1.3.2 空间向量运算的坐标表示 练习（含解析）-2024-2025学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

1.3.2　空间向量运算的坐标表示
一、选择题
1.在空间直角坐标系中,向量a=(2,-3,5),b=(-2,4,5),则向量a+b= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　
A.(0,1,10) B.(-4,7,0)
C.(4,-7,0) D.(-4,-12,25)
2.设一地球仪的球心为空间直角坐标系的原点O,球面上的两个点A,B的坐标分别为(1,2,2),(2,-2,1),则||= (　 )
A.18 B.12
C.2 D.3
3.[2024·湛江一中高二期中] 已知a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),c=(4,5,λ),若a,b,c三个向量不能构成空间的一个基底,则实数λ的值为 (　 )
A.0 B.9
C.5 D.3
4.已知=(2,-3,2),C,D(x,y,0),且∥,则x,y的值分别为 (　 )
A.3,1 B.4,-
C.3,-1 D.1,1
5.[2024·安徽桐城中学高二质检] 定义a b=|a|2-a·b,若向量a=(1,-2,2),向量b为单位向量,则a b的取值范围是 (　 )
A.[6,12] B.[0,6]
C.[-1,5] D.[0,12]
6.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是底面ABCD的中心,M,N分别是棱DD1,D1C1的中点,则直线OM (　 )
A.与AC,MN都垂直
B.垂直于AC,但不垂直于MN
C.垂直于MN,但不垂直于AC
D.与AC,MN都不垂直
7.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,∠BCA=90°,AC=CC1=2,M是A1B1的中点,以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.若⊥,则异面直线CM与A1B所成角的余弦值为 (　 )
A. B.
C. D.
8.(多选题)已知向量a=(1,-2,2),b=(2,-3,2),则下列结论正确的是 (　 )
A.a+b=(3,-5,4) B.a·b=12
C.|a-2b|=6 D.a,b不平行
9.(多选题)[2024·武汉十一中高二月考] 已知空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则下列说法正确的是 (　 )
A.·=-2
B.以OA,OB为邻边的平行四边形的面积为
C.点O到直线BC的距离为
D.O,A,B,C四点共面
二、填空题
10.若向量a=(1,-1,2),b=(2,1,-3),则|2a+b|=　　　　.
11.[2024·湖北宜荆荆随高二联考] 已知空间向量a=(0,1,2),b=(-1,2,2),则向量a在向量b上的投影向量是　　　　　　.
12.[2024·皖中名校联盟高二联考] 已知点A(1,2,1),B(3,3,2),C(λ+1,4,3),若,的夹角为锐角,则λ的取值范围为　　　　　　.
三、解答题
13.已知向量a=(-2,-1,2),b=(-1,1,2),c=(x,2,2).
(1)当|c|=2时,若向量ka+b与c垂直,求实数x和k的值;
(2)当x=-时,求证:向量c与向量a,b共面.
14.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,CA=CB=1,∠BCA=90°,AA1=2,M,N分别是A1A,A1B1的中点.
(1)求线段BM的长;
(2)求cos<,>的值;
(3)求证:A1B⊥C1N.
15.[2024·常德一中高二月考] 如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为6,点M为CC1的中点,点P为底面A1B1C1D1上的动点,且满足BP⊥AM,则点P的轨迹长度为　　　　　　.
16.在①(+)⊥(-),②||=,③0<1这三个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并作答.
问题:如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1,中,以D为坐标原点,建立空间直角坐标系Dxyz.已知点D1的坐标为(0,0,2),E为棱D1C1上的动点,F为棱B1C1上的动点,　　　　,则是否存在点E,F,使得·=0 若存在,求出·的值;若不存在,请说明理由.
1.3.2　空间向量运算的坐标表示
1.A　[解析] ∵a=(2,-3,5),b=(-2,4,5),∴a+b=(0,1,10).故选A.
2.D　[解析] ||==3.故选D.
3.C　[解析] 由向量a=(2,-1,3),b=(-1,4,-2),可得a与b不共线,又因为a,b,c三个向量不能构成空间的一个基底,所以存在实数x,y,使得c=xa+yb,即解得所以实数λ的值为5.故选C.
4.C　[解析] 因为C,D(x,y,0),所以=,又∥,所以==,解得x=3,y=-1,故选C.
5.A　[解析] 由题意知|a|==3,|b|=1.设 a,b =θ,则a b=|a|2-a·b=|a|2-|a|·|b|cos θ=9-3cos θ,又θ∈[0,π],∴cos θ∈[-1,1],∴a b的取值范围是[6,12].故选A.
6.A　[解析] 以D为原点,以,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2a,则M(0,0,a),A(2a,0,0),C(0,2a,0),O(a,a,0),N(0,a,2a),所以=(-a,-a,a),=(-2a,2a,0),=(0,a,a),所以·=0,·=0,则OM⊥AC,OM⊥MN.故选A.
7.A　[解析] 设CB=t>0,则C(0,0,0),A1(2,0,2),B(0,t,0),M,C1(0,0,2),所以=(-2,t,-2),=.由⊥,得·=-2+=0,可得t=2,则B(0,2,0),M(1,1,2),所以=(1,1,2),=(-2,2,-2),所以cos<,>===-,故异面直线CM与A1B所成角的余弦值为.故选A.
8.ABD　[解析] 因为a=(1,-2,2),b=(2,-3,2),所以a+b=(3,-5,4),故A正确;a·b=1×2+(-2)×(-3)+2×2=12,故B正确;a-2b=(-3,4,-2),所以|a-2b|==,故C错误;因为≠≠,所以a,b不平行,故D正确.故选ABD.
9.AC　[解析] 空间四点O(0,0,0),A(0,1,2),B(2,0,-1),C(3,2,1),则=(0,1,2),=(2,0,-1),所以||=,||=.对于A,·=-2,故A正确;对于B,cos<,>==-,所以sin∠AOB=,所以以OA,OB为邻边的平行四边形的面积S=||||sin∠AOB=,故B错误;对于C,因为=(2,0,-1),=(1,2,2),所以·=0,故⊥,所以点O到直线BC的距离d=||=,故C正确;对于D,假设OA,OB,OC共面,则存在实数λ和μ,使得=λ+μ,因为=(0,1,2),=(2,0,-1),=(3,2,1),所以方程组无解,则OA,OB,OC不共面,故D错误.故选AC.
10.3　[解析] 由题意,2a+b=(2,-2,4)+(2,1,-3)=(4,-1,1),所以|2a+b|==3.
11.　[解析] 由题意得a·b=0×(-1)+1×2+2×2=6,|b|==3,则向量a在向量b上的投影向量是==.
12.(-2,4)∪(4,+∞)　[解析] 由题意知=(2,1,1),=(λ,2,2),∵,的夹角为锐角,∴·=2λ+2+2>0,且≠,解得λ>-2且λ≠4,故λ的取值范围为(-2,4)∪(4,+∞).
13.解:(1)因为|c|=2,所以=2,解得x=0,所以c=(0,2,2).
因为ka+b=(-2k-1,1-k,2k+2),向量ka+b与c垂直,所以(ka+b)·c=2-2k+4k+4=0,解得k=-3.
(2)证明:当x=-时,c=.若向量c与向量a,b共面,则存在实数λ,μ,使得c=λa+μb(λ,μ∈R),
即=λ(-2,-1,2)+μ(-1,1,2),即解得
即c=-a+b,故向量c与向量a,b共面.
14.解:(1)以C为原点,建立空间直角坐标系Cxyz,如图所示,依题意得B(0,1,0),M(1,0,1),
故=(1,-1,1),所以||==,即线段BM的长为.
(2)依题意得A1(1,0,2),B(0,1,0),C(0,0,0),B1(0,1,2),所以=(1,-1,2),=(0,1,2),所以·=3,||=,||=,
所以cos<,>==.
(3)证明:依题意得C1(0,0,2),N,所以=,又=(-1,1,-2),所以·=-++0=0,所以⊥,即A1B⊥C1N.
15.3　[解析] 以D为原点,分别以DA,DC,DD1所在直线为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则A(6,0,0),B(6,6,0),M(0,6,3),设P(x,y,6),x∈[0,6],y∈[0,6],则=(-6,6,3),=(x-6,y-6,6),由BP⊥AM,得·=-6(x-6)+6(y-6)+3×6=0,化简得y=x-3,又x∈[0,6],y∈[0,6],所以x∈[3,6],y∈[0,3],所以点P的轨迹为Oxy平面上的线段y=x-3,x∈[3,6],即图中的线段EF(E,F分别为A1D1,A1B1的中点),由图知EF==3.
16.解:若选条件①.
由题意知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),所以=(-2,2,-2).设E(0,a,2)(0≤a≤2),F(b,2,2)(0≤b≤2),则=(b,2-a,0),=(-2,a,2),=(b-2,0,2),所以·=4-2(a+b),·=8-2b.
因为(+)⊥(-),所以(+)·(-)=-=0,即=,又=(0,a,2),=(b,0,2),所以a2+4=b2+4,所以a=b.
又·=4-2(a+b)=0,所以a=b=1,
故存在点E(0,1,2),F(1,2,2),使得·=0,此时·=8-2×1=6.
若选条件②.
由题意知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),所以=(-2,2,-2).
设E(0,a,2)(0≤a≤2),F(b,2,2)(0≤b≤2),
则=(b,2-a,0),=(-2,a,2),=(b-2,0,2),
所以·=4-2(a+b),·=8-2b.
因为=(0,a,2),且||=,所以=,可得a=.
又·=4-2(a+b)=0,所以b=,
故存在点E,F,使得·=0,此时·=8-2×=5.
若选条件③.由题意知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),B(2,2,0),A1(2,0,2),C(0,2,0),所以=(-2,2,-2),=(2,2,0).
设E(0,a,2)(0≤a≤2),F(b,2,2)(0≤b≤2),则=(b,2-a,0).
因为0<1,所以与不共线,所以b≠2-a,即a+b≠2,则·=4-2(a+b)≠0,
故不存在点E,F,使得·=0.