第28章锐角三角形 单元测试（含答案）2024-2025学年数学人教版九年级下册

第28章锐角三角形
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在中，，若，，则等于
A. B. C. D.
2.在中，，如果，，那么AC的长是
A. B. C. D.
3.在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
4.如图，一棵树在一次强台风中，从离地面5m处折断，倒下的部分与地面成角，如图所示，这棵树在折断前的高度是
A. 10m B. 5m C. 15m D. 20m
5.一个钢球沿坡角的斜坡向上滚动了5米，此时钢球距地面的高度是( )
A. 米 B. 米 C. 米 D. 5米
6.如图，AB是圆锥的母线，BC为底面直径，已知，圆锥的侧面积为，则的值为 ( )
A. B. C. D.
7.如图，宽度都为1的纸条交叉重叠放在一起，它们的交角为，则它们重叠部分图中阴影部分的面积为
A. B. C. D. 1
8.“奔跑吧，兄弟！”节目组，预设计一个新的游戏：“奔跑”路线需经A、B、C、D四地．如图，其中A、B、C三地在同一直线上，D地在A地北偏东方向、在C地北偏西方向．C地在A地北偏东方向．且从A地到D地的距离是( )
A.
B.
C.
D.
9.构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算时，如图．在中，，，延长CB使，连接AD，得，所以类比这种方法，计算的值为( )
A. B. C. D.
10.如图所示为源于我国汉代数学家赵爽的弦图，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形．若小正方形的面积为1，大正方形的面积为25，直角三角形中较小的锐角为，则的值为( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.如图，在平行四边形ABCD中，，，，则平行四边形ABCD的面积是 .
12.已知是锐角，，则__________.
13.如图，在矩形ABCD中，，，H是AB的中点，将沿CH折叠，点B落在矩形内点P处，连接AP，则的值是__________.
14.如图所示，在中，，若，则__________.
15.如图，有一张面积为10的纸片，，把它剪两刀拼成一个矩形如图虚线所示，无缝隙、无重叠，且矩形的一边与AB平行，所拼得矩形的周长为13，则的值为__________.
16.如图，在中，，，于点E，D是线段BE上的一个动点，则的最小值是__________.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
如图，在中，，，
求BC的长；
求的值．
18.本小题8分
如图，在中，，，锐角，
求AB的长；
求证：
19.本小题8分
如图，在中，，于点
已知，
求AD的长；
求AB的长．
20.本小题8分
如图，A是的直径CD延长线上的一点，点B在上，
求证：AB是的切线；
若，求AC的长．
21.本小题8分
楼房AB后有一假山，其斜坡CD的坡度，山坡坡面上点E处有一个休息亭．如图所示，小红从楼房顶A处测得点E的俯角为，测得斜坡的点C处与楼房的水平距离，与亭子的距离求楼房AB的高度．
22.本小题8分
如图，在中，，BO平分，交AC于点O，以点O为圆心，OC长为半径画
求证：AB是的切线；
若，，求的半径．
23.本小题8分
已知正方形ABCD，将线段BA绕点B旋转，得到线段BE，连接EA，
如图1，当点E在正方形ABCD的内部时，若BE平分，，则______，四边形ABCE的面积为______；
当点E在正方形ABCD的外部时，
①在图2中依题意补全图形，并求的度数；
②作的平分线BF交EC于点G，交EA的延长线于点F，连接用等式表示线段AE，FB，FC之间的数量关系，并证明．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
此题考查的是锐角三角函数的定义，解答此类题目的关键是画出图形便可直观解答．根据三角函数的定义求解．
【解答】
解：中，，，，
故选
2.【答案】D
【解析】解：如图：
在中，
故选：
3.【答案】D
【解析】略
4.【答案】C
【解析】解：如图，在中，，，，
，
大树的高度为
故选
5.【答案】A
【解析】见答案.
6.【答案】B
【解析】略
7.【答案】A
【解析】解：如图所示，作，，垂足分别为E、F，
依题意，有，
根据已知得，
所以≌，
，
则四边形ABCD是菱形．
在中，
所以，
故选
如图所示，过A作，，垂足分别为E、F，依题意，有，可证得然后可证得≌，得，则四边形ABCD是菱形．在中，，由此根据菱形的面积公式即可求出其面积．
本题考查了直角三角形的应用，菱形的判定与性质．
8.【答案】D
【解析】【分析】
过点D作DH垂直于AC，垂足为H，求出的度数，判断出是等边三角形，再利用三角函数求出DH的长，从而得到AD的长．
本题考查了解直角三角形的应用--方向角问题，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．
【解答】
解：过点D作DH垂直于AC，垂足为H，
由题意可知，
，
是等边三角形，
，，
，
答：从A地到D地的距离是
故选：
9.【答案】B
【解析】【分析】
作，使，，延长CB到D，使，连接AD，根据构造的直角三角形，设，再用x表示出CD，即可求出的值.
本题考查解直角三角形，解题的关键是根据阅读构造含的直角三角形，再作辅助线得到的直角三角形.
【解答】
解：作，使，，延长CB到D，使，连接AD，
则，
，
设，则：，，，
，
故选：
10.【答案】D
【解析】略
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了锐角三角函数的定义，勾股定理，解答此题的关键是构造出直角三角形．根据题意构造出直角三角形，根据直角三角形中锐角三角函数的定义解答．
【解答】
解：为锐角，且，以为锐角作直角三角形，
，
设，则，
根据勾股定理可得：，
故答案为
13.【答案】
【解析】解：连接PB交CH于点E，由折叠可得CH垂直平分BP，
为BP的中点，又为AB的中点，是的中位线，
，，
又在中，，
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理，锐角三角函数的定义，解直角三角形有关知识点.
作于H，如图，根据等腰三角形的性质得，，而，则，在中利用勾股定理计算出，然后根据正切的定义求解.
【解答】
解：作于H，如图，
，AH平分，
，
，
，
在中，
，，
，
，
故答案为
15.【答案】或
【解析】解：由题意及观察拼图可知，
矩形的边，边，
设，，则，，
解得，或，，
或
16.【答案】
【解析】解：过点D，C分别作于点H，于点
，，
，
设，，
则有，
，
或舍去，
，
，，，
等腰三角形两腰上的高相等，
，，
，
，，
，，
的最小值为
17.【答案】解：在中，，，，
；
在中，，，，

【解析】见答案
18.【答案】解：过C作于D，
由题意得，，，
即，
由可得，
变形得

【解析】本题主要考查了解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键.
根据题意解直角三角形方法，先求得，，即可求得AB的长；
先由解直角三角形方法求得进行变形求值即得到所求结论.
19.【答案】解：，，，
，
，
，
在中，，

【解析】本题考查解直角三角形，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
直接根据锐角三角函数的概念进行求解；
根据等角的余角相等，得，从而再根据的正弦值，即可求得AB的长．
20.【答案】证明：如图，
连接OB，
，
，
，
，
，
点B在上，
是的切线；
解：如图2，
连接BD，
是的直径，
，
，，
，
，
，
，
，

【解析】本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
连接OB，可证明，进一步得出结论；
可连接BD，解直角三角形BCD求得BD和CD，进而判定ABD是等腰三角形，进一步得出结果．
本题考查了圆周角定理及其推论，切线的判定，等腰三角形的判定，解直角三角形等知识，解决问题的关键是熟练掌握有关基础知识．
21.【答案】解：过点E作的延长线于F，于点H，
在中，，
，
米，米，
米，米，
在中，，
米，
米．
答：楼房AB的高为米．
【解析】本题考查了解直角三角形的应用，涉及仰角俯角及坡度坡角的知识，构造直角三角形是解题关键．
过点E作的延长线于F，于点H，根据米，坡度为：，分别求出EF、CF的长度，在中求出AH，继而可得楼房AB的高．
22.【答案】证明.如图所示，过点 O作于点
，
平分，，，
，
是的切线.
解：
设，结合得≌ ，
则
，，
∽，
，
在中，，
解得或舍去，
的半径为

【解析】本题考查了切线的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义，属于中档题.
过点O作于点H，由，得，根据角平分线的性质得，由此得结论;
设，可求得，根据相似三角形的判定和性质以及勾股定理可得结论.
23.【答案】解：将线段BA绕点B旋转，得到线段BE，
，
，
四边形ABCD是正方形，
，，
平分，
，
，
≌，
，
；
过点A作于点F，如图1，
，
，
，
四边形ABCE的面积，
故答案为：，；
①补全图形如图2，
将线段BA绕点B旋转，得到线段BE，
，，，
，，
；
②
证明：过点B作交FC的延长线于点H，如图3，
，BF平分，
垂直平分EC，
，，
，
，
，
，，
，，
，，
，
，
≌，
，
，

【解析】本题是四边形综合题，考查了旋转的性质，正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．
由旋转的性质得出，证明≌，由全等三角形的性质得出，可求出，过点A作于点F，求出的面积，则可得出答案；
①由题意可画出图形，由旋转的性质及等腰三角形的性质可得出答案；
②过点B作交FC的延长线于点H，证明≌，由全等三角形的性质得出，由等腰直角三角形的性质可得出结论．
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