河北省五校2025届高三上学期第一次联合测评数学试题（含答案）

河北省五校2025届高三上学期第一次联合测评数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知，则( )
A. B.
C. D.
2.已知数列，，且，则( )
A. B. C. D.
3.已知向量，，则在向量上的投影向量为( )
A. B. C. D.
4.已知，，则
A. B. C. D.
5.据史书记载，古代的算筹是由一根根同样长短和粗细的小棍制成，如图所示，据孙子算经记载，算筹记数法则是：凡算之法，先识其位，一纵十横，百立千僵，千十相望，万百相当．即在算筹计数法中，表示多位数时，个位用纵式，十位用横式，百位用纵式，千位用横式，以此类推．例如表示，表示，现有根算筹，据此表示方式任意表示两位数算筹不剩余且个位不为，则这个两位数不小于的概率为( )
A. B. C. D.
6.若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
7.已知抛物线，为直线上一点，过作抛物线的两条切线，切点分别为，则的值为( )
A. B. C. D.
8.已知函数在内有最小值点，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知复数满足，则下列说法正确的是( )
A. 的虚部为
B.
C. 若复数，满足，且，则
D. 若复数满足，则在复平面内对应的点构成图形的面积为
10.设都是定义在上的奇函数，且为单调函数，，若对任意有为常数，，则( )
A. B.
C. 为周期函数 D.
11.在棱长为的正方体中，为棱上一点，且，为正方形内一动点含边界，则下列说法中正确的是( )
A. 若平面，则动点的轨迹是一条长为的线段
B. 存在点，使得平面
C. 三棱锥的最大体积为
D. 若，且与平面所成的角为，则的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若，则 ．
13.已知点是双曲线左支上一点是双曲线的左、右两个焦点，且与两条渐近线相交于两点如图，点恰好平分线段，则双曲线的离心率是 ．
14.若函数在上有两个零点，则的取值范围是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
数列满足：，；设
证明是等比数列，并求的通项公式；
求的前项和．
16.本小题分
年月日，第届夏季奥林匹克运动会在法国巴黎正式开幕人们在观看奥运比赛的同时，开始投入健身的行列某兴趣小组为了解成都市不同年龄段的市民每周锻炼时长情况，随机从抽取人进行调查，得到如下列联表：
年龄 周平均锻炼时长 合计
周平均锻炼时间少于小时 周平均锻炼时间不少于小时
岁以下
岁以上含
合计
试根据的独立性检验，分析周平均锻炼时长是否与年龄有关？精确到；
现从岁以下的样本中按周平均锻炼时间是否少于小时，用分层随机抽样法抽取人做进一步访谈，再从这人中随机抽取人填写调查问卷记抽取人中周平均锻炼时间不少于小时的人数为，求的分布列和数学期望．
参考公式及数据：，其中．
17.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，与底面所成角为，四边形是梯形，．

证明：平面平面；
若点是的中点，点是的中点，求点到平面的距离．
点是线段上的动点，上是否存在一点，使平面，若存在，求出点坐标，若不存在，请说明理由．
18.本小题分
已知椭圆：的右焦点为，离心率为，直线经过点，且与相交于，两点，记的倾斜角为．
求的方程；
求弦的长用表示；
若直线也经过点，且倾斜角比的倾斜角大，求四边形面积的最小值．
19.本小题分
已知函数．
当时，求函数的极值；
若函数有唯一的极值点．
求实数取值范围；
证明：．
参考答案
1.
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13.
14.
15.解：由题意知，则，
即，又，则，
故是首项为，公比为的等比数列，
故，即；
由于，故．

16.解：零假设：周平均锻炼时长与年龄无关联．
由列联表中的数据，可得，
．
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，
即认为周平均锻炼时长与年龄有关联，此推断犯错误的概率不大于．
所以岁以下和岁以上含周平均锻炼时长有差异．
抽取的人中，周平均锻炼时长少于小时的有人，不少于小时的有人，
所以所有可能的取值为，
所以，，，
所以随机变量的分布列为：
随机变量的数学期望

17.解：由平面，平面，平面，
得，，与底面所成角为．
所以三角形为等腰直角三角形，．
又由四边形是直角梯形，，可知，
所以为等腰直角三角形，而，故．
在直角梯形中，过作，垂足为，则四边形为正方形，
可知．
所以，在等腰直角三角形中，．
则有，所以．
又因为，，平面，平面．
所以平面因为平面，所以平面平面．
以为坐标原点，分别以所在的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．

则，，，，．
因为是的中点，点是的中点，所以，．
设平面的法向量为，，，
则，得
取，则，得平面的一个法向量为，
而，所以点到平面的距离为．
设，注意到，
所以，
所以，
设，注意到，
所以，
因为，，所以，
若平面，
则当且仅当，即当且仅当
此时，
综上所述，当且仅当重合，此时存在，使平面．

18.解：由题意知解得，，
所以的方程为．
当时，设的方程为，，，，
联立得，
其中，且，，
所以．
当时，．
综上，对任意的，．
由题意知，由知，，
所以
．
令，，
则，．
因此，当时，四边形的面积取得最小值．
19.解：由函数，可得其定义域为，且，
当时，可得，
则当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，当时，函数的极小值为，无极大值．
由可知，分析的图像特征，
可得在上单调递增，且，
当时，则恒成立，
故函数在恒单调递增，即无极值点；
当时，令，解得舍去，，
则函数的单调递增区间为，单调递减区间为
即此时有唯一的极值点，且满足成立；
综上所述：当时，函数有唯一的极值点；
由可知，函数有唯一的极值点，且，
故
，
即等价于在时恒成立，
令，
可得且，
当时，构建，
则，
由，则，
所以对恒成立，所以在上单调递增，
即对恒成立，故在上单调递减，
即在上有成立；
又当时，则，
令，则，
当时，，可得在内单调递增，则有，
故在内单调递增，则，
故当时，有，
则对上恒成立，
则在上单调递增，可得，
综上所述：对恒成立，即．

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