2024-2025学年度北师大版九年级上册2.5一元二次方程根与系数的关系 学案（无答案）

一元二次方程
用因式分解法求解一元二次方程
学习目标：
知识目标：推导韦达定理公式，并能熟练运用韦达定理解决简单的问题。
能力目标：代数式等价变形。
习惯目标：韦达定理书写格式。
一、课前准备：
1.解下列方程。
（1）2(2x-3)2-3(2x-3)=0 (2)2x2-16=x2+5x+8 (3)(3x-1)2+3(3x—1)+2=0
2.一元二次方程根与系数的关系（韦达定理）：如果ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根是x1,x2,那么x1+x2=________;
x1.x2=__________。注：（韦达定理使用的前提条件是：（1）_________；（2）__________。）
3．常见的代数式等价变形：
（1）x12+x22=______________;(2) =_______________;(3)(x1+1)(x2+1)=_____________；
（4）=______________；（5）| x1- x2|=__________________。
4.问题分享：
二、典例解析
例1.利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积。
（1）x2+7x+6=0 (2)2x2-3x-2=0 （3）x(3x-1)-1=0 (4)(2x+5)(x+1)=x+7
例2.已知方程x2-x-7=0的一个根是3，求它的另一个根。
变式1.1.已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值。
2.已知关于x的一元二次方程x2-bx+c=0的两根分别为x1=1,x2=-2,则b与c的值分别为( )
A.b=-1,c=2 B.b=1,c=-2 C.b=1,c=2 D.b=-1,c=-2
例3.利用根与系数的关系，一元二次方程2x2+3x-1的两根为x1,x2，
求：（1）两根平方和；（2）两根倒数和；（3）(x1+1)(x2+1)；（4）的值。
变式2.1.已知关于x的一元二次方程x2+(m+3)x+m+1=0
求证：无论m取何值，原方程总有两个不相等的实数根；
若x1,x2是原方程的两根，且| x1-x2|=2，求m的值，并求出此时方程的两根。
2.关于x的方程x2+(2k+1)x+k2+1=0有两个不等实根x1,x2
（1）求实数k的取值范围；（2）若| x1|+| x2|= x1.x2,求k的值。
3.已知关于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有连个实数根x1,x2
(1)求实数m的取值范围；（2）若x1+x2=6- x1.x2，求（x1-x2）2+3 x1.x2-5的值。
4.已知关于x的一元二次方程x2-(2m+3)x+m2+2=0的两根为x1,x2，且满足x12+x22=31+| x1x2|，则实数m=_________
拓展提升： 1.设a,b是方程x2+x-2017=0的两个实数根，则a2+2a+b的值为________
A.2015 B.2016 C.2017 D.2018
2.设m，n是一元二次方程x2+2x-7=0的两个根，则m2-mn+m-n的=_________
3.已知x1,x2是方程x2-2x+a=0的两个实数根，且x1+2x2=3-.
（1）求x1,x2及a的值；（2）求x13-3x12+2x1+x2的值。
4.已知a,b满足a2-15a-5=0, b2-15b-5=0,求的值。
4.已知关于x的方程x2-(m2+2m-3)x+2(m+1)=0的两个实数根护卫相反数。（1）求实数m的值；（2）若关于x的方程x2-(k+m)x-3m-k-5=0的根均为整数，求出所有满足条件的实数k
评价指标：____________________________________________________________________