第27章相似 单元测试（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级下册

第27章相似
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列图形中，属于相似图形的一组是( )
A. B.
C. D.
2.若两个相似多边形的面积之比为，则它们的周长之比为( )
A. B. C. D.
3.如图，点在的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，点P在上的对应点的的坐标为( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，若，则的值为( )
A. 3 B. C. D.
5.如图，每个小正方形的边长均为1，则下列图形中的三角形与相似的是( )
A. B.
C. D.
6.我国古代数学《九章算术》中，有个“井深几何”问题：今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸尺寸，问井深几何？其意思如图所示，则井深BD的长为( )
A. 12尺
B. 56尺5寸
C. 57尺5寸
D. 62尺5寸
7.如图，已知点，，点P为线段OC的中点，且，轴，则点B 的坐标为 ( )
A. B. C. D.
8.如图，AB是的直径，CD是弦，于点E，于点若，，则AC的长是( )
A. B. C. D.
9.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上.若正方形BEFG的边长为6，则点C的坐标为( )
A. B. C. D.
10.
如图，中，，，，点D在折线ACB上运动，过点D作AB的垂线，垂足为设，，则y关于x的函数图象大致是( )
A. B.
C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，直线AD，BC交于点O，若，，则的值为__________.
12.书籍开本指书刊幅面的规格大小.如图，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推，可以得到8开纸、16开纸这些开本都是相似图形，我们所用的数学课本是16开本，有些图书是32开本，16开的纸和32开的纸的相似比是__________.
13.如图，直线与x轴、y轴分别相交于A，B两点，C为OB上一点，且，则__________.
14.如图，双曲线经过斜边上的点A，且满足，与BC交于点D，，求__________.
15.如图，已知在平面直角坐标系xOy中，的直角顶点B在x轴的正半轴上，点A在第一象限，反比例函数的图象经过OA的中点交AB于点D，连接若的面积是2，则k的值是__________.
16.如图，中，，，，点P，Q分别为AB，BC上一个动点，将沿PQ折叠得到，点B的对应点是点D，若点D始终在边AC上，当与相似时，AP的长为__________.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
如图，AE平分，D为AE上一点，
求证：∽；
若D为AE中点，，求CD的长．
18.本小题8分
“创新实践”小组想利用镜子与皮尺测量大树AB的高度，因大树底部有障碍物，无法直接测量到大树底部的距离．聪明的小颖借鉴《海岛算经》的测量方法设计出如图所示的测量方案：测量者站在点F处，将镜子放在点M处时，刚好看到大树的顶端，沿大树方向向前走米，到达点D处，将镜子放在点N处时，刚好看到大树的顶端点F，M，D，N，B在同一条直线上若测得米，米，测量者眼睛到地面的距离为米，求大树AB的高度．
19.本小题8分
如图，在边长为1的正方形网格中建立平面直角坐标系，已知三个顶点分别为、、
画出关于x轴对称的；
以原点O为位似中心，在x轴的上方画出，使与位似，且位似比为2，并求出的面积．
20.本小题8分
已知：如图，MN为的直径，ME是的弦，MD垂直于过点E的直线DE，垂足为点D，且ME平分
求证：是的切线；
21.本小题8分
如图，G是正方形ABCD对角线AC上一点，作，，垂足分别为点E，求证：四边形AFGE与四边形ABCD相似．
22.本小题8分
一块材料的形状是锐角三角形ABC，边，高，把它加工成正方形零件如图1，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．
求这个正方形零件的边长；
如果把它加工成矩形零件如图2，问这个矩形的最大面积是多少？
23.本小题8分
如图，抛物线与x轴交于A、B两点点A在点B左边，与y轴交于点直线经过B、C两点．
求抛物线的解析式；
点P是抛物线上的一动点，过点P且垂直于x轴的直线与直线BC及x轴分别交于点D、，垂足为设
①点P在抛物线上运动，若P、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点三点重合除外请直接写出符合条件的m的值；
②当点P在直线BC下方的抛物线上运动时，是否存在一点P，使与相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
【解析】略
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，周长比等于相似比即可求解.
【解答】
解：两个相似三角形的面积之比为1：4，
它们的相似比为1：2，
它们的周长之比为1：
故选
3.【答案】A
【解析】【分析】
直接利用在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或，进而结合已知得出答案．
此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题关键．
【解答】
解：点在的边AC上，以原点O为位似中心，在第一象限内将缩小到原来的，得到，
点P在上的对应点的的坐标为：，即
故选：
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键.
根据两边对应成比例且夹角相等两三角形相似判定即可.
【解答】
解：因为 中有一个角是，选项中，有角的三角形只有B，且满足两边成比例夹角相等，
故选
6.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是得到∽根据题意可知∽，根据相似三角形的对应边成比例可求AD，进一步得到井深．
【解答】
解：，
∽，
，
即，解得，
尺尺5寸．
故选：
7.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查了坐标与图形的性质以及相似三角形的判定与性质.
先根据题意得到，，，再证明∽，可得，即，于是可得，由此可得答案.
【解答】解：，，
，，
点P为线段的中点，
，
，轴，
，
，
，
∽，
，即，
解得，
点B 的坐标为
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，垂直的定义，正确的识别图形是解题的关键．
连接BC，根据圆周角定理得到，根据相似三角形的判定和性质定理以及勾股定理即可得到结论．
【解答】
解：连接BC，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，，
，，
，
，
故选：
9.【答案】A
【解析】【分析】本题考查的是位似变换的性质、正方形的性质，掌握位似图形的两个图形是相似形是解题的关键．
根据位似图形的概念和性质列出比例式，求出OB、CD，求出点C的坐标．
【解答】
解：因为正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为 ，
所以 ， ，即 ， ，解得，
所以所以点C的坐标为
10.【答案】A
【解析】解：由题意得，，
当点D与点C重合时，，此时，
当时，∽，
，
，
，
，此抛物线开口方向向上；
当时，∽，
，
，
，
，此抛物线开口方向向下；
故符合题意的图象是选项
故选：
分段函数，当时，y是x的二次函数，开口方向向上；当时，y是x的二次函数，开口方向向下，据此判断即可．
本题考查了动点问题的函数图象，数形结合并熟练写出相关函数的解析式是解题的关键．
11.【答案】
【解析】【分析】由平行线分线段成比例可得，，，得出，，从而
【详解】，，，
，
，
，
，
；
故答案为：
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查的是相似多边形的性质的有关知识，直接利用相似多边形的性质进行求解即可.
【解答】
解：16开纸对折可以得到32开纸，由题意可得如下图形，矩形ABCD为16开纸，
则矩形AEFD为32开纸，
设矩形纸片ABCD的长，宽，
则，
矩形AEFD与矩形ABCD相似，
，即，
，
负值舍去
13.【答案】3
【解析】 解：由已知得，，又，，
所以∽
所以，即
所以，
于是得
本题可先根据直线的方程求出A、B两点的坐标，再根据角相等可得出三角形相似，最后通过相似比求出OC的长，即可得出的大小．
14.【答案】8
【解析】【分析】
本题考查反比例函数系数k的几何意义，过双曲线上的任意一点分别向两条坐标轴作垂线，与坐标轴围成的矩形面积就等于本知识点是中考的重要考点，同学们应高度关注．
过A作轴于点E，根据反比例函数的比例系数k的几何意义可得，根据∽，相似三角形面积的比等于相似比的平方，据此即可求得的面积，从而求得k的值．
【解答】
解：过A作轴于点
，
，
，
∽，
，
，
则
故答案是：
15.【答案】
【解析】解：连接OD，过C作，交x轴于E，
，反比例函数的图象经过OA的中点C，
，，
，
∽，
反比例函数的图象经过OA的中点C，
，
，
，
，
故答案为
本题考查反比例函数系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质．
作辅助线，构建直角三角形，利用反比例函数k的几何意义得到，根据OA的中点C，利用∽得到和面积比为1：4，代入可得结论．
16.【答案】或
【解析】【分析】
根据直角三角形的性质可得，当与相似时，设，则，分两种情况：①∽，②∽，分别列方程求解即可．
本题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，折叠的性质，熟练掌握相关性质是解题的关键，注意与相似要分情况讨论．
【解答】
解：，，，
，，
当与相似时，
点D始终在边AC上，
根据折叠，
设，则，
分两种情况：
①∽，
此时，
，
即，
解得，
，
②∽，
此时，
，
即，
解得，
，
综上，AP的长为或，
故答案为：或
17.【答案】证明：平分，
，
∽；
解：为AE中点，，
，
∽，
，
，

【解析】根据角平分线定义可得，，根据相似三角形的判定定理即可得出答案；
根据D为AE中点，得出，由得∽，根据相似三角形的性质得出：，即可求解．
本题考查了相似三角形的判定与性质，得出∽是解题的关键．
18.【答案】解：设NB的长为x米，则米．
由题意，得，，
∽，
同理，∽，
，
，即
解得，
，
解得
答：大树AB的高度为米．
【解析】本题考查相似三角形的应用，利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．设NB的长为x米，则米．通过∽和∽的性质求得x的值，然后结合求得大树的高．
19.【答案】解：如图所示，就是所求三角形.
如图所示，就是所求三角形．
，，，与位似，且位似比为2，
，，，

【解析】本题考查作图-位似变换，轴对称变换等知识，解题的关键是理解位似变换、轴对称变换的定义．
画出A、B、C关于x轴的对称点、、即可解决问题；
连接OB延长OB到，使得，同法可得、，就是所求三角形；再根据图形，利用矩形面积减去周围直角三角形的面积，求解即可.
20.【答案】证明：平分，
，
，
，
，
，
，
是的切线．
连接
，MN为的直径，
，
∽，
，

【解析】本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的性质和判定等知识点，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．
求出，求出，根据切线的判定得出即可；
连接EN，求出，证出∽，根据相似三角形的性质得出即可．
21.【答案】证明；，
四边形EAFG为矩形．
四边形ABCD为正方形，
平分
又，，
四边形EAFG为正方形．
四边形AFGE与四边形ABCD相似．
【解析】由正方形的性质，可知AC平分，然后由角平分线的性质可知，从而可证明四边形EGFA为正方形，故此四边形AFGE与四边形ABCD相似．
本题主要考查的是相似多边形的判定、正方形的判定、角平分线的性质，证得四边形EAFG为正方形是解题的关键．
22.【答案】解：设正方形零件的边长为a
在正方形EFGH中，，
∽，∽
，，
，
即：，
解得：，
即：正方形零件的边长为
设，，
∽，
，
，
矩形面积
故当时，此时矩形的面积最大，最大面积为

【解析】本题考查了正方形以及矩形的性质，相似三角形的应用有关知识.
根据正方形边的平行关系，得出对应的相似三角形，即∽，∽，从而得出边长之比，，得到，进而求出正方形的边长即可；
设，，利用∽得出对应比例关系，然后再进行解答.
23.【答案】解：针对于直线，
令，则，
，
令，则，
，
，
将点B，C坐标代入抛物线中，得，
，
抛物线的解析式为；
①轴，，
，，
、D、M三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点，
Ⅰ、当点D是PM的中点时，，
或此时点D，M，P三点重合，舍去，
Ⅱ、当点P是DM的中点时，，
或此时点D，M，P三点重合，舍去，
Ⅲ、当点M是DP的中点时，，
或此时点D，M，P三点重合，舍去，
即满足条件的m的值为或1或；
②由知，抛物线的解析式为，
令，则，
或，
点，
，
，，
，，
，
，
∽，
，，
与相似，
Ⅰ、当∽，
，
，
，
点P的纵坐标为，
，
舍或，
；
Ⅱ、当∽时，
，
，
，
，
，
，
由①知，，，
，
，，
，
，
，
即满足条件的点P的坐标为或
【解析】先求出点B，C坐标，再代入抛物线解析式中，即可得出结论；
①先表示出点M，D，P坐标，再分三种情况利用中点坐标公式建立方程求解即可得出结论；
②先判断出≌，得出，，
Ⅰ、当∽，得出，进而得出，即可得出结论；
Ⅱ、当∽时，，进而得出，即可得出结论．
此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，相似三角形的判定和性质，中点坐标公式，用方程的思想解决问题是解本题的关键．
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