“抽屉原理”教学设计
【教学内容】人教版义务教育教科书六年级下册第五单元第67页例1。
【教材分析】
“抽屉原理”又名“鸽巢原理”，是人教版数学六年级下册数学广角的内容，也是整个小学阶段的最后一部分内容，它的主要作用是帮助学生把小学知识与中学知识进行勾连，渗透数学思想，体验数学思考，建立数学模型，为学生的整个数学学习生涯做好铺垫提升。本课教学的内容是抽屉原理中最简单的情况，研究苹果数比抽屉数多1的情况，是后面继续研究抽屉原理的一般情况及运用抽屉原理的逆向思维解决问题的基础，因此，在这节课的学习中，必须让学生对最简单的抽屉原理理解透彻，建构模型，提高逻辑推理能力，增强运用能力。
【学情分析】
《抽屉原理》作为数学广角的内容，知识比较抽象，对学生的思维层次有很大要求，理解起来比较困难。学生在之前的学习中很少接触假设法的学习，所以理解起来相对较慢，要引导学生一步一步地进行探究。
【设计理念】
数学最本质的追求——发展思维。模型建构由直观走向推理，才能达到思维的全面通透，从而呈现出模型的本质。抽屉原理看似简单，但因为其实质是提示了一种存在性，比较抽象，要让学生建构起自己的实质性理解还是很有挑战性的。因此，教学时，顺应学生的认知特点，采用“分散难点、各个击破”的策略，启发学生逐步理解。本课以情境问题的形式贯穿整节课的教学，设计了“游戏引入，揭示课题——自主探究，构建模型——拓展延伸，巩固模型——联系生活，应用模型——课堂评价，提升素养”等环节，让学生在经历分析问题、解决问题的过程中，将生活化的具体问题数学化，初步形成模型思想，体会和理解数学与外部世界的紧密联系，发展抽象能力、推理能力和应用能力。
【教学目标】
1.使学生理解“抽屉原理”（“鸽巢原理”）的基本形式，并能初步运用“抽屉原理”解决相关的实际问题或解释相关的现象。
2.通过操作、观察、比较、分析、说理等数学活动，让学生经历从具体到抽象的探究过程，建立数学模型，渗透“建模”思想，提高学生思考和推理的能力。
3.通过“抽屉原理”的灵活应用，提升解决数学问题的能力和兴趣，感受到数学文化及数学的魅力。
【教学重点】理解“抽屉原理”的含义，并会将简单的实际问题“模型化”。
【教学难点】理解并会使用“总有”、“至少”来描述结论，会使用“假设法”“平均分”解决“抽屉原理”。
【教学准备】多媒体课件。
【教学过程】
课前热身：“抢凳子”游戏
游戏引入，揭示课题
师：同学们，刚才的游戏好玩吗？“抢凳子”的游戏对我们来说再熟悉不过了，可是，你知道吗？在这个我们既熟悉又喜欢的游戏里，藏着一个非常有趣的数学原理呢！知道是什么数学原理吗？（板书课题：抽屉原理）
师：在这之前听说过抽屉原理吗？
师：看来这个知识对大家来说很陌生呀！那你心里对抽屉原理是不是很好奇？说一说！有什么好奇的地方？（学生提出问题，师板书）
师：看来同学们对抽屉原理有很多疑问呀！那就让我们带着这些疑问，一起开始今天的学习，好不好？请看——
【设计意图：从游戏中揭示数学原理，能引发学生的好奇心和求知欲，从课题中提出问题，虽然浅表，但学生对此知识确实有很多真实的疑问，这些疑问也能较大地提高学生的学习兴趣，激发探究欲望。】
自主探究，构建模型
1.合作探究，呈现模型
播放微课引出问题1：明明是三年级的学生，他在“抢凳子”的游戏中获胜了，老师说要奖励他，奖品是4个苹果。但老师没有直接把苹果给明明，而是给了他两个选择。A.直接拿2个苹果，开心地走了。B.老师会把这4个苹果放进3个抽屉里（抽屉是打开的），等老师放好后，选择其中1个抽屉里的苹果作奖品。明明想得到尽可能多的苹果，但他不知道该怎么选才好，他想听听我们的意见。
师：同学们，你会建议明明选A还是选B？为什么？（指名学生回答，引出问题）
师：4个苹果放进3个抽屉，老师共有几种不同的放法？明明可能拿到几个苹果呢？
师：请同学们同桌合作，想一想，画一画，写一写，老师共有几种不同的放法。明明可能拿到几个苹果。（学生同桌合作交流）
师：有结果了吗？哪个小组来汇报一下。
（学生一人边操作边汇报，另一人板书）（ 4 0 0 3 1 0 2 2 0 2 1 1 ）
师：其他小组同意他们的说法吗？老师把4个苹果放进3个抽屉，就只有这4种放法了？
师：所以明明可能得到几个苹果？你能不能用一句话说一说，选B的话，会怎样？
（引导学生说出“明明至少有2个苹果”，并板书：至少有2个苹果）
师：至少2个苹果是什么意思？（结合学生回答，板书：2个或2个以上）
师：哪种放法对明明来说会最不利？为什么这种放法是最少，最不利的？它跟其他几种放法有什么不同？（引导学生发现因为这种放法是把苹果尽可能平均放到每个抽屉里，所以每个抽屉的苹果已经是尽可能少了）
师：就算是在最不利的情况下，小明也能拿到几个苹果？
师：用不用所有的抽屉都有2个或2个以上？
（引导学生说出只要有一个抽屉有2个或2个以上苹果就可以）
师：一定有一个抽屉里有2个或2个以上的苹果，我们就说，总有一个抽屉里至少有2个苹果。（补充板书：总有一个抽屉里，总有——一定有）
师：所以我们可以建议明明选A还是选B了？
师：同学们，抽屉原理研究的其实就是这样一个问题。（课件出示：把4个苹果放进3个抽屉，不管怎么放，总有一个抽屉里至少有2个苹果。）
师：能理解这句话的意思吗？
师：看来同学们对抽屉原理有点感觉了。再来难一点的咯！
【设计意图：让学生给明明选择建议，这是一个比较好的驱动探索的任务，也是一个富有挑战性的问题。学生在意见分歧中进行自主讨论、分析，罗列出所有可能的放法，进而引导学生更加简洁地表述为“至少有2个苹果”，从而完成“抽屉原理”最为重要的一次概括，在对关键词“至少”“总有”的理解上，通过一个个的追问，引起学生的认知冲突，激发他们的思维不断走向条理、深刻。】
2.自主枚举，构建模型
播放微课引出问题2：兰兰是明明的同学，因为她上课时认真思考，积极发言，并在考试中取得了很好的成绩。老师也要奖励她，这次奖品是5个苹果。但老师同样没有直接把苹果给兰兰，而是给了她两个选择。A.直接拿3个苹果，开心地走了。B.老师会把这5个苹果放进4个抽屉里（抽屉是打开的），等老师放好后，选择其中1个抽屉里的苹果作奖品。兰兰也想得到尽可能多的苹果，但她不知道该怎么选才好，他也想听听我们的建议。
师：在给兰兰建议前，我们是不是要先搞清楚选B的话，兰兰能拿到几个苹果？
师：5个苹果放进4个抽屉，老师会怎么放？兰兰可能拿到几个苹果？
师：你能不能把老师可能会放的情况有顺序、不重复、不遗漏地写出来？写完后再圈一圈兰兰能拿到几个苹果。（学生记录写法，老师巡视，指名学生板书）
师：写完的同学和你的小组成员交流一下，一共有几种情况，兰兰分别能拿到几个苹果？
（指名学生上台板书并汇报： 5 0 0 0 4 1 0 0 3 2 0 0 3 1 1 0 2 2 1 0 2 1 1 1）
师：大家同意他的说法吗？你能用一句话来总结一下，把5个苹果放进4个抽屉，会有什么结果吗？
（引导学生总结：把5个苹果放进4个抽屉，总有一个抽屉里，至少有2个苹果。）
师：咦，跟刚才4个苹果放进3个抽屉是一样的结论呀！
师：那么，现在，你建议兰兰选A还是选B？为什么？（指名学生阐述选择的理由）
师：听了同学们的意见，我想兰兰是选择保险还是风险，得看她自己的选择了，对吗？
师：同学们，数学就是这样。有时候，它能帮助我们作出唯一确定的选择，但更多时候，数学只能帮助我们分析，厘清解决问题的思路，每个人还需要根据自己的意愿，来决定自己的选择。
师：好了，同学们，刚才，把4个苹果放进3个抽屉，把5个苹果放进4个抽屉，我们通过枚举的方法，把所有情况列出来，得出了同样的结论——总有一个抽屉里，至少有2个苹果。
师：看来同学们对抽屉原理的理解又加深了。
【设计意图：同样的情境问题，在学生经历了前面的学习后，探索显得更游刃有余。在经过列举、讨论、汇报交流后，共同得出结论“总有一个抽屉里至少有2个苹果”，再结合两个选项，提出自己的建议，并展开理由论述。这样的设计既体现了数学学科的人文价值，又培养了学生分析问题及批判性思考的能力。】
3.本质挖掘，归纳模型
问题3：同学们真厉害，帮助明明和兰兰解决了问题，那么，以下的两个问题，你又能否解决呢？把10个苹果放进9个抽屉，把500个苹果放进499个抽屉，又会有什么样的结论呢？
师：我们先来猜测一下10个苹果放进9个抽屉！会有什么结论？
师：还是同样的结论？要不要像刚才那样列出所有的情况来验证？
师：是呀，10个苹果放进9个抽屉，放法有很多很多吧？那有没有更好的方法来说明呢？同桌互相讨论一下。（同桌讨论，指名说理）
师：他的意思是把9个苹果先平均放到每个抽屉里，还剩下1个。这1个放到哪里去？
师：那么这个抽屉里就有2个苹果了。所以就得出这个结论了？同意吗？
生：我有疑问，放的方法有很多吧，这只中其中的一种，凭什么就能得出这个结论？
（引导学生说出这已经是最不利的情况了，其他情况肯定也符合这个结论）
师：能理解他的意思吗？这种方法是不是比所有情况列出来要好？
师：所以后面我们再遇到把苹果放进抽屉的问题时，只需要考虑这种最不利的情况，就能得出符合所有情况的结论了。明白了吗？
师：继续，把500个苹果放进499个抽屉里，又会有什么结论？
（指名学生说结论并阐述理由）
【设计意图：当数据变大时，罗列出所有可能的结果就较为困难，此时，假设法的优点便凸显出来。学生在说理的过程中，引发其深刻地思考，逐步掌握从“最不利”的情况出发，用“假设”的思路进行推理，实现由形象思维过度到抽象思维的过程。】
4.异中求同，完善模型
师：同学们，我们来看。把4个苹果放进3个抽屉，把5个苹果放进4个抽屉，把10个苹果放进9个抽屉，把500个苹果放进499个抽屉，其实，这样的情况是不是还很多？但我们都得出了这么一个结论，对不对？
师：请你仔细看，这里面抽屉数和苹果数有什么关系呀？
（引导学生发现苹果数都比抽屉数多1）
师：告诉大家，这一个就是德国的数学家狄利克雷发现的抽屉原理。
（课件出示：把n+1个苹果放到n个抽屉中，总有一个抽屉里至少有2个苹果）
师：这里的n知道什么意思吗？n+1呢？当苹果数比抽屉数多1时，那么总有一个抽屉里至少有2个苹果。这就是最简单的抽屉原理。
师：由于抽屉原理是狄利克雷最先发现并使用的，所以人们为了纪念他，也把抽屉原理叫做“狄利克雷原理”。
【设计意图：让学生通过观察对比，发现“苹果数”与“抽屉数”之间的关系，从而总结归纳出抽屉原理的最简单情况，即“把k+1个元素放入k个集合，总有一个集合里至少有2个元素”。学生经历由特殊过渡到一般情况，建立起“抽屉问题”的一般模型。】
拓展延伸，巩固模型
师：学到现在，终于搞明白什么是抽屉原理，为什么叫抽屉原理了。同学们还有什么疑问吗？（引导学生提出如果苹果数比抽屉数多2、3等又会是怎样的结论呢？）
师：对呀，苹果数比抽屉数多2、多3或是倍数关系时又有什么结论呢？（学生思考）
（出示题目：6只鸽子飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进（ ）只鸽子。）
师：至少飞进几只鸽子呢？（随机抽学生回答）
师：哦？有同学认为3只，有同学认为2只。请你们分别说一说你是怎么想的？
师：听懂他的意思了吗？他说剩下的两只要分别飞到两个笼子里，这样才是至少。现在明白了吗？至少飞进几只？
（出示题目：7只鸽笼飞进4个鸽笼，总有一个鸽笼至少飞进（ ）个鸽子。依次出示8、9只）（学生先回答，再说明理由）
师：现在请同学们看看这几题，里面是不是有抽屉原理？抽屉在哪里？苹果呢？
师：鸽子飞进鸽笼，里面也有抽屉原理，因此，抽屉原理又称为“鸽巢原理”。
【设计意图：引导学生对抽屉原理进行再提问，促进学生更充分地更深度地思考、质疑。再组织学生对所提问题进行解决与说理，结合生动形象的动画，帮助学生突破难点，引领学生一步下走向对知识的深刻理解。在巩固所学的同时，培养学生提出问题、分析问题、解决问题的能力。】
联系生活，应用模型
师：看来同学们不仅解决了问题，学会了抽屉原理，还能熟练应用了！下面，跟随微课再来回顾总结一下吧！（播放微课总结）
师：对呀！学了抽屉原理，究竟有什么用呢？生活中，哪些地方会有抽屉原理呀？
（当学生举例后，提问：这里面有没有抽屉原理？抽屉是什么？苹果是什么？）
师：同学们，抽屉原理不仅可以用来解决数论中的问题，并且，在生活中也有广泛的应用，如招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等。
【设计意图：“抽屉原理”作为一种模型，最终还是要回到生活中去。这一环节，通过组织学生回顾反思、梳理方法，再引导学生举出生活中的“抽屉原理”，让学生经历将实际问题抽象成数学模型并进行解释与应用的过程，感受“抽屉原理”在生活中的广泛应用，实现对知识真正的理解，数学思维能力、数学基本思想得到同步的发展，从而提升数学核心素养。】
五、课堂评价，提升素养
师：同学们，这节课马上就要结束了，想一想，今天这节课你的表现怎么样？你认为你的小组里谁的表现最好？为什么？（学生进行自评、互评）
师：同学们，今天我们所研究的内容就是书本第五单元的知识，希望同学们在后续的学习中，也能像今天一样做到多质疑，多提问，多思考！最后留给大家一个拓展题，同学们有疑问的可以去查阅书本，请教同学或老师。
【设计意图：让学生对本节课的表现进行自评、互评，使学生能够欣赏他人的优点，看到自己的不足，在轻松愉悦的氛围中获得积极的情感体验，增强学习自信心，树立正确的情感态度价值观，提升学科素养。】
【板书设计】
抽屉原理
5 0 0 0 4 0 0 把4个苹果放进3个抽屉
4 1 0 0 3 1 0 5个 4个
3 2 0 0 2 2 0 10个 9个
3 1 1 0 2 1 1 500个 499个
2 2 1 0 ┈
2 1 1 1(共19张PPT)
抽屉原理
小游戏
A.直接拿2个苹果，开心地走了。
B.老师会把这4个苹果放进3个抽屉里（抽屉是打开的），等老师放好后，选择其中1个抽屉里的苹果作奖品。
把4个苹果放进3个抽屉
最不利
4 0 0
3 1 0
2 2 0
2 1 1
A.直接拿2个苹果，开心地走了。
B.老师会把这4个苹果放进3个抽屉里（抽屉是打开的），等老师放好后，选择其中1个抽屉里的苹果作奖品。
把4个苹果放进3个抽屉，不管怎么放，
总有一个抽屉里至少有2个苹果。
A.直接拿3个苹果，开心地走了。
B.老师会把这5个苹果放进4个抽屉里（抽屉是打开的），等老师放好后，选择其中1个抽屉里的苹果作奖品。
把5个苹果放进4个抽屉，不管怎么放，
总有一个抽屉里至少有2个苹果。
最不利情况
把500个苹果放进499个抽屉里，
总有一个抽屉里，至少有2个苹果。
500÷499=1（个）.......1（个）
把 n+1 个苹果放进 n 个抽屉，
总有一个抽屉里至少有 2 个苹果。
德国数学家——狄利克雷
狄利克雷原理
6只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
6只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
2
6只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
7只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
2
8只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
2
2
9只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
6只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
7只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
2
8只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
2
9只鸽子飞进4个鸽笼，
总有一个鸽笼里至少飞进（ ）只鸽子。
3
2
鸽巢原理
在生活中，哪些地方有抽屉原理？
应用：招生录取、就业安排、资源分配、职称评定等等。
课堂评价
这节课你的表现怎么样？
你认为谁的表现最好？为什么？
1. 一副扑克牌（去掉大、小王），从中至少抽出（ ）张，才能保证一定有2张花色相同。
拓展延伸
2. 一副扑克牌（去掉大、小王），从中至少抽出（ ）张，才能保证一定有2张点数相同。
3. 一副扑克牌（包括大、小王），从中至少抽出（ ）张，才能保证一定有2张花色相同。
