江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（二）数学试题（含答案）

江苏省南通市海安市实验中学2025届高三上学期学业质量统测（二）数学试题
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若集合，，则( )
A. B. C. D.
2.复数，则的虚部为( )
A. B. C. D.
3.若，则( )
A. B. C. D.
4.已知是定义在上的偶函数，，，当时，，则( )
A. B. C. D.
5.将函数图象向右平移个单位得到奇函数，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.直线被函数的图象所截得线段的最小值为，则( )
A. B. C. D.
7.记函数在区间上的值域为，若，则的最小值是( )
A. B. C. D.
8.设，是定义在上的两个函数，任意，，且，有恒成立，下列是真命题的为( )
A. 若是周期函数，则也一定是周期函数
B. 若是奇函数，则也一定是奇函数
C. 若是偶函数，则也一定是偶函数
D. 若是上的增函数，则在上一定是减函数
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.假设“语文好，上本科”是真命题，那么下列命题正确的是( )
A. 语文好，不一定上本科 B. 上本科，语文不一定好
C. 不上本科，语文一定不好 D. 语文不好，一定不上本科
10.已知函数的图象过点和，则( )
A. B. 当时，的值域
C. 的最小值为 D. 函数有三个零点
11.已知，则下列结论正确的是( )
A. 当时，若有三个零点，则的取值范围是
B. 当且时，
C. 若满足，则
D. 若存在极值点，且，其中，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.若存在，使得，则实数的最大值是 ．
13.若，，且，则的最小值为 ．
14.已知函数，若关于的不等式的解集中有且仅有个正整数，则实数的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
记的内角，，的对边分别为，，，已知．
求
设，求的最大值．
16.本小题分
四棱锥中，是矩形，，，，．
证明：平面
若是棱上一点，且，求与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
某研究小组经过研究发现某种疾病的患病者与未患病者的某项医学指标有明显差异，经过大量调查，得到如下的患病者和未患病者该指标的频率分布直方图：
利用该指标制定一个检测标准，需要确定临界值将该指标大于的人判定为阳性，小于或等于的人判定为阴性此检测标准的漏诊率是将患病者判定为阴性的概率，记为误诊率是将未患病者判定为阳性的概率，记为假设数据在组内均匀分布，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率．
若，求
若，函数．
求的最小值
结合调查实际，解释中最小值的含义，并确定临界值．
18.本小题分
已知椭圆经过点，离心率为．
求椭圆的方程
若直线与交于、两点，且直线与的斜率互为相反数，求的中点到右焦点的距离的最小值．
19.本小题分
已知函数．
若曲线在点处的切线方程为，求和的值
若是的极大值，求实数的取值范围
当时，证明：对于任意的，，有
参考答案
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14.
15.解：因为，
所以根据正弦定理可得，
所以，
即，
所以，
因为，，，
所以，即，
所以
因为，
则，
由正弦定理得，
由可知，
所以，
所以当，即时，取得最大值，且最大值为．

16.证明：在矩形中，所以，
因为，所以，
因为在矩形中，，又，，
平面，所以平面，又平面，
所以，
又，平面，
所以平面．
解：由知：，，两两垂直，分别以，，为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，
则，，，，，
因为是棱上一点，则，，设，
则，所以，所以，
因为，所以，解得．
所以，
设平面的法向量，
则，取，则，
则为平面的一个法向量又
设与平面所成的角为，则
则．
所以与平面所成角的正弦值为．

17.解：依据“未患病者”的频率分布直方图得的频率为，的频率为，
因为，，则，
所以，解得：，
则．
当时，
当时，．
故．
所以在区间的最小值为：．
中最小值的含义是误诊率最低，临界值．

18.解：由已知，解得，，
所以椭圆的方程为．
由直线与斜率互为相反数，不妨设的斜率为，的斜率为，
由，得，
由，且，得点的横坐标为，
求得点的坐标为，
同理可求得点的坐标为，
所以中点的坐标为，
从而知，故点在直线上，
所以点与的最小距离即是点到直线的距离，
当且仅当时取得．
19.
解：，曲线在点处的切线方程为，，，，即切点为，，，故和的值分别为，；
，
若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，是极小值，不满足题意；
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增，是极小值，不满足题意；
若，则在上恒成立，单调递增，无极值，不满足题意；
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增，是极大值，满足题意，实数的取值范围为
当时，，要证等价于证明，即证，此不等式化简为，即证，即证，设，，原不等式的证明转化证明，，在上单调递增，，原不等式得证．
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