福建省2025届高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题（含答案）

福建省2025届高中毕业班适应性练习卷（二）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.若，则( )
A. B. C. D.
3.在中，点是边上一点，若，则的最小值为( )
A. B. C. D.
4.将函数图象向右平移后，再将所得图象上各点横坐标扩大为原来的倍，得到的图象，若方程在内有两不等实根，则( )
A. B. C. D.
5.已知正四棱台下底面边长为，若内切球的体积为，则其外接球表面积是( )
A. B. C. D.
6.设数列的前面和为，若，且，则( )
A. B. C. D.
7.设曲线的方程为为系数，则( )
A. 曲线一定经过第一象限
B. 当，曲线可能为抛物线
C. 曲线一定经过第三象限
D. 当，曲线一定关于直线对称
8.已知函数的定义域为，且为奇函数，为偶函数，记的导函数为，则下列函数为奇函数的是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.设是非空的实数集，若，则( )
A. 函数的定义域为 B. 函数的值域为
C. 函数值域为 D. 函数无极值
10.已知一组数据的平均数、中位数、众数依次成等差数列，现在丢失了其中一个数据，另外六个数据分别是，，，，，将丢失数据的所有可能值从小到大排列成数列，记，则( )
A. B. C. 是等差数列 D. 是等比数列
11.若平面点集满足：任意点，存在，都有，则称该点集是阶聚合点集．下列命题为真命题的是( )
A. 若，则是阶聚合点集
B. 存在对任意正数，使不是阶聚合点集
C. 若，则不是阶聚合点集
D. “”是“是阶聚合点集”的充要条件
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.正八面体中，以其顶点为顶点的三棱锥的个数为 用数字作答．
13.将一装有适量水的圆柱容器斜靠在墙面，已知墙面与水平地面垂直，若圆柱轴线与水平地面所成角为，则液面所呈椭圆的离心率为 ．
14.已知函数，则曲线的对称中心为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
在，角所对的边分别为，已知．
证明：；
是否存在内一点使得且？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
16.本小题分
如图，在圆锥中，高，底面圆的直径，是的中点，点在圆上，平面平面．
证明：；
若点是圆上动点，求平面与平面夹角余弦值的取值范围．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的零点个数；
若有三个零点，求的取值范围．
18.本小题分
为庆祝祖国周年华诞，某商场决定在国庆期间举行抽奖活动．盒中装有个除颜色外均相同的小球，其中个是红球，个是黄球．每位顾客均有一次抽奖机会，抽奖时从盒中随机取出球，若取出的是红球，则可领取“特等奖”，该小球不再放回；若取出的是黄球，则可领取“参与奖”，并将该球放回盒中．
在第位顾客中“参与奖”的条件下，第位顾客中“特等奖”的概率；
记为第个顾客参与后后来参与的顾客不再有机会中“特等奖”的概率，求数列的通项公式；
设事件为第个顾客参与时获得最后一个“特等奖”，要使发生概率最大，求的值．
19.本小题分
贝塞尔曲线是由法国数学家发明的，它为计算机矢量图形学奠定了基础．贝塞尔曲线的有趣之处在于它的“皮筋效应”，即随着控制点有规律地移动，曲线会像皮筋一样伸缩，产生视觉上的冲击．
在平面直角坐标系中，已知点在线段上．若，，，求动点坐标；
在平面直角坐标系中，已知，，，点在线段上，若动点在线段上，且满足，求动点的轨迹方程；
如图，已知，若点分别在线段上，且，求动点的轨迹方程．
参考答案
1.
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5.
6.
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8.
9.
10.
11.
12.
13. 或
14.
15.解：由题意可知，
即，则，
即，其中；
其中和的最大值为，故上式只有当时，等号成立；
故，由正弦定理可得，
所以
因为，所以为的重心，
因为，为各边中线的交点，因此；
又因为点在内部，点在内的直线上的动点，如下图所示：
当点与点重合时，取得最小值，即，
所以恒成立，显然与，即矛盾，
故内不存在点使得且同时成立．

16.解：在平面内过作，而平面，
以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图，
则，，设，
设平面的法向量，则，令，得，
而平面的法向量为，平面平面，则，解得，
于是，而，则，所以．
设点，显然，，
设平面的法向量，则，令，得，
由知，平面的一个法向量，设平面与平面夹角为，
于是，
所以平面与平面夹角余弦值的取值范围．

17.解：，则，
令，则，
，即时，，函数单调递增，
函数在上的取值集合为，而在上的取值集合为，
则存在，使得，当时，，当时，，
则函数在上单调递减，在上单调递增，，
而当趋近于时，趋近于，因此只有一个零点；
当，即时，，
令，求导得，当时，，当时，，
函数在上单调递增，在上单调递减，，则，
函数在上单调递减，而，因此只有一个零点；
当，即时，由，得，由，得，
函数，即在上单调递增，在上单调递减，，
由知，存在，使得，
而，令，，
又，则存在，使得，
即当或时，，当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，显然，
因此，又当趋近于时，趋近于，因此在上有一个零点，
而，，令，，
求导得，令，求导得，
令，求导得，函数在上单调递减，，
函数在上单调递减，，
函数在上单调递减，，即，
因此在上有一个零点，又是的零点，此时有三个零点，
所以或时，有一个零点，时，有三个零点．
由讨论知是函数的一个零点，
又，则，即，，
因此，
所以的取值范围是．

18.解：设第位顾客中“特等奖”为事件，第位顾客中“参与奖”为事件，
，，
故，
所以在第位顾客中“参与奖”的条件下，第位顾客中“特等奖”的概率为．
由题意得，个顾客参与后后来的顾客不再有机会中“特等奖”表示最后一位顾客中“特等奖”，前位顾客中有一位中“特等奖”，
所以
，
故数列的通项公式为．
设第个顾客参与时拿下最后一个“特等奖”的概率最大，
则概率，
要使最大，即使最大，
所以
即，化简得，且，
又在上单调递减，
所以，综上所述，．

19.解：由题意可知，设，
则，，
因为，且点在线段上，
所以，则有
解得
所以点坐标为．
设，
由题意得，，，．
结合同理可得，，
又，
则，
且，
则
将，，，坐标代入得
，
设，则，消得．
又由，得．
故的轨迹方程为：．
设，
由题意结合同理可得，
，
且，
，
且，其中．
则
，
同理．
故，
将代入得
，
，
设，则，消得，
又由，得．
故的轨迹方程为．

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