当M靠近定点F2时，
|MF1|－|MF2|＝|AB|
轨迹是另一支曲线.
当点 P在线段 AB 外运动时，如果|AB|<|F1F2|<|PA|+|PB|,
那么两圆相交,交点 M 满足什么特点呢？
综上，交点 M 满足:
||MF1|－|MF2||＝|AB|
（|AB|<|F1F2|）
其图像是两支曲线.
我们称之为双曲线.
双曲线的定义
一般地，我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2 |）的点的轨迹叫双曲线（hyperbola）.
距离之差的绝对值
非零常数
小于|F1F2|
记为2c
①这两个定点叫做双曲线的焦点.
②两焦点之间的距离叫做双曲线的焦距.
记为2a
符号表示：｛ M | ||MF1|－|MF2|| ＝ 2a < |F1F2| ＝2c ｝
若 A，B重合
则 |MF1|＝|MF2|，点 M在线段 F1F2 的垂直平分线上，即点 M 的轨迹是线段 F1F2的垂直平分线 .
常数等于 0 时
若|AB|＝|F1F2|且点 P在线段 AB 外运动,则两圆相内切F1，F2，M三点共线 ，点 M 的轨迹是两条射线.
非零常数等于|F1F2|时
若|AB|>|F1F2|且点 P 在线段 AB 外运动时，则两圆位置关系为内含无交点，即满足条件的点M 不存在.
非零常数大于|F1F2|时
一般地，我们把平面内与两个定点 F1，F2 的距离之差的绝对值等于非零常数（小于|F1F2 |）的点的轨迹叫双曲线.
求曲线方程的步骤：（类比椭圆）
以 F1，F2所在的直线为 x 轴，线段 F1F2 的垂直平分线为y轴，如图建立平面直角坐标系Oxy.
设M（x , y）,则 F1(－c，0)，F2( c，0).
|MF1|－|MF2|＝±2a.
建
化
设
限
代
如何化简呢？（类比椭圆）
x
y
O
F1
F2
焦点在 x 轴的双曲线
F1(－c，0)，F2( c，0)
移项
平方
整理
平方
化
类比椭圆
x
y
移项平方法
O
焦点在 x 轴
焦点在 y 轴
F1
F2
焦点在 y 轴的双曲线
F1( 0，－c )，F2( 0，c )
类比椭圆
x2 , y2 的系数哪一个为正，焦点在哪一个轴上.
双曲线的标准方程
x
y
O
F1
F2
x
y
O
F1
F2
焦点在 x 轴
焦点在 y 轴
大小不确定
椭圆 双曲线 定 义 方 程
焦 点
a，b，c的关系 c2 ＝a2 + b2,
a >0，b >0，但a不一定大于b.
a2 ＝b2 + c2,
a > b >0.
||MF1|－|MF2||＝2a
|MF1|＋|MF2|＝ 2a
F(±c，0)
F(0，±c)
F(±c，0)
F(0，±c)
双曲线的标准方程与椭圆的标准方程有何区别与联系
对比总结
例1 已知双曲线的两个焦点分别为 F1(－5，0), F2(5，0)，双曲线上一点 P 与 F1，F2 距离差的绝对值等于 6，求双曲线的标准方程.
典例探究
解：已知双曲线的两个焦点分别为F1(－5，0)，F2(5，0).
所以焦点在 x 轴上，且 c ＝ 5.
因为双曲线上一点 P 与 F1，F2 距离差的绝对值等于6,所以 a＝3.
由 b2＝ c2－ a2得 b＝4.
分析: 由声速及在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s ,可知A 地与爆炸点的距离比 B 地与爆炸点的距离远 680 m.且 |AB|=800 m > 680 m,
所以爆炸点的轨迹是以 A，B为焦点的双曲线在靠近 B处的一支上.
例2 已知 A , B两地相距 800 m, 在 A 地听到炮弹爆炸声比在 B 地晚 2 s, 且声速为 340 m/s,求炮弹爆炸点的轨迹方程.
解：如图所示，以 A，B所在直线为 x 轴，线段 AB 中垂线为 y 轴建立平面直角坐标系 Oxy .
设爆炸点 P 的坐标为 (x，y)，则
可知 2a＝680，2c＝800，即a＝340，c＝400.
x
y
|PA|－|PB|＝340×2＝680<|AB|＝800.
由b2＝c2－a2得 b2＝44 400.
因为 |PA|－|PB|>0所以点P的轨迹是双曲线的右支，因此 x≥340.
O
利用两个不同观测点 A，B 测得同一点 P 发出信号的时间差，可以确定点 P 所在双曲线的方程.
如果再增设一个观测点 C，利用 B，C（或 A，C）两处测得的点 P 发出信号的时间差，就可以确定点 P 所在另一双曲线方程，解这两个方程组成的方程组，就能确定点 P 的位置，这是双曲线的一个重要应用.
1. 本节课你学习了哪些知识和思想方法？
2. 同样都是圆锥曲线，双曲线和椭圆有哪些区别与联系
3. 类比椭圆，在学习了双曲线定义及方程以后，我们需要进一步研究双曲线的哪些方面的知识呢？
基本思路：曲线的背景——定义——方程——性质——应用