1.3.1 空间直角坐标系 练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3　空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1　空间直角坐标系
一、选择题
1.[2024·皖中名校联盟高二联考] 在空间直角坐标系Oxyz中,点(2,-3,5)关于Ozx平面的对称点的坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(-2,-3,-5) B. (2,3,5)
C. (5,-3,2) D. (-5,-3,-2)
2.在空间直角坐标系中,点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于 (　 )
A.x轴对称 B.y轴对称
C.z轴对称 D.原点对称
3.在空间直角坐标系Oxyz中,已知点P(-2,1,3),过点P作Ozx平面的垂线PQ,垂足为Q,则点Q的坐标为 (　 )
A.(0,1,0) B.(0,1,3)
C.(-2,0,3) D.(-2,1,0)
4.若点A(-2,2,1)关于y轴的对称点为A',则向量的坐标为 (　 )
A.(4,-4,-2) B.(0,-4,0)
C.(4,0,-2) D.(-4,0,2)
5.[2024·安徽淮北高二期中] 在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=1,AA1=3,已知向量a在基底{,,}下的坐标为(2,1,-3).若分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则a的坐标为 (　 )
A.(2,1,-3) B.(-1,2,-3)
C.(1,-8,9) D.(-1,8,-9)
6.已知i,j,k是空间直角坐标系Oxyz中x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量,且=3i,=i+j+k,则点B的坐标为 (　 )
A.(1,-1,1) B.(4,1,1)
C.(1,4,2) D.(4,1,2)
7.设y∈R,则点P(1,y,2)的集合为 (　 )
A.垂直于Ozx平面的一条直线
B.平行于Ozx平面的一条直线
C.垂直于y轴的一个平面
D.平行于y轴的一个平面
8.(多选题)[2024·广东东莞高二期中] 下列说法正确的是 (　 )
A.点(1,-2,3)关于Ozx平面的对称点的坐标为(1,2,3)
B.点关于y轴的对称点的坐标为
C.点(2,-1,3)到Oyz平面的距离为1
D.在单位正交基底{i,j,k}下,若m=3i-2j+4k,则m=(3,-2,4)
9.(多选题)如图,在长方体OABC-O'A'B'C'中,OA=1,OC=3,OO'=2,点E在线段AO的延长线上,且OE=,分别以,,的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系,则下列向量坐标表示正确的是 (　 )
A.=(3,0,0) B.=(1,0,2)
C.= D.=
二、填空题
10.在空间直角坐标系中,点P(1,a,b)与点Q(c,-2,4)关于原点对称,则abc=　　　　.
11.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,已知AB=AD=2,BB1=1,建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为　　　　,的坐标为　　　　.
12.在空间直角坐标系Oxyz中,点A(0,1,-1),B(1,1,2),点B关于y轴的对称点为C,则||=　　　　.
三、解答题
13.[2024·安徽宿州高二联考] 已知{a,b,c}是空间的一个单位正交基底,{a+b,a-b,c}是空间的另一个基底.若向量p在基底{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),求向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标.
14.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立空间直角坐标系,如图所示.
(1)写出正方体ABCD-A1B1C1D1各顶点的坐标(不需写出计算过程);
(2)写出向量,,的坐标(不需写出计算过程);
(3)求向量 在向量上的投影向量的坐标.
15.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E在棱A1B1上,且B1E=A1B1,建立如图所示的空间直角坐标系,则= (　 )
A. B. C. D.
16.[2024·天津五校联考] 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz,有一个动点P在正方体的各个面上运动.
(1)当点P分别在平行于坐标轴的各条棱上运动时,探究动点P的坐标特征;
(2)当点P分别在各个面对角线上运动时,探究动点P的坐标特征.
1.3　空间向量及其运算的坐标表示
1.3.1　空间直角坐标系
1.B　[解析] 由题意可得点(2,-3,5)关于Ozx平面的对称点的坐标为(2,3,5).故选B.
2.B　[解析] 因为在空间直角坐标系中,与点(x,y,z)关于y轴对称的点的坐标为(-x,y,-z),所以点A(1,-2,3)与点B(-1,-2,-3)关于y轴对称.故选B.
3.C　[解析] 由题意可知P,Q两点的横坐标与竖坐标相同,纵坐标不同,又在Ozx平面内所有点的纵坐标都是0,所以Q(-2,0,3).故选C.
4.C　[解析] 因为点A的坐标为(-2,2,1),所以点A关于y轴的对称点A'的坐标为(2,2,-1),连接OA,OA'(O为原点),则在单位正交基底{i,j,k}下,=-2i+2j+k,=2i+2j-k,所以=-=4i-2k,所以=(4,0,-2).故选C.
5.D　[解析] 因为a=2+-3=2--3,DA=1,DC=4,DD1=3,所以所求a的坐标为(-1,8,-9).故选D.
6.B　[解析] 设B(x,y,z),连接OB,则=xi+yj+zk,又因为=3i,所以=-=(x-3)i+yj+zk,又因为=i+j+k,所以(x-3,y,z)=(1,1,1),解得x=4,y=1,z=1,所以点B的坐标为(4,1,1).故选B.
7.A　[解析] 点P(1,y,2)(y∈R)的集合为横、竖坐标不变,而纵坐标变化的点的集合,由空间直角坐标的意义知,点P(1,y,2)(y∈R)的集合为垂直于Ozx平面的一条直线,故选A.
8.ABD　[解析] 对于A,点(1,-2,3)关于Ozx平面的对称点的坐标为(1,2,3),故A正确;对于B,点关于y轴的对称点的坐标为,故B正确;对于C,点(2,-1,3)到Oyz平面的距离为2,故C错误;对于D,由m=3i-2j+4k,得m=(3,-2,4),故D正确.故选ABD.
9.BC　[解析] 因为OC=3,所以=(0,3,0),故A不正确;因为=+=+,OA=1,OO'=2,所以=(1,0,2),故B正确;因为=++=++,OA=1,OC=3,OO'=2,所以=,故C正确;因为=+=+,OA=1,OC=3,所以=,故D不正确.故选BC.
10.8　[解析] ∵点P(1,a,b)与点Q(c,-2,4)关于原点对称,∴a=2,b=-4,c=-1,则abc=2×(-4)×(-1)=8.
11.(0,2,1)　(2,2,1)　[解析] 根据已建立的空间直角坐标系知为空间的一个单位正交基底,易知=+,=++,则的坐标为(0,2,1),的坐标为(2,2,1).
12.　[解析] 因为点B(1,1,2)关于y轴的对称点为C(-1,1,-2),所以||==.
13.解:设向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=4a+2b+3c=x(a+b)+y(a-b)+zc,整理得4a+2b+3c=(x+y)a+(x-y)b+zc,所以解得故向量p在基底{a+b,a-b,c}下的坐标是(3,1,3).
14.解:(1)由题知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(0,0,0),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).
(2)=(-2,-1,-1),=(-2,-1,-2),=(0,2,-1).
(3)易知向量在向量上的投影向量为,在单位正交基底下,=+=-+,故=(-2,2,0).
15.C　[解析] 由题意知,{,,}为空间的一个单位正交基底,且=+=+=-+,故=.故选C.
16.解:(1)当点P分别在平行于横轴的棱A1D1,B1C1,BC上运动时,动点P的纵、竖坐标不变,横坐标在[0,1]内取值;当点P分别在平行于纵轴的棱AB,A1B1,D1C1上运动时,动点P的横、竖坐标不变,纵坐标在[0,1]内取值;当点P分别在平行于竖轴的棱AA1,BB1,CC1上运动时,动点P的横、纵坐标不变,竖坐标在[0,1]内取值.
(2)当点P分别在面对角线BC1,B1C,AD1,A1D上运动时,动点P的纵坐标不变,横、竖坐标在[0,1]内取值;当点P分别在面对角线A1B,AB1,D1C,DC1上运动时,动点P的横坐标不变,纵、竖坐标在[0,1]内取值;当点P分别在面对角线A1C1,B1D1,AC,BD上运动时,动点P的竖坐标不变,横、纵坐标在[0,1]内取值.