第26章反比例函数单元测试（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级下册

第26章反比例函数
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图是反比例函数的图象，它的函数表达式是
A. B. C. D.
2.对于反比例函数，下列说法错误的是( )
A. 图象经过点 B. 图象位于第二、四象限
C. 当时，y随x的增大而减小 D. 当时，y随x的增大而增大
3.如图，点A在双曲线上，B在y轴上，且若的面积为6，则k的值为 ( )
A. 6 B. C. 12 D.
4.如图，直线与反比例函数的图象在第一象限交于点，与x轴、y轴分别交于A，B两点，则下列结论错误的是 ( )
A. B. 是等腰直角三角形
C. D. 当时，
5.当时，函数与的y值都随x的增大而增大，则k的取值范围是
A. B. C. D.
6.函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是( )
A. B.
C. D.
7.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是( )
A. B. C. D.
8.在大棚中栽培新品种的蘑菇，在的条件下生长最快，因此用装有恒温系统的大棚栽培，如图是某天恒温系统从开启升温到保持恒温及关闭，大棚内温度随时间时变化的函数图象，其中BC段是函数图象的一部分．若该蘑菇适宜生长的温度不低于，则这天该品种蘑菇适宜生长的时间为( )
A. 18小时 B. 小时 C. 12小时 D. 10小时
9.设A，B，C，D是反比例函数图象上的任意四点，现有以下结论：
①四边形ABCD可以是平行四边形；
②四边形ABCD可以是菱形；
③四边形ABCD不可能是矩形；
④四边形ABCD不可能是正方形．
其中正确的是
A. ①② B. ①④ C. ②③ D. ③④
10.如图，点P、Q是反比例函数图象上的两点，轴于点A，轴于点N，作轴于点M，轴于点B，连接PB、记，，则与的大小关系为 ( )
A. B. C. D. 无法判断
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.在反比例函数中，比例系数k的值为__________.
12.若函数是y关于x的反比例函数，则__________.
13.若把电压为定值的蓄电池接在某可变电阻两端，流经该电阻的电流与电阻的函数关系图象如图所示，当可变电阻的阻值为时，电路中的电流I为__________
14.如图，点A在反比例函数的图象上，过点A作轴，垂足为B，交反比例函数的图象于点C，P为y轴上一点，连接PA，PC，则的面积为__________.
15.如图，在平面直角坐标中，点O为坐标原点，菱形ABCD的顶点B在x轴的正半轴上，点A坐标为，点D的坐标为，反比例函数的图象恰好经过点C，则k的值为______.
16.如图，已知点是反比例函数图象上的一点，连接AO并延长交双曲线的另一分支于点B，点P是x轴上一动点，若是等腰三角形，则点P的坐标是__________.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
已知
当m为何值时，y是x的正比例函数？
当m为何值时，y是x的二次函数？
当m为何值时，y是x的反比例函数？
18.本小题8分
将油箱加满k L油后，轿车可行驶的总路程与平均耗油量之间满足反比例函数关系：是常数，已知某轿车油箱加满油后，以平均耗油量为的速度行驶，可行驶
求s关于a的函数解析式；
当平均耗油量为时，油箱加满油后该轿车可以行驶多少千米？
19.本小题8分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点，与y轴交于点
求一次函数与反比例函数的表达式；
若点D与点C关于x轴对称，求的面积；
若，是反比例函数的图象上两点，当时，比较与的大小．
20.本小题8分
如图，在平面直角坐标系xOy中，点A，B在反比例函数的图象上，点，是等边三角形．
求反比例函数的表达式；
连接AC，AO，若四边形ACBO的面积是，求点A的坐标．
21.本小题8分
如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B两点，其中
求k的值及点B的坐标；
请根据图象直接写出不等式的解集．
22.本小题8分
在平面直角坐标系xOy中，直线l：与函数的图象交于点
求t，k的值；
点B是函数的图象上任意一点不与点A重合，点P，Q在直线l上，点P横坐标为若，求点Q横坐标的取值范围.
23.本小题8分
阅读下面材料：
学习函数知识后，对于一些特殊的不等式，我们可以借助函数图象来求出它的解集.例如，求不等式的解集，我们可以在同一坐标系中，画出直线与函数的图象如图，观察图象可知：它们交于点，当或时，，即不等式的解集为或
小东根据学习以上知识的经验，对求不等式的解集进行了探究.
下面是小东的探究过程，请补充完整：
将不等式按条件进行转化：当时，原不等式不成立;当时，原不等式转化为当时，原不等式转化为____________________.
构造函数，画出图象：设，，在同一坐标系图中分别画出这两个函数的图象.
借助图象，写出解集：观察所画两个函数的图象，确定两个函数图象交点的横坐标，结合的讨论结果，可知：不等式的解集为______________________.
答案和解析
1.【答案】D
【解析】【分析】
此题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式，用待定系数法求反比例函数的解析式。
函数经过一定点，将此点坐标代入函数解析式，即可求得k的值．
【解答】
解：设反比例函数的解析式为
函数经过点，
，
反比例函数解析式为
故选：
2.【答案】C
【解析】【分析】
略
【解答】
解：反比例函数中，当时，，
的图象经过点，故选项A不符合题意;
，该函数图象位于第二、四象限，故选项B不符合题意;
当时，y随x的增大而增大，故选项C符合题意;
当时，y随x的增大而增大，故选项D不符合题意.故选
3.【答案】A
【解析】【分析】
见答案
【解答】
见答案
4.【答案】D
【解析】【分析】
见答案
【解答】
见答案
5.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查的是一次函数的性质，反比例函数的性质有关知识，根据，两函数y随x增大而增大即可求出k的取值范围.
【解答】
解：当时，函数与的y值随x增大而增大，
且，
解得：
故选
6.【答案】D
【解析】解：在函数和中，
当时，函数的图象在第一、三象限，函数的图象在第一、二、四象限，故选项A、B错误，选项D正确，
当时，函数的图象在第二、四象限，函数的图象在第一、二、三象限，故选项C错误.
故选
本题考查反比例函数的图象、一次函数的图象，以及一次函数图象与系数的关系.
根据题目中函数的解析式，利用一次函数和反比例函数图象的特点解答本题即可．
7.【答案】A
【解析】解：反比例函数中，
函数图象的两个分支分别位于二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大．
，，
点，位于第二象限，
，，
，
，
点位于第四象限，
，
故选：
先根据反比例函数中判断出函数图象所在的象限及增减性，再根据各点横坐标的特点即可得出结论．
此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及平面直角坐标系中各象限内点的坐标特点，比较简单．
8.【答案】B
【解析】【分析】
观察图象可知：三段函数都有的点.先求出3段对应的函数解析式，而AB段是恒温阶段，，所以计算前两个小时和BC两段当时对应的x值，相减就是结论．
本题是反比例函数和一次函数的综合，考查了反比例函数和一次函数的性质和应用，解答此题的关键是要先利用待定系数法确定函数的解析式，再观察图象特点，结合反比例函数和一次函数的性质作答．
【解答】
解：把代入中得：
；
，
设一次函数的解析式为：，
把、代入中，
得：，
解得，
解析式为：，
当时，，得，
，得，
，
故这天该品种蘑菇适宜生长的时间为小时.
故选
9.【答案】B
【解析】解：如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形
由对称性可知，，，
四边形ABCD是平行四边形，
当直线AC和直线BD关于直线对称时，此时，即四边形ABCD是矩形．
反比例函数的图象在一，三象限或二、四象限，
直线AC与直线BD不可能垂直，
四边形ABCD不可能是菱形或正方形，
故选项①④正确，
故选：
如图，过点O任意作两条直线分别交反比例函数的图象于A，C，B，D，得到四边形证明四边形ABCD是平行四边形即可解决问题．
本题考查反比例函数的性质，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的判定，正方形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
见答案.
【解答】
见答案.
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】【分析】
见答案.
【解答】
见答案.
13.【答案】2
【解析】略
14.【答案】6
【解析】解：连接OA和OC，如图：
，
点P在y轴上，轴，
和面积相等，即
点A在反比例函数的图象上，点C在反比例函数的图象上，轴，
， ，
，
的面积为6，
故答案为
连接OA和OC，利用三角形面积可得的面积等于的面积，再结合反比例函数中系数k的几何意义，利用，可得结果．
本题考查了反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的系数k的几何意义是解题的关键．
15.【答案】16
【解析】【分析】
本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用菱形的性质、全等三角形、直角三角形勾股定理，以及反比例函数图象的性质；把点的坐标与线段的长度相互转化也是解决问题重要方法．
要求k的值，求出点C坐标即可，由菱形的性质，再构造直角三角形，利用勾股定理，可以求出相应的线段的长，转化为点的坐标，进而求出k的值．
【解答】
解：过点C、D作轴，轴，垂足为E、F，
是菱形，
，
易证≌，
点，，
，，，
在中，，
，
故答案为
16.【答案】或或或
【解析】【分析】
本题主要考查等腰三角形的判定和反比例函数的对称性，判断出只有或两种情况是解题的关键，注意方程思想的应用．
由对称性可知O为AB的中点，则当为等腰三角形时只能有或，设P点坐标为，分别表示出PA和PB，得到关于x的方程，解方程，即可求得P点坐标．
【解答】
解：反比例函数图象关于原点对称，
、B两点关于O对称，
为AB的中点，且，
当为等腰三角形时有或，
设P点坐标为，
，，
，，，
当时，则有，解得或5，此时P点坐标为或；
当时，则有，解得或，此时P点坐标为或；
综上可知P点的坐标为或或或，
故答案为：或或或
17.【答案】【小题1】
由题意，得解得
【小题2】
由题意，得解得，
【小题3】
由题意，得解得

【解析】见答案
见答案
见答案
18.【答案】【小题1】
由题意，得关于a的函数解析式为
【小题2】
将代入，得当平均耗油量为时，油箱加满油后该轿车可以行驶875 km

【解析】见答案
见答案
19.【答案】解：反比例函数经过点，
，
点在上，
，
，
把A，B坐标代入，则有，
解得，
一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为
直线交y轴于C，
，
，C关于x轴对称，
，
，
轴，
；
、是反比例函数上的两点，且，

【解析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是熟练掌握待定系数法解决问题，学会利用函数的性质，比较函数值的大小．
利用待定系数法即可解决求问题．
根据对称性求出点D坐标，发现轴，利用三角形的面积公式计算即可．
利用反比例函数的性质解决问题即可．
20.【答案】解：作于D，
是等边三角形，点，
，，
，
，
，
，
反比例函数的图象在一、三象限，
，
反比例函数的表达式为；
，
，
，
，
把代入，求得，
点A的坐标为
【解析】本题考查了待定系数法求反比例函数的解析式，反比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，此题的突破点是先由三角形的面积求出反比例函数的解析式．
作于D，根据等边三角形的性质和勾股定理求得，，进而求得三角形BOD的面积，根据系数k的几何意义即可求得，从而求得反比例函数的表达式；
求得三角形AOC的面积，即可求得A的纵坐标，代入解析式求得横坐标，得出点A的坐标．
21.【答案】【小题1】
解：将代入，得，
，
，
反比例函数的解析式为，
联立解得或
点；
【小题2】
，，根据函数图象，得当或时，

【解析】见答案
见答案
22.【答案】解：点在直线l：上，
函数的图象经过点，
；
设点B到直线AP的距离为
，，
，
，点P横坐标为2，
如图1，当点Q在射线AP上时，；
如图2，当点Q在线段PA延长线上时，
综上所述：点Q横坐标的取值范围是：或
【解析】将点A坐标代入，得出t的值，再把点A坐标代入，即可求出k的值；
设点B到直线AP的距离为根据，得出再分两种情况进行讨论：①点Q在射线AP上；②点Q在线段PA延长线上．
本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用数形结合，进行分类讨论是解题的关键．
23.【答案】解：
列表、描点、连线，画出与的图象如下：
由可得：不等式
当时，可转化为
当时，可转化为
由图象可得：不等式的解集为或

【解析】见答案
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