黑龙江省龙东联盟2025届高三上学期10月份月考数学试卷（含答案）

黑龙江省龙东联盟2025届高三上学期10月份月考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，则( )
A. B. C. D.
2.已知，是实数，则“且”是“且”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.已知复数且是实数，则实数等于( )
A. B. C. D.
4.已知向量，满足，其中是单位向量，则在方向上的投影向量是( )
A. B. C. D.
5.设等差数列的前项和为若，则的公差为( )
A. B. C. D.
6.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
7.已知，为正实数，则( )
A. B.
C. D.
8.设函数在区间上存在零点，则的 最小值为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.对任意复数，为虚数单位，则下列结论正确的是
A. B. C. D.
10.设是公差为的无穷等差数列的前项和，则下列命题中正确的是( )
A. 若，则数列有最小项
B. 若数列有最小项，则
C. 若数列是递减数列，则对任意的，均有
D. 若对任意的均有，则数列是递减数列
11.已知函数，下列命题正确的有( )
A. 在上单调递增 B. 在上存在两个零点
C. 在上存在三个极小值点 D. 函数为周期函数，且可为周期
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若函数为偶函数，则实数 ．
13.函数的最小正周期为 ．
14.已知向量，满足，则的最大值与最小值之和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的前项和为，且，数列满足．
求；
设，数列的前项和为，求．
16.本小题分
记内角的对边分别为为锐角，已知，．
求；
若的面积为，求．
17.本小题分
已知函数．
讨论函数的单调性；
证明：．
18.本小题分
已知函数．
当在处的切线与在处的切线相同时，求的最小值；
设，当时，恒成立，求的取值范围．
19.本小题分
已知数列为等差数列，前项和为，数列为等比数列，公比，前项和为，数列的前项和为中的项满足．
当时，求的值；
是否存在使得，若存在有几个，请说明理由；
设数列的前项和为，证明：．
参考答案
1.
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8.
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10.
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13.
14.
15.
由，
当时，．
当时，，也适合．
综上可得，．
由，所以．
由知
得
，
所以．

16.
因为，
由余弦定理得，，所以，
因为，所以，因为，所以．
，
得，
由，得．

17.
因为，所以，，
，
令，
当时，恒成立，此时上单调递减，
当时，解不等式可得：，
所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，
当时，解不等式可得：，
所以在上单调递增，在上单调递减，
综上所述：当时，在上单调递减，
当时，在和上单调递减，
在上单调递增，
当时，在上单调递增，在上单调递减，
由可得，
由可得，由可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
设，则，
由即可得；由即可得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以，
所以，
所以对任意的恒成立．

18.
因为，
所以在处的切线方程为，
又，，
所以在处切线方程为，
所以，，得到，又，
所以的最小值为．
因为，则，由，得到，
当时，，当，时，
所以在区间上单调递减，在区间上单调递增，故，
又，则在上单调递减，在上单调递增，
令，即，，
当，即时，在上的两个零点为，同时它们恰好为的零点．
，即，又，则
此时，令，则，
所以单调递减，且时，，则，故．
，即时，在上，此时只需，即即可．
此时，令，则，即在区间递减，
所以，又，故．
综上所述，的取值范围为．

19.
在等差数列中，，则，公差，通项；
由，，得，而，解得，通项，
由，得；由，得；
由，得；由，得，
则，所以．
由知，，
由，得，则，当时符合，
令，则，，，
，当，，即
所以有且只有符合．
由，得，
所以．

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