第28章锐角三角形 单元练习 （含答案）2024-2025学年数学人教版九年级下册

第28章锐角三角形
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.如图所示，在中，，若，则BC的长为( )
A. 8 B. 12 C. D.
2.如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则( )
A.
B.
C.
D.
3.如图，在平面直角坐标系xOy中有一点，连接OP，则OP与x轴正方向所夹锐角的正切值是
A. B. C. D.
4.在中，若，，，则的面积等于
A. 12 B. C. D.
5.如图，已知点B，D，C在同一直线的水平地面上，在点C处测得建筑物AB的顶端A的仰角为，在点D处测得建筑物AB的顶端A的仰角为，若，则建筑物AB的高度为( )
A. B. C. D.
6.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，，连接AC，过点O作，交AC的延长线于点若点P的坐标为，则的值是( )
A. B. C. D. 3
7.已知，且，以a，b，c为边组成的三角形面积等于( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
8.如图，在矩形ABCD中，，，AN平分若于点M，于点N，则的值为
A. a B. C. D.
9.如图，直径为10的经过原点和点，B是y轴右侧上一点，则的余弦值为
A. B. C. D.
10.如图，在中，，，P为AC边上的一个动点不与A，C重合，连接BP，则的最小值是( )
A. B. C. D. 2
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11.一条上山直道的坡度为，沿这条直道上山，则前进100米所上升的高度为__________米.
12.如图，在中，若，，，则__________.
13.如图，小河对岸有一座信号塔AB，在点D处用测角仪测得信号塔顶端A的仰角是，沿着射线BD方向走9米到达C处，在点C处用测角仪测得信号塔顶端A的仰角是，点A，B，C，D，E，F在同一平面内.若测角仪的高度为米，则信号塔AB的高度约为__________结果取整数.参考数据：，，，，，
14.在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船P的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距120海里．则在收到求救讯息时，事故渔船P与救助船B之间的距离为__________海里结果保留根号
15.如图，E是矩形ABCD的边BC上一点，将矩形ABCD沿AE翻折，使点B恰好落在CD边上的点F处．延长EF与的角平分线交于点M，AM交CD于点N，当时，则的值为__________.
16.如图，在中，，，于点D，E是线段CD的一个动点，则的最小值是__________.
三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题8分
如图，在中，，的周长为，点D为BC的中点．求AC，BD的长．
18.本小题8分
如图，在中，，于D，，，连接DE交BC于点
求证：四边形CDBE是矩形；
如果，，求BC的长.
19.本小题8分
如图，有一个三角形的钢架ABC，，，请通过计算说明，工人师傅搬运此钢架能否通过一个直径为的圆形门
20.本小题8分
如图，楼房AB后有一假山CD，CD的坡度为，测得B与C的距离为24米，山坡坡面上E点处有一休息亭，与山脚C的距离米，小丽从楼房房顶A处测得E的俯角为
求点E到水平地面的距离；
求楼房AB的高．
21.本小题8分
如图，AB为半圆O的直径，点C，D在半圆O上，直线CM与半圆O相切于点C，
若，求的大小用含的式子表示；
过点O作交CM于点E，交CD于点F，若，，求CE的长．
22.本小题8分
如图，在中，，，，以AC为边在的外部作等边，连接
求四边形ABCD的面积；
求BD的长．
23.本小题8分
对于平面直角坐标系xOy中的定点P和图形F，给出如下定义：若在图形F上存在一点N，使得点Q，点P关于直线ON对称，则称点Q是点P关于图形F的定向对称点．
如图，，，，
①点P关于点B的定向对称点的坐标是______；
②在点，，中，______是点P关于线段AB的定向对称点．
直线l：分别与x轴，y轴交于点G，H，是以点为圆心，为半径的圆．
①当时，若上存在点K，使得它关于线段GH的定向对称点在线段GH上，求b的取值范围；
②对于，当时，若线段GH上存在点J，使得它关于的定向对称点在上，直接写出b的取值范围．
答案和解析
1.【答案】C
【解析】略
2.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了勾股定理，三角形的面积，锐角三角函数的定义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．
作于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角中根据三角函数的意义求解．
【解答】
解：如图，作于D，
由勾股定理得，，，
，
，
故选
3.【答案】B
【解析】解：作轴于A，如图．
，
，，
故选：
作轴于A，根据正切定义计算即可．
本题考查了锐角三角函数的定义，坐标与图形性质，解题的关键是记住锐角三角函数的定义．
4.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查了三角形的面积公式以及解直角三角形，正确求得三角形的高是关键.作三角形的高AD，在直角中，利用三角函数即可求得AD的长，然后利用三角形的面积公式即可求解.
【解答】
解：作于点
，
，
在直角中，
，
则的面积是：
故选
5.【答案】D
【解析】略
6.【答案】C
【解析】如图，过点P作轴于点Q，，，，∽，，，，，，，，故选
7.【答案】A
【解析】【分析】
本题主要考查了非负性的性质及勾股定理逆定理的应用，先根据非负数的性质及特殊教的三角函数值求出c，b的值，再根据勾股定理的逆定理判断出其形状，从而求解面积．
【解答】
解：，
，，
，，
又，
是直角三角形，且a，b为两条直角边，
的面积
故选
8.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查角平分线的性质，矩形的性质，锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质等知识点的理解和掌握.灵活地运用性质进行计算是解此题的关键.根据“AN平分，于点M，于点N”得出，，推出；再根据矩形ABCD，，的值即可求出.
【解答】
解：平分，于点M，于点N，
，
，
在矩形ABCD中，，
故选
9.【答案】C
【解析】【分析】
此题主要考查了圆周角定理的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．此题还考查了锐角三角函数值的求法，要熟练掌握．
首先根据圆周角定理，判断出；然后根据CD是的直径，判断出，在中，用OD的长度除以CD的长度，求出的余弦值为多少，进而判断出的余弦值为多少即可．
【解答】
解：如图，连接CA并延长交与点D，连接OD，
同弧所对的圆周角相等，
，
是的直径，
，
，
，
，
，
即的余弦值为
故选
10.【答案】B
【解析】解：以AP为斜边向下作等腰直角三角形APE，
，，
当点B，P，E在同一直线上时，的值最小，最小值是BE的长，
此时在中，，
，
的最小值是
11.【答案】
【解析】略
12.【答案】2
【解析】解：过点C作，垂足为D，
在中，，，
，
在中，，
，
故答案为：
13.【答案】28米
【解析】如图，过点E作于点G，则点F在EG上.
由题意知，，
米，米.
设米，
在中，
米，，
，
米，
米.
在中，
，
米，
，解得，
米
14.【答案】
【解析】略
15.【答案】
【解析】解：过点N作于点G，可得，∽，
，
，，
设，，则，，
在中，，
，解得，
16.【答案】
【解析】解：过点E作于点F，
，，
，可设，，
，，，
或舍去，
，，
，
，
，
当B，E，F三点共线时，的值最小，此时，
17.【答案】解：在中，，
，
，
设，，
则，
又的周长为24，
，解得：，
的长为6，BC的长为
点D为BC的中点．
答：AC的长为6，BD的长为

【解析】见答案
18.【答案】证明：，，
四边形CDBE是平行四边形，
，
，
四边形CDBE是矩形．
解：，，
，，
，
，
，
，
，

【解析】本题考查了矩形的判定，解直角三角形等知识点，角度之间的准确转换是解题关键．
先证四边形CDBE是平行四边形，再证平行四边形CDBE是矩形即可．
先证，然后解直角三角形即可．
19.【答案】解：如图，过点B作于点设
，，
，
，
，
，即，
工人师傅搬运此钢架能通过一个直径为的圆形门.

【解析】见答案
20.【答案】解：过点E作，交BC的延长线于F，
的坡度，
设米，则米，
在中，根据勾股定理得：米，
米，
，
，
米，米，
即点 E到水平地面的距离为8米；
如图：延长FE交AG于点H，
由题意得：，米，，
在中，米，
米，
即楼房 AB的高为48米．

【解析】见答案
21.【答案】解：，
，
根据的证明，得
，，
，
直线CM与半圆O相切于点C，
，
，
，解得，
，
，
，
解得

【解析】根据得，结合圆周角定理，得到，求解即可．
根据得，结合圆周角定理，得到，根据特殊角的三角函数求解即可．
本题考查了切线的性质，平行线的性质，圆周角定理，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，特殊角的函数值是解题的关键．
22.【答案】解：在中，，，，
，
的面积，
为等边三角形，
，
过点D作于
在中，，，，
，
的面积，
四边形ABCD的面积的面积的面积；
过点D作于
，，
在中，，，，
，，
，

【解析】本题考查了解直角三角形，等边三角形的性质，三角形的面积，难度适中．准确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键，培养了学生分析问题与解决问题的能力.
先解直角，得出，，求出的面积，再过点D作于E，解直角，得出DE，求出的面积，根据四边形ABCD的面积的面积的面积求解即可；
过点D作于先求出，再解直角，得出，，则，然后在直角中运用勾股定理即可求出BD的长度．
23.【答案】解：①如图1中，
，，
点P关于OB的对称点，
故答案为
②点，，，
，，，，
，
点C，D是点P关于线段AB的定向对称点．
故答案为点C，
①如图2中，当时，作关于y轴的对称图形，当直线GH与在第一象限相切时，设切点为P，连接，
由题意，
，
，，
，
，
，
当时，如图3中，以O为圆心，3为半径作，当直线GH与在第四象限点相切于点P时，连接OP，
同法可得，
当直线经过时，
观察图象可知满足条件的b的值：，
综上所述，b的取值范围为：，
②如图4中，设交x轴于K，T，则，
以O为圆心，5为半径作，当直线GH与在第二象限相切于点J时，可得，
此时直线GH的解析式为，
当直线GH经过点时，，可得，
此时直线GH的解析式为，
观察图象可知满足条件的b的值为
【解析】本题属于一次函数综合题，考查了定向对称点的定义，直线与圆的位置关系，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会利用特殊位置解决问题，属于中考压轴题．
①求出点P关于直线OB的对称点G即可．
②求出OP，OC，OD，OE的长即可判断．
①求出两种特殊位置b的值即可．如图2中，作关于y轴的对称图形，当直线GH与在第一象限相切时，设切点为P，连接如图3中，以O为圆心，3为半径作，当直线GH与在第四象限点相切于点P时，连接OP，分别求出OH的值即可解决问题．
②如图4中，设交x轴于K，T，则，求出两种特殊位置b的值即可判断．
第1页，共1页