河南省部分名校2025届高三上学期月考（一）数学试题（含答案）

河南省部分名校2025届高三上学期月考（一）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则( )
A. B. C. D.
2.已知函数，则“是函数为偶函数”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.下列命题中，真命题的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
4.冰箱空调等家用电器使用了氟化物，氟化物的释放破坏了大气上层的臭氧层，使臭氧量呈指数函数型变化．当氟化物排放量维持在某种水平时，臭氧量满足关系式，其中是臭氧的初始量，是自然对数的底数，是时间，以年为单位．若按照关系式推算，经过年臭氧量还保留初始量的四分之一，则的值约为( )
A. 年 B. 年 C. 年 D. 年
5.如图为函数的部分图象，则( )
A. 函数的周期为
B. 对任意的，都有
C. 函数在区间上恰好有三个零点
D. 函数是偶函数
6.在中，的面积为，，，且满足，则该三角形的外接圆的半径为( )
A. B. C. D.
7.与都是边长为的正三角形，沿公共边折叠成三棱锥且长为，若点，，，在同一球的球面上，则球的表面积为( )
A. B. C. D.
8.已知函数及其导函数在定义域均为且是偶函数，其函数图象为不间断曲线且，则不等式的解集为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列结论中，所有正确的结论是( )
A. 若，则
B. 命题的否定是：
C. 若且，则
D. 若，则实数
10.已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，则( )
A. 的图像关于点成中心对称 B.
C. D.
11.设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，，则( )
A. B. 的图象关于直线对称
C. 在区间上为增函数 D. 方程仅有个实数解
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知正数满足，若恒成立，则实数的取值范围为 ．
13. ．
14.已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，，则双曲线的渐近线方程为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
若，，求的值；
设，求在区间上的最大值和最小值．
16.本小题分
在中，角，，所对的边分别为，，，设向量，，，
求函数的最大值
若，，，求的面积．
17.本小题分
如图，平面，，点，，分别为，，的中点．
求证：平面；
若为线段上的点，且直线与平面所成的角为，求的值．
18.本小题分
已知函数．
讨论的单调性；
证明：．
19.本小题分
已知椭圆：的离心率为，右顶点与的上、下顶点所围成的三角形面积为．
求的方程．
不过点的动直线与交于，两点，直线与的斜率之积恒为．
(ⅰ)证明：直线过定点；
(ⅱ)求面积的最大值．
参考答案
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15.解：因为，由，得到，
解得或，
即或，又，
所以或．
因为，
令，因为，得到，
由的图象与性质知，，所以，
所以在区间上的最大值为，最小值为．

16.解：因为
，
因为，所以，
所以，
所以函数的最大值为．
，，
，
．
在中，由正弦定理，
得，
所以，
由余弦定理得，
由解得，
所以的面积为．
17.解：连接，由，得，
又，则四边形为平行四边形，
由点和分别为和的中点，得且，
而，为的中点，则且，
四边形为平行四边形，则，又平面，平面，
所以平面．
由平面，，得直线两两垂直，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，
则，
，
设为平面的法向量，则
取，得，
设，即，
则，，
由直线与平面所成的角为，得，
即，整理得，而，解得，
所以．

18.解：的定义域为，
故，
若时，令得，令得，
故在上单调递增，在上单调递减，
当时，若时，，故在上单调递增，
若时，，令得或，
令得，
故在，上单调递增，在上单调递减；
若时，，令得或，
令得，
故在，上单调递增，在上单调递减；
综上，当时，在上单调递增，在上单调递减；
当时，在上单调递增；
当时，在，上单调递增，在上单调递减；
当时，在，上单调递增，在上单调递减．
，
即，
令，定义域为，
，其在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理得，存在唯一的，使得，
即，故，
当时，，当时，，
故在上单调递减，在上单调递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
其中，
两边取对数得，故，
所以，证毕．

19.解：设的半焦距为，
由题意知离心率，
所以，，
由题意知，
解得，故，，
故C的方程为．
若直线的斜率不存在，则动直线与轴垂直，当直线运动时，直线与的斜率之积不恒为，由题可知直线的斜率存在．
设直线，，，
联立得．
所以，，
因为直线与的斜率之积为，点，所以，
即，
整理得，
所以，
整理得，解得或，
若，则直线过点，所以，
当时，直线的方程为，过定点，不符合题意，
当时，直线的方程为，过定点．
综上，直线过定点．
由得，又，解得．
因为
，
点到直线的距离，
所以
令，，则，
所以
，
当，即时，的面积取得最大值，且最大值为．
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