第27章相似 单元练习（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级下册

第27章相似
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示的各组图形中，相似的是( )
A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②④
2.以下图形中一定属于互相放缩关系的是( )
A. 斜边长分别是10和5的两直角三角形 B. 腰长分别是10和5的两等腰三角形
C. 边长分别是10和5的两个菱形 D. 边长分别是10和5的两个正方形
3.如图，在中，，，，将沿虚线剪开，剪下的涂色三角形与原三角形不相似的是( )
A. B. C. D.
4.如图，在中，，过点A作于点M，交DE于点若，则AN与NM的长度比是( )
A. B. C. D.
5.如图，在中，点D，E分别在边AB，AC上，连接CD，BE交于点O，且，，，，则AB的长为( )
A. 4 B. 6 C. 8 D. 9
6.如图，与位似，点O为位似中心．已知OA：：3，则与的面积比为( )
A. 1：3 B. 2：3 C. 4：5 D. 1：9
7.如图，在中，，，，点D在边BC上，点E在线段AD上，于点F，交AB于点G，若，则CD的长为( )

A. B. 4
C. D. 5
8.数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为米，台阶总的高度为米，台阶水平总宽度为米．则树高为( )
A. B. C. D.
9.如图1，在矩形ABCD中，动点E从点A出发，沿方向运动，当点E到达点C时停止运动，过点E作，交CD于点F，设点E的运动路程为x，，如图2所表示的是y与x的函数关系的大致图象，当点E在BC上运动时，FC的最大长度是，则矩形ABCD的面积是( )
A. 16 B. C. 20 D.
10.如图，边长为4的正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E在BD上，连接CE，作交AB于点F，连接CF交BD于点H，则下列结论：①；②；③；④若，则，正确的是( )
A. ①②④
B. ②③④
C. ①②③
D. ①②③④
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.的三边长分别为2，3，4，另有一个与它相似的，其最长边为12，则的周长是__________.
12.有一张矩形风景画，长为90cm，宽为60cm，现对该风景画进行装裱，得到一个新的矩形，要求其长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同，且面积比原风景画的面积大若装裱后的矩形的上、下边衬的宽都为acm，左、右边衬的宽都为bcm，那么__________.
13.如图，D，E分别是的边AB，BC上的点，若，则__________.
14.如图，在中，，，点P从A出发，以的速度向B运动，点Q从C同时出发，以的速度向A运动．其中一个动点到达端点时，另一个也相应停止运动．那么，当以A，P，Q为顶点的三角形与相似时，运动时间是__________.
15.如图，一个由8个正方形组成的“C”模板恰好完全放入一个矩形框内，模板四周的直角顶点M，N，O，P，Q都在矩形ABCD的边上，若8个小正方形的面积均为1，则边AB的长为__________.
16.如图，在矩形ABCD中，，把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的处，再将绕点E顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点交AB于点G，连接有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③≌；④∽上述结论中，所有正确的序号是__________.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
如图，在 ABCD中，点E在DA的延长线上，
求证：
18.本小题8分
如图，小红同学正在使用手电筒进行物理光学实验，地面上从左往右依次是墙、木板和平面镜．手电筒的灯泡在点G处，手电筒的光从平面镜上点B处反射后，恰好经过木板的边缘点F，落在墙上的点E处．点E到地面的高度，点F到地面的高度，灯泡到木板的水平距离，墙到木板的水平距离为已知光在镜面反射中的入射角等于反射角，图中点A、B、C、D在同一水平面上．
求BC的长．
求灯泡到地面的高度
19.本小题8分
如图，已知，，D为BC的中点，以AC为直径的交AB于点
求证：DE是的切线；
若AE：：2，，求AE的长．
20.本小题8分
如图，正比例函数与反比例函数的图象交于A，B两点．
求A，B两点的坐标；
将直线向下平移a个单位长度，与反比例函数在第一象限的图象交于点C，与x轴交于点D，与y轴交于点E，若，求a的值．
21.本小题8分
如图，AB是的直径，，AC交于点D，点F在OD的延长线上且

求证：AF是的切线；
若，，求AC的长．
22.本小题8分
如图，正方形ABCD中，点E是CD边上一点，连接BE，以BE为对角线作正方形BGEF，边EF与正方形ABCD的对角线BD相交于点H，连接
求的度数；
求证：
23.本小题8分
如图，菱形ABCD中，，，E为AB边上一点，作，其两边分别交菱形的边于点F，
如图1，点E与点A重合，点F，G分别在边BC，CD上，求证：；
如图2，当，点F在边BC上时，求BF的长；
如图3，E为AB的中点．当时，请直接写出EG的长．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】略
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题考查的是相似图形的概念，形状相同的图形称为相似形．
根据相似图形的概念进行判断即可．
【解答】
解：互相放缩的两个图形一定是相似图形，
斜边长分别是10和5的两直角三角形，直角边不一定成比例，不一定相似，所以不一定属于互相放缩关系，A不正确；
腰长分别是10和5的两等腰三角形，顶角不一定相等，不一定相似，所以不一定属于互相放缩关系，B不正确；
边长分别是10和5的两个菱形，角不一定对应相等，不一定相似，所以不一定属于互相放缩关系，C不正确；
边长分别是10和5的两个正方形是相似图形，属于互相放缩关系，D正确．
故选：
3.【答案】C
【解析】略
4.【答案】D
【解析】略
5.【答案】B
【解析】略
6.【答案】D
【解析】解：与位似，
∽，，
∽，
：：：3，
与的面积比为1：9，
故选：
根据位似图形的概念得到，进而得到∽，根据相似三角形的性质解答即可．
本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
7.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查相似三角形的判定和性质，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
根据题意和三角形相似的判定和性质，可以求得CD的长，本题得以解决．
【解答】解：作交AB于点H，则∽，
，
，，
，
，
∽，
，
，
，
，
设，则，
，，
，
，，，
，
∽，
，
即，
解得，，
，
故选：
8.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的判定及相似三角形的对应边成比例，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，根据相似三角形对应边成比例，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
【解答】
解：过点C作于点D，如图．
，，，
，
，
米，
则树高为4米.
故选：
9.【答案】C
【解析】解：若点E在BC上时，如图
，，
，
在和中，，，
∽，
由二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，此时，，即，
，当时，代入方程式解得：不合题意，舍去，，
，
，，
矩形ABCD的面积为
故选：
易证∽，可得，根据二次函数图象对称性可得E在BC中点时，CF有最大值，列出方程式即可解题．
本题考查了二次函数动点问题，考查了相似三角形的判定和性质，考查了矩形面积的计算，本题中由图象得出E为BC中点是解题的关键．
10.【答案】D
【解析】【分析】
本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，相似三角形的判定和性质以及等腰三角形的判断和性质，等腰直角三角形的性质，四边形内角和等知识，灵活运用这些性质解决问题是解决本题的关键．
①由“SAS”可证≌，可得，，由四边形的内角和定理可证，可得；
②通过证明，可得；
③通过证明，可得，通过证明，可得，进而可得可得结论；
④通过证明，可得，即可求解．
【解答】
解：如图，连接AE，
四边形ABCD是正方形，
，，
又，
在和中，
≌，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，故①正确；
，，
，
，
又，
，
，
，故②正确；
，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，故③正确；
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，故④正确，
故选：
11.【答案】27
【解析】【分析】
见答案
【解答】
见答案
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了一元二次方程的应用．
根据新的矩形的长、宽之比与原风景画的长、宽之比相同得到得，根据新矩形的面积比原风景画的面积大得到，然后解关于a、b的方程组求出a和b的值，在计算ab即可．
【解答】
解：根据题意得
，解得，
，
，
整理得，
把代入得，
整理得，解得，舍去，
，
故答案为
13.【答案】
【解析】略
14.【答案】秒或4秒
【解析】【分析】
本题考查了相似三角形的性质，依据题意将三角形相似分两种情况讨论是解题关键.
分两种情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.
【解答】
解：设运动时间是t秒，
点P从A出发，以每秒1厘米的速度向B运动，点Q从C同时出发，以每秒2厘米的速度向A运动，
，
由题意可得：当时，点P运动到端点B，此时点Q正好运动到端点A，均停止运动，
则要使A、P、Q三点能构成三角形，t的取值范围为，
，且以A、P、Q为顶点的三角形与相似，
或，
即或，
或，
故答案为：秒或4秒.
15.【答案】
【解析】【分析】
此题考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、矩形及正方形的性质，根据矩形及正方形的性质作出合理的辅助线构建相似三角形是解题的关键．如解答图所示，连接EG，则，由题意得，小正方形的边长为1，根据勾股定理得出，根据矩形的性质可判定∽，得到，进而得出，，利用AAS证明≌，根据全等三角形的性质及线段的和差即可得解．
【解答】
解：如下图所示，连接EG，则，
由题意得，小正方形的边长为1，
，
四边形ABCD是矩形，
，，
，
同理，
，
又，
∽，
，
，，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
故答案为
16.【答案】①②④
【解析】解：把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的处，
，，
四边形是正方形，
，，，
，
点F是的中点，
，
，
将绕点E顺时针旋转，
，，，
，故①正确；
在中，，，
，
弧的长度，故②正确；
，，
，
，
与不全等，故③错误；
，，
，
，
，
，
又，
∽，故④正确，
故答案为：①②④．
本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式，等腰三角形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定等知识，灵活运用这些性质进行推理证明是本题的关键．
由折叠的性质可得，，可证四边形是正方形，可得，，，由勾股定理可求EF的长，由旋转的性质可得，，，可求，可判断①；由直角三角形的性质可得，由弧长公式可求弧的长度，可判断②；由等腰三角形的性质可判断③；由“HL”可证，可得，可证∽，可判断④，即可求解．
17.【答案】证明：四边形ABCD是平行四边形，
，
，
，
又，
∽，
，

【解析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质以及平行四边形的性质，根据平行四边形的对角相等，可得出，由可得，根据两角相等，两三角形相似，证得∽，再根据相似三角形对应边成比例即可证得结果.
18.【答案】【小题1】
解：由题意可得：，
则∽，
故，
即，
解得：；
【小题2】
解：，
，
光在镜面反射中的入射角等于反射角，
，
又，
∽，
，
，
解得：，
答：灯泡到地面的高度AG为

【解析】
首先利用相似三角形的判定得出∽，再根据相似三角形的性质得出，然后把已知条件代入计算，即可求得BC的长；
根据相似三角形的性质列方程进而求出AG的长．
此题主要考查了相似三角形的应用，正确找到相似三角形是解题关键．
19.【答案】证明：如图，连接OE、
是的直径，
为BC的中点，
，
，
，
，
即
，
，
是的切线．
由知：，
在与中，，，
∽，
，
：：2，设，则，，
又，
，
解得：负值舍去，
即
【解析】本题考查了切线的判定和相似三角形的性质和判定，能求出和∽是解此题的关键．
求出，根据切线的判定得出即可；
求出∽，得出比例式，代入求出即可．
20.【答案】解：正比例函数与反比例函数的图象交于A、B两点，
，解得，
，
直线向下平移a个单位长度，
直线CD解析式为：，
当时，，
点D的坐标为，
如图，过点C作轴于点F，
，
，
，
，
，
点C在直线CD上，
，
，
点C的坐标是
点C在反比例函数的图象上，
，
解得负值舍去，

【解析】本题是一次函数与反比例函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
联立两函数解析式，即可求出两交点坐标；
根据直线向下平移a个单位长度，可得直线CD解析式为，所以点D的坐标为，过点C作轴于点F，根据，可得，由相似三角形的性质得，所以，可得点C的坐标是，然后利用反比例函数图象上点的坐标特征即可解决问题．
21.【答案】证明：，
，
，
，
为直径，
是的切线.
解：由知，，
，
设的半径为r，
，
，
，
，
连接，

为的直径，
，
，
为AC中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，

【解析】根据等腰三角形的性质及三角形的内角和定理可得，再由已知及切线的判定定理可得结论；
由知，由勾股定理得出圆的半径为6，利用等腰三角形的性质可得出D为AC的中点，利用中位线定理可得出，可证出，得出，利用相似三角形的性质求出，最后利用勾股定理即可得出答案．
【点睛】本题属于主要考查了等腰三角形性质，切线的判定，相似三角形的判定与性质，勾股定理，中位线定理等知识点，熟练掌握其性质的综合应用是解决此题的关键．
22.【答案】解：由题意知和都是等腰直角三角形，
，
∽
证明：，，
∽
，

【解析】不同考查了相似三角形的判定与性质.
证明∽，即可解答；
证明∽，可得，即，再把，代入即可.
23.【答案】【小题1】
证明：连接AC，
菱形ABCD中，，，
是等边三角形，，
，，
，
，
，
，
，
；
【小题2】
解：连接AC，过点A作交BC于M，交CD于N，则，
四边形ABCD是菱形，，，
，，
四边形AEGN是平行四边形，
，
，，
，
同可得，
，
，
，
，
；
【小题3】
解：连接AC，过点A作交BC于H，
四边形ABCD是菱形，
，
四边形AHFG是平行四边形，
，
由知是等边三角形，
，
边上的高为，
即BC边上的高，
，
，
过点E作于K，
，
为AB的中点，
为GF的中点，
是线段GF的垂直平分线，
，
，
是等边三角形，


【解析】
连接AC，易证得，即可证得；
连接AC，过点A作交BC于M，交CD于N，根据菱形的性质得，可得四边形AEGN是平行四边形，则，由，得，同可证得，根据全等三角形的性质得，由，根据平行线分线段成比例定理即可求解；
过点A作交BC于H，可得四边形AHFG是平行四边形，则，可得，则，过点E作于K，可得，由E为AB的中点得K为GF的中点，根据线段垂直平分线的性质得，可得是等边三角形，即可得
本题是四边形的综合题，主要考查考查了菱形的性质、平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理等知识．此题难度较大，注意掌握数形结合思想的应用．
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