直线和圆的方程单元检测（2019人教A版）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（22-23高二下·四川广元·期中）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
4．（2022·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
5．（22-23高二下·湖南邵阳·期末）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．13 B．11 C．9 D．8
6．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南省直辖县级单位·二模）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（22-23高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024高二上·江苏·专题练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．的最大值为5
10．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．所有圆的半径均为2
B．所有的圆的圆心恒在直线上
C．当时，点在圆上
D．经过点的圆有且只有一个
11．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．过点作曲线的切线，则切线方程为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023高三·全国·专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ．
13．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 .
14．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （22-23高二·全国·课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求：
(1)的取值范围；
(2)的取值范围．
16. (15分) （23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点和直线.
(1)若直线经过点P，且，求直线的方程；
(2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
17. (15分) （22-23高二上·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积．
18. (17分) （22-23高二上·甘肃兰州·期末）已知圆与圆
(1)求经过圆与圆交点的直线方程：
(2)求圆与圆的公共弦长．
19. (17分) （23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点．
(1)求证：的面积为定值．
(2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．
(3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.直线和圆的方程单元检测（2019人教A版）
一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．（23-24高一下·浙江宁波·期末）已知点，，若直线过点且与线段相交，则直线的斜率的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
2．（24-25高二上·浙江宁波·期中）直线和直线，则“”是“”的（ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．（22-23高二下·四川广元·期中）若直线过点，其中，是正实数，则的最小值是（ ）
A． B． C． D．5
4．（2022·吉林·三模）已知两点到直线的距离相等，则（ ）
A．2 B． C．2或 D．2或
5．（22-23高二下·湖南邵阳·期末）已知点在直线上运动，是圆上的动点，是圆上的动点，则的最小值为（ ）
A．13 B．11 C．9 D．8
6．（23-24高二上·江苏南通·阶段练习）若直线与曲线有两个不同的交点，则实数k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·河南省直辖县级单位·二模）已知点A（1，2）在圆C：外，则实数m的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
8．（22-23高二上·浙江·期中）在平面直角坐标系中，若圆上存在点，且点关于直线的对称点在圆上，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题(本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)
9．（2024高二上·江苏·专题练习）已知，若过定点的动直线：和过定点的动直线：交于点（与，不重合），则以下说法正确的是（ ）
A．点的坐标为 B．
C． D．的最大值为5
10．（23-24高二上·重庆九龙坡·阶段练习）若有一组圆：，下列命题正确的是（ ）
A．所有圆的半径均为2
B．所有的圆的圆心恒在直线上
C．当时，点在圆上
D．经过点的圆有且只有一个
11．（23-24高二上·江苏南京·阶段练习）已知实数满足曲线的方程，则下列选项正确的是（ ）
A．的最大值是
B．的最大值是
C．的最小值是
D．过点作曲线的切线，则切线方程为
三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分，把答案填在题中的横线上)
12．（2023高三·全国·专题练习）直线过点，且与以、为端点的线段相交，则直线的斜率的取值范围是 ．
13．（24-25高二上·江苏南通·开学考试）经过两条直线与的交点，且在轴上的截距是轴上的倍的直线方程为 .
14．（2023·河南郑州·模拟预测）已知点四点共圆，则点D到坐标原点O的距离为 .
四、解答题(本大题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
15. (13分) （22-23高二·全国·课堂例题）已知点在函数的图象上，当时，求：
(1)的取值范围；
(2)的取值范围．
16. (15分) （23-24高二上·浙江嘉兴·阶段练习）已知点和直线.
(1)若直线经过点P，且，求直线的方程；
(2)若直线经过点P，且在两坐标轴上的截距相等，求直线的方程.
17. (15分) （22-23高二上·四川内江·期中）已知的顶点边上的中线所在直线的方程为的平分线所在直线的方程为.
(1)求直线的方程和点C的坐标；
(2)求的面积．
18. (17分) （22-23高二上·甘肃兰州·期末）已知圆与圆
(1)求经过圆与圆交点的直线方程：
(2)求圆与圆的公共弦长．
19. (17分) （23-24高二下·上海·期中）已知以点为圆心的圆经过原点，且与轴交于点，与轴交于点．
(1)求证：的面积为定值．
(2)设直线与圆交于点，，若，求圆的方程．
(3)在（2）的条件下，设，分别是直线和圆上的动点，求的最小值及此时点的坐标.
参考答案：
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B B D D B A B ABC AB
题号 11
答案 BD
1．D
【分析】根据两点间斜率公式计算即可.
【详解】直线的斜率为，直线的斜率为，
结合图象可得直线的斜率的取值范围是.
故选：D
2．B
【分析】由题意先求出的充要条件，然后根据充分不必要条件的定义判断即可.
【详解】由题设，
解得或.
故，.
所以“”是“”的充分不必要条件.
故选：B.
3．B
【分析】
由点在直线上可知，结合均值不等式即可求解．
【详解】
因为直线过点，所以，
由和都是正实数，所以，，．
所以，
当时取等号，即，时取等号，
所以的最小值是.
故选:B．
4．D
【分析】分在的同侧和异侧分类讨论求解.
【详解】（1）若在的同侧，
则，所以，，
（2）若在的异侧，
则的中点在直线上，
所以解得,
故选:D.
5．D
【分析】根据圆的性质可得，故求的最小值，转化为求的最小值，再根据点关于线对称的性质，数形结合解.
【详解】如图所示，
圆的圆心为，半径为4，
圆的圆心为，半径为1，
可知，
所以，
故求的最小值，转化为求的最小值，
设关于直线的对称点为，设坐标为，
则 ，解得，故，
因为，可得，
当三点共线时，等号成立，
所以的最小值为.
故选：D.
6．B
【分析】根据直线所过的定点，结合直线与圆的切线性质，利用数形结合思想进行求解即可.
【详解】直线即，恒过定点，
曲线即表示以点为圆心，半径为1，
且位于直线上方的半圆（包括点，），
当直线经过点时，与曲线有两个不同的交点，此时，直线记为；
当与半圆相切时，由，得，切线记为，
分析可知当时，与曲线有两个不同的交点，即实数k的取值范围是.
故选：B.
7．A
【分析】由表示圆可得，点A（1，2）在圆C外可得，求解即可
【详解】由题意，表示圆
故，即或
点A（1，2）在圆C：外
故，即
故实数m的取值范围为或
即
故选：A
8．B
【分析】求出圆关于直线的对称圆的方程，由对称圆与圆有公共点可得答案．
【详解】圆的圆心为，
设关于直线的对称点为，
所以，解得，
关于直线的对称点为，
由题意得，以为圆心，以为半径的圆与圆有公共点，
所以，解得：.
故选：B．
【点睛】关键点点睛：本题的关键点是求出圆关于直线的对称的圆与圆有公共点，考查了学生思维能力.
9．ABC
【分析】根据直线方程求出定点的坐标，利用两直线垂直的判断方法，勾股定理，三角函数辅助角求最值即可得解.
【详解】因为可以转化为，
故直线恒过定点，故A选项正确；
又因为：，即恒过定点，
由 和, 满足，
所以, 可得, 故B选项正确；
所以, 故C选项正确；
因为, 设为锐角,
则, ，
所以,
所以当时, 取最大值, 故选项D错误.
故选：ABC.
10．AB
【分析】根据圆的标准方程和性质逐项判断求解；
【详解】选项A: ，，故选项正确；
选项B: 根据可得，圆心为，在，故选项正确；
选项C: 当时，，代入不满足方程，故选项错误；
选项D:代入 得：即有两个解，故选项错误；
故选：AB.
11．BD
【分析】由表示圆上的点到定点的距离的平方，可判定A错误；由表示圆上的点与点的斜率，设，结合点到直线的距离公式，列出不等式，可判定B正确；由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，进而可判定C错误；根据点在圆上，结合圆的切线的性质，可判定D正确.
【详解】由圆可化为，可得圆心，半径为，
对于A中，由表示圆上的点到定点的距离的平方，
所以它的最大值为，所以A错误；
对于B中，表示圆上的点与点的斜率，设，即，
由圆心到直线的距离，解得，
所以的最大值为，所以B正确；
对于C中，由表示圆上任意一点到直线的距离的倍，
圆心到直线的距离，所以其最小值为，所以C错误；
对于D中，因为点满足圆的方程，即点在圆上，
则点与圆心连线的斜率为，
根据圆的性质，可得过点作圆的切线的斜率为，
所以切线方程为，即，所以D正确.
故选：BD.
12．
【分析】作出图形，求出、，观察直线与线段的交点运动的过程中，直线的倾斜角的变化，可得出直线的取值范围.
【详解】如下图所示：设过点且与轴垂直的直线交线段于点，设直线的斜率为，
且，，
当点从点移动到点（不包括点）的过程中，直线的倾斜角为锐角，
此时，；
当点从点（不包括点）移动到点的过程中，直线的倾斜角为钝角，
此时，.
综上所述，直线的斜率的取值范围是.
故答案为：.
13．或
【分析】先求已知两直线的交点坐标．设所求直线方程为，求所求直线在轴和轴上的截距，由条件列方程求，由此可得结论．
【详解】联立，解得，
所以直线与的交点坐标为，
由已知所求直线的斜率存在且不为，
故可设所求直线方程为，其中，
令，可得，即所求直线在轴上的截距为，
令，可得，即所求直线在轴上的截距为，
由已知可得，
所以，
所以或，
所以所求直线方程为或.
故答案为：或.
14．
【分析】运用待定系数法求得过A、B、C的圆的方程，由点D在此圆上可求得的值，再根据两点间距离公式即可求得结果.
【详解】设过A、B、C的圆的方程为：（），
则，解得，
所以过A、B、C的圆的方程为：，
又因为点D在此圆上，
所以，解得，
所以点D到坐标原点O的距离为.
故答案为：.
15．(1)
(2)
【分析】（1）可看作过点与点的直线的斜率，结合图形分析求解；
（2）整理得，可看作过点与点的直线斜率，结合图形分析求解.
【详解】（1）因为点M在函数的图象上，且，记点，．
由题意可知点在线段AB上移动．记点，
则可看作过点与点的直线的斜率，
又因为，，
由于，可知线段AB上存在点与N点连线的斜率不存在，
所以的取值范围为．
（2）因为，记点，
则可看作过点与点的直线斜率，
又因为，，所以的取值范围为．
16．(1)
(2)和
【分析】（1）根据直线垂直的斜率关系，即可由点斜式求解，
（2）根据分类讨论，结合截距式即可代入点求解.
【详解】（1）由直线l的方程可知它的斜率为，因为，所以直线的斜率为2.
又直线经过点，所以直线的方程为：，即；
（2）若直线经过原点，设直线方程为，
代入可得，
若直线不经过原点，设直线方程为，
代入可得，故直线方程为.
综上，直线的方程为和.
17．(1)，，
(2).
【分析】（1）设点的坐标是，由的中点在直线上，求得点的坐标，再求出点关于直线的对称点即可求得直线的方程，联立方程组求出点坐标.
（2）利用两点间距离公式及点到直线距离公式求出三角形面积.
【详解】（1）由点在上，设点的坐标是，则的中点在直线上，
于是，解得，即点，
设关于直线的对称点为，则有，解得，即，
显然点在直线上，直线的斜率为，
因此直线的方程为，即，
由，解得，则点，
所以直线的方程为，点C的坐标为.
（2）由（1）得，点到直线的距离，
所以的面积.
18．(1)
(2)
【分析】（1）判断两圆相交，将两圆的方程相减，即可得答案；
（2）确定圆的圆心和半径，求得圆心到两圆公共弦所在直线的距离，根据弦长的几何求法即可求得答案.
【详解】（1）圆的圆心为，半径为，
圆即，圆心为，半径为，
则，故圆与圆相交；
将圆与圆的方程相减，
得，
即经过圆与圆交点的直线方程为；
（2）圆的圆心为，半径为1，
到直线的距离为，
故圆与圆的公共弦长为.
19．(1)证明见解析
(2)
(3)最小值为，
【分析】（1）由已知直接可得圆的方程，进而可得点与的坐标，进而可得证；
（2）由已知可得，进而可得参数，及圆的方程；
（3）根据对称可得点关于直线的对称点，进而可知，根据点与圆的位置关系可得的最小值，进而可得点的坐标.
【详解】（1）由题意可得圆的方程为：，
化简可得，
与坐标轴的交点分别为：，，
为定值.
（2）如图所示，
，
原点在线段的垂直平分线上，
设线段的中点为，则，，三点共线，
又的斜率，
，
解得，
又，所以，
可得圆心，
圆的方程为：；
（3）如图所示，
由（2）可知：圆心，半径，，
设点关于直线的对称点为，
则中点为，
且，解得，即，
则，
又点到圆上点的最短距离为，
则的最小值为，
此时直线的方程为：，
点为直线与直线的交点，
则，解得，
即点.
