第三章 勾股定理 单元练习 （含答案） 2024-2025学年数学苏科版八年级上册

第三章勾股定理
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组数中，是勾股数的是( )
A. ，， B. 4，5，6 C. ，， D. 9，40，41
2.已知a，b，c是中，，所对边的长，下列条件中，不能判定为直角三角形的是 ( )
A. B.
C. D. ，，
3.已知直角三角形的一条直角边长是若它的另一条直角边长与斜边长的和是49 cm，则该直角三角形的斜边长是( )
A. 27 cm B. 22 cm C. 24 cm D. 25 cm
4.如图，点E在正方形ABCD内，满足，，，则图中涂色部分的面积是 ( )
A. 60 B. 120 C. 139 D. 156
5.已知在中，，若P是所在平面内的一点，且，则AP的长为 ( )
A. 7 B. 5 C. 7或25 D. 5或14
6.如图，在中，，，，D是AB的中点，E是BC的中点，于点F，则EF的长是 ( )
A. 3 B. 4 C. 5 D.
7.如图是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌成的一个大正方形图案，且大正方形的面积为49，小正方形的面积为若分别用x，y表示直角三角形的两条直角边长，给出下列四个结论：①；②；③；④其中正确的结论是 ( )
A. ①② B. ①②③ C. ①②④ D. ①②③④
8.如图，在中，，的平分线交BC于点D，，交AC于点E，若，，则下列结论错误的是 ( )
A. B. C. D.
9.如图，小明视为小黑点站在一个高为10 m的高台顶部点A处，利用旗杆OM顶部的绳索，划过到达与高台水平距离为17 m、高为3 m的矮台顶部点B处，那么小明在荡绳索的过程中离地面的最低点的高度MN是 ( )
A. 2 m B. C. D.
10.已知点P在等腰直角三角形ABC的斜边AB所在的直线上．若，则下列结论正确的是 ( )
A. 满足条件的点P有且只有一个 B. 满足条件的点P有无数个
C. 满足条件的点P有有限个 D. 对直线AB上的所有点P，都有
二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
11.如图，数字代表所在正方形的面积，则A所代表的正方形的面积为__________.
12.如图，在中，和的平分线相交于点O，，垂足为如果，，，那么__________.
13.如图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则__________.
14.如图，在正方形ABCD中，边AB上有一点E，，，在AC上存在一点P，使的值最小，则的最小值为__________.
15.如图，在中，按以下步骤作图：①分别以B，C两点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点；②作直线MN交边AB于点若，，，则AB的长为__________.
16.如图，于点B，于点A，E是CD的中点．若，，，则AB的长是__________.
17.如图，正方形ABDE、正方形CDFI和正方形EFGH的面积分别为25，9，16，、和的面积分别为，，，则__________.
18.如图，于点D，于点E，C为直线l上的一个动点．若，，则当CD的长为__________时，为直角三角形．
三、解答题：本题共8小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
19.本小题8分
某地交通管理条例规定：小汽车在城市街道上行驶的速度不得超过如图，一辆小汽车在一条城市街道上直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A正前方50 m的点B处，6 s后测得这辆小汽车行驶到与车速检测仪距离为130 m的点C处．这辆小汽车超速了吗？请说明理由．
20.本小题8分
定义：如图，M，N两点把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段．若以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，则称M，N是线段AB的勾股分割点．
已知M，N两点把线段AB分割成AM，MN，NB三条线段．若，，，则M，N是线段AB的勾股分割点吗？请说明理由；
已知M，N是线段AB的勾股分割点，且AM为直角边．若，，求BN的长．
21.本小题8分
将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，其中求证：
22.本小题8分
如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，的三个顶点都在格点上．
仅用无刻度的直尺，在线段AC上找一点P，使，画出点P的位置，并说明理由；
求出第一问中线段PA的长．
23.本小题8分
如图，有一台风中心沿东西方向由点A向点B移动，点C为一海港，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为300 km和400 km，，以台风中心为圆心、周围250 km以内为受影响区域．
海港C受台风影响吗？为什么？
若海港C受台风影响，且台风的速度为，则台风影响该海港的持续时间有多长？
24.本小题8分
如图，P是等边三角形ABC内部一点，连接PA，PB，PC，以PB为边作，且，连接
观察并猜想PA与QC之间的大小关系，并证明你的结论；
若，连接PQ，试判断的形状，并说明理由．
25.本小题8分
如图，和都是等腰直角三角形，，，，，D为BC的中点，连接AF，且A，F，E三点恰好在同一条直线上，EF交BC于点H，连接BF，
求证：；
猜想CE、BF和BC之间的数量关系，并证明．
26.本小题8分
如图，在中，，，动点P从点A出发沿AC向终点C运动，同时动点Q从点B出发沿BA向点A运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AB返回．P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位长度，当点P到达点C时两点同时停止运动，连接PQ，CQ，设它们的运动时间为
设的面积为S，请用含有t的代数式来表示S；
线段PQ的垂直平分线记为直线l，当直线l经过点C时，求AQ的长．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】略
2.【答案】D
【解析】略
3.【答案】D
【解析】略
4.【答案】C
【解析】略
5.【答案】C
【解析】略
6.【答案】D
【解析】解：在中，
，，，
，
是AB的中点，
线段CD是中线，
，
如图，连接DE，
为BC边的中点，
，
，
，
解得：，
故选：
根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出，利用三角形面积公式解答即可．
此题考查勾股定理，直角三角形斜边上的中线，关键是根据勾股定理得出AB，进而利用直角三角形的性质得出解答．
7.【答案】B
【解析】因为大正方形的面积为49，所以大正方形的边长为所以直角三角形的斜边长为所以由勾股定理，得故①正确；
因为小正方形的面积为4，所以小正方形的边长为所以故②正确；
因为，所以 ，即故③正确；
因为，所以所以所以故④错误．
综上，正确的结论是①②③．
8.【答案】A
【解析】解析：因为，所以又AD平分，，，所以，故选项B正确；又，所以，即所以又，所以故选项C正确；在中，由勾股定理，得，所以，解得所以故选项D正确；又，所以所以故选项A错误．
9.【答案】A
【解析】过点A作于点E，过点B作于点F，则，，，，
所以
因为，
所以，即
又，
所以≌
所以，
所以
设，则
所以
又，
所以，解得，即
所以
所以
在中，由勾股定理，得，
所以
所以
所以
10.【答案】D
【解析】当点P在线段AB上时，如图①．过点C作于点则因为，所以CH是AB的中线，即又，，所以在中，由勾股定理，得，所以，即；
当点P在AB的延长线时，如图②．过点C作于点D，则同理，得又，，所以同理，得；
当点P在线段BA的延长线上时，同理可证
综上，对直线AB上的所有点P，都有
11.【答案】100
【解析】略
12.【答案】5
【解析】略
13.【答案】3
【解析】略
14.【答案】5
【解析】略
15.【答案】7
【解析】连接由题意，得MN是边BC的垂直平分线，
所以，即
又，所以
又，，
所以
在中，，由勾股定理，得，
所以，解得
则
16.【答案】12
【解析】如图，延长BE交AD于点点E是DC的中点，，，，，，≌，，，，，在中，由勾股定理可得
17.【答案】18
【解析】过点B作CD的垂线，交CD的延长线于点J，则
由题意，得，，，
又，
所以
又，
所以
又，
所以是直角三角形，且
所以
所以≌
所以
所以 .
同理，得
所以
因为 ，
所以
18.【答案】3或或2
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理及直角三角形的性质，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么作于F，于是可得，，于是可得，设，当为直角三角形时，分类讨论如下：①如图①，，②如图②，，③如图③，，分别求解即可.
【解答】
解：过点B作于点F，
因为，，所以，，
又，，
所以，，
因为，所以，
设，
当为直角三角形时，分类讨论如下：
①如图①，若，则由勾股定理，得，
在、和中，由勾股定理，
得，
，
，
所以，解得；
②如图②，若，则由勾股定理，得，
在、和中，由勾股定理，
得，
，
，
所以，解得；
③如图③，若，则由勾股定理，得，
在、和中，由勾股定理，
得，
，
，
所以整理，得，所以，解得
综上，当CD的长为3或或2时，为直角三角形．
19.【答案】这辆小汽车超速了．理由如下：由题意，得，，在中，由勾股定理，得，所以所以这辆小汽车的行驶速度为又，，所以这辆小汽车超速了．
【解析】略
20.【答案】【小题1】M，N是线段AB的勾股分割点．
理由如下：
因为，，
所以
又，
所以，即
所以以AM，MN，NB为边的三角形是一个直角三角形，即M，N是线段AB的勾股分割点．
【小题2】设因为，，
所以
因为M，N是线段AB的勾股分割点，
所以以AM，MN，NB为边的三角形是直角三角形．
又AM为直角边，
所以有MN为斜边或BN为斜边两种情况．
当BN为斜边时，由勾股定理，得，
所以，解得
则；
当MN为斜边时，同理，得，解得
则
上，BN的长为或

【解析】略
略
21.【答案】连接BD，过点B作，交DE的延长线于点F，则
所以 .
又 ，
所以 .
所以
【解析】略
22.【答案】【小题1】点P位于BC的垂直平分线与AC的交点处，图略．
理由如下：
因为，
所以
又点P在AC上，所以由勾股定理，得
所以
所以点P在BC的垂直平分线上，即点P位于BC的垂直平分线与AC的交点处．
【小题2】设
由题意，得，，
所以
所以
在中，由勾股定理，得，
所以，解得 .
则线段PA的长为 .

【解析】略
略
23.【答案】【小题1】海港C受台风影响．
理由如下：
如图，过点C作于点
因为，，，
所以
所以是直角三角形，且
因为 ，
所以 .
因为，
所以海港C受台风影响．
【小题2】
如图，在AB上取E，F两点，连接CE，CF，使
由，得
在中，由勾股定理，得，
所以，
解得
同理，得，
所以
因为台风的速度为，且，
所以台风影响该海港的持续时间为

【解析】略
略
24.【答案】【小题1】猜想：证明如下：
因为是等边三角形，
所以，
又，
所以
所以，即
因为，
所以≌
所以
【小题2】是直角三角形．理由如下：
因为，
所以可设，，
因为，且，
所以是等边三角形．
所以
由，得，则
在中，，
所以是直角三角形．

【解析】略
略
25.【答案】【小题1】证明：连接
因为是等腰直角三角形，，D是边BC的中点，
所以，，即
又，
所以
所以，即又，
所以≌
所以
【小题2】 .
证明如下：由，得≌，，
所以
又是等腰直角三角形，，
所以
又，
所以，即
所以，即
又，
所以，即
又，
所以≌
所以在中，
由勾股定理，得，
所以
在中，由勾股定理，得
又，
所以 ，即 .

【解析】略
略
26.【答案】【小题1】
因为，，
所以在中，由勾股定理，得，即
又P，Q两点的运动速度均为每秒1个单位长度，
所以点P到达点C时，；
点Q到达点A时，
又点P到达点C时，两点同时停止运动，
所以t的取值范围是
当时，，
所以 ；
当时，，
所以
所以 .
综上，
【小题2】因为PQ的垂直平分线过点C，
所以
由，得，t的取值范围为，且，
当时，，
所以
所以
在中，由勾股定理，得，
所以，解得
则
所以；
当时，，，则
在中，由勾股定理，得，
所以，解得，不符合题意，舍去．
综上，AQ的长为

【解析】略
略
第1页，共1页