浙江省2024年初中学业水平考试模拟试卷数学（榜眼卷）

浙江省2024年初中学业水平考试模拟试卷数学（榜眼卷）
1．（2024·浙江模拟）在-1，0，2，-3.5中选一个数与10相加使结果最小，应选（　　）
A．-1 B．0 C．2 D．-3.5
2．（2024·浙江模拟）如图是一个五金零件，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2024·浙江模拟）转动转盘（如图），指针停留在无理数区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
4．（2024·浙江模拟）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（　　）
A．2x+4<0 B．2x+4≤0 C．2x+4>0 D．2x+4≥0
5．（2024·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，将线段AC绕着点C顺时针旋转20°，点A的对应点D正好在边AB上，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
6．（2024·浙江模拟）一次函数y=（k+2）x+5与二次函数y=3x2+4的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
7．（2024·浙江模拟）某商场销售两种亚运会吉祥物纪念章，已知A种纪念章买两盒送一盒，每盒62元；B种纪念章打九折，原价每盒90元，东东需要的3盒A种纪念章和2盒B种纪念章共需（　　）
A．366元 B．348元 C．286元 D．304元
8．（2024·浙江模拟）如图，D是△ABC的边AB上一点，且AD：DB=2：1，过点D作DE//BC，交AC于点E，取线段AE的中点F，连结DF.若DF=4，则△ABC中AC边上的中线长为（　　）
A．2 B．6 C．7 D．8
9．（2024·浙江模拟）如图，A，B，C依次是残破镜子上的三个点，弓形的弦AC的长为3cm，∠ABC=120°，则这个镜子的直径长为（　　）
A．2cm B．4cm C．cm D．cm
10．（2024·浙江模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD=6，BC=14，E为AB的中点，F为线段BC上的动点，连结FE，将△BEF沿EF折叠得到△GEF.在点F从点B运动到点C的过程中，若射线FG与上底AD相交于点P，则点P相应运动的路径长 为
A． B．5 C．5.4 D．
11．（2024·浙江模拟）因式分解：m2-9=　 　
12．（2024·浙江模拟）若扇形的弧长为5π，圆心角为50°，则它的半径为　 　
13．（2024·浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E在线段AD上，AD=4AE.连结AC，BE，二者相交于点F，连结BD，与AC相交于点G，则FG=　 　
14．（2024·浙江模拟）如图所示为凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像.已知蜡烛的高AB为4.8cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE//OF，OF=OF，则像CD的高为　 　cm.
15．（2024·浙江模拟）如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点　 　
16．（2024·浙江模拟）如图2是东东用图1中的七巧板拼成的数字5，A，B，C均是七巧板中直角三角形和正方形的顶点，连结AB，AB与BC的夹角为α，则tanα的值是　 　
17．（2024·浙江模拟）如图是小明一道题的计算过程：
（1）请用下划线划出小明计算出错的地方.
（2）请写出正确的计算过程.
18．（2024·浙江模拟）如图，在6×6的方格纸中，点A，B均在格点上，试按要求画出相应的格点图形（每小题只需画一个）.
（1）在图1中作一条线段，使它与AB互相垂直平分.
（2）在图2中作一个△ABC，使它是轴对称图形，且符合S△ABC=5.
19．（2024·浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线y2=x2+bx+c的顶点C在线段AB上（不包括点B）.
（1）求b，c的值
（2）当时，请直接写出x的取值范围.
20．（2024·浙江模拟）为了落实“双减”政策.某校进行了课时作业分层设计课题研究，分别在A，B，C三个班开展比对实验.A班没有开展分层作业设计，B班开展“好、差”两层分层设计，C班开展“好、中、差”三层分层及个别学生特殊布置设计.一段时间后对实验前、后开展的前测和后测（难度、题型、总分相同的试卷，满分100分）数据进行整理比对，如表1和表2.
表1 前测数据
测试分数x 0A班（常态班） 28 9 9 3 1
B班（实验班） 25 10 8 2 1
C班（实验班） 26 9 8 1 　
表2 后测数据
测试分数x 0<1≤60 60A班（常态班） 14 16 12 6 2
B班（实验班） 6 8 11 18 3
C班（实验班） 4 6 9 22 5
（1）请选择一种适当的统计量，分别比较A，B，C三个班的后测数据
（2）通过分析前测、后测数据，请对该校开展的课时作业分层设计实验效果进行评价.
21．（2024·浙江模拟）如图1是一手机直摇专用支架，AB为立杆，其高为100cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度.
（1）如图2，当支杆BC与地面亚直，悬杆CD与支杆BC之间的夹角∠BCD=60°且CD的长为30cm时，求手机怒挂点D距离地面的高度.
（2）在图⒉所示的状态下，将支杆 BC绕点B顺时针旋转20°，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得∠BCD=140°，同时调节CD的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为140 cm，求CD的长（结果精确到1cm，参考数据： sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）.
22．（2024·浙江模拟）已知AB，CD是圆o的内接四边形ACBD的两条对角线，AB，CD相交于点M，且AB=CD.
（1）如图1，求证：BM=DM.
（2）在图1中找出一组全等的三角形，并给出证明.
（3）如图2，圆O的半径为5，弦CD⊥AB于点P，当△CBP的面积为3.5时，求AB的长.
23．（2024·浙江模拟） 如图1，在正方形ABCD中， ∠PAQ=∠BAD，∠PAQ的边分别与对角线BD相交于点P，Q，请说明BP2+DQ2=PQ.2
（1）尝试解决：小明给出了以下思路：将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP ，使AB与AD重合，连结QP'，请帮小明完成解题过程.
（2）类比探究：如图2，在正方形内作∠PAQ=45°，使AP与BC相交于点P，AQ与DC相交于点Q，连结PQ.已知BP=2，DQ=3，求△APQ的面积.
（3）拓展应用：如图3，在长方形ABCD中，AB=3，AD=4，P是BC上一点Q是CD上一点，连结PQ，求△APQ的面积的最小值.
24．（2024·浙江模拟）如图，直线与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，与反比例函数的图象相交于P、Q两点，郭点Q作x轴的垂线，垂足为C，连结OQ，OP并延长OP，与直线QC相交于点M.在第一象限找点N，使以P，Q，N，M为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数经过点n.
（1）求 的面积.
（2）在反比例函数 的图象上找点 ， 使 是直角三角形， 求出符合要求的点 的坐标.
（3）如图 2， 在反比例函数 的图象上有一点 轴于点 轴于点 G， E F， E G$ 分别交反比例函数 的图象于 H、 I两点，求 的面积.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：-1+10=9；0+10=10；2+10=12；-3.5+10=6.5；
且12>10>9>6.5
与10相加结果最小的数为-3.5，
故答案为：D.
【分析】将 -1，0，2，-3.5 与10相加的结果进行比较，即可求解.
2．【答案】C
【知识点】非实心几何体的三视图
【解析】【解答】解： 的主视图为 ，
故答案为：A.
【分析】根据三视图的概念以及作图要求，即可求解.
3．【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：因为总共有6个数，其中无理数有和共两个，
所以 指针停留在无理数区域的概率是
故答案为：B.
【分析】分析得出总共有6个数，其中无理数有2个，再根据概率公式即可求解.
4．【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，再由数轴可得另一个不等式的解集为x>-2，
这个不等式可能为 2x+4>0 ，
故答案为：C.
【分析】由数轴得到不等式的解集，再结合选项即可求解.
5．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： 将线段AC绕着点C顺时针旋转20°，点A的对应点D正好在边AB上，
AC=CD，
∠CDB=100°，
∠ACB=60°，
故答案为：A.
【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质求得进而得到∠CDB=100°，再根据三角形的内角和定理即可求解.
6．【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由题意联立方程组可得，
解方程组得
方程组有两个解，
一次函数与二次函数 y=3x2+4 有两个交点，
故答案为：C.
【分析】联立方程组，利用即可求解.
7．【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
8．【答案】B
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： AD：DB=2：1，
AD：AB=2：3，
DE//BC，
点F是线段AE的中点 ，
取AC的中点G，如图，连接BG，
可得
△ABC中AC边上的中线长为，
故答案为：B.
【分析】先判定得到进而得到取AC的中点G，如图，连接BG，再判定利用相似三角形的性质代入数据计算即可求解.
9．【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：设这个圆的圆心为O，连接AO并延长交圆O于点D，如图，
AD是圆O的直径，
∠ABC=120°，
在Rt△ADC中，3cm，
即
这个镜子的直径长为 4，
故答案为：B.
【分析】设这个圆的圆心为O，连接AO并延长交圆O于点D，利用圆周角定理求得再由圆内接四边形的性质求得最后利用特殊角的三角函数值即可求解.
10．【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解： 在直角梯形ABCD中，AB=AD=6，BC=14，E为AB的中点，
F为线段BC上的动点，连结FE，将△BEF沿EF折叠得到△GEF.
当点P与点D重合时，如图，
在点F从点B运动到点C的过程中，射线FG与梯形的上底AD相交于点P，则当F与点C重合时，PD的长为点P相应运动的路径长，
这时，GC=BC=14，连接BE，如图，
在Rt△PEG与Rt△PEA中，
Rt△PEGRt△PEA（HL），
GP=AP，∠PEG=∠PEA，
由折叠可得：∠CEG=∠CEB，
∠PEG+∠CEG=
∠PEC=90°，
∠EPG+∠PEG=90°，
∠EPG=∠CEG，
tan∠EPG=tan∠CEG，
，
故答案为：D.
【分析】先证明Rt△PEGRt△PEA（HL），得到PG=AP，∠PEG=∠PEA，再根据折叠的性质得到∠PEC=90°，则∠EPG=∠CEG，再根据tan∠EPG=tan∠CEG，列出比列式，求得PG的值，最后根据线段的和差关系即可求解.
11．【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： m2-9= m2-32= （m+3）（m-3） ；
故答案为： （m+3）（m-3） .
【分析】原式变形后符合a2-b2形式，根据平方差公式直接分解因式即可。
12．【答案】18
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由弧长公式可得，
解得r=18，
故答案为18.
【分析】直接利用弧长公式将已知条件代入即可求解.
13．【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：AD=4，且AD=4AE，
AE=1，
四边形ABCD是矩形，
AD∥BC，
即
设AF=x，则CF=4x，
AC=AF+CF=x+4x=5，
x=1，
AF=1，CF=4，
AD∥BC，
∠ADG=∠GBC，
∠AGD=∠CGB，AB=BC，
AG=CG，
FG=CF-CG=
FG
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质先证明由相似三角形的性质求得再利用勾股定理求得AC的值，设AF=x，则CF=4x，由线段和差关系求得AF，CF的值，再证明，根据全等三角形的性质即可求解.
14．【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得AB∥CD，AB=4.8，AE=OB=6，OF=10，
∴，
∴，即，
∵AE∥OF，
∴，
∴，
∵OF=OF'，
∴OF'=OF=10，
∴，
∴，
∴CD=12
故答案为：12.
【分析】由题意得AB∥CD，AB=4.8，AE=OB=6，OF=10，从而证出，根据相似三角形对应边成比例得，即，然后由AE∥OF证出，根据相似三角形对应边成比例得，进而有，最后解出CD的值.
15．【答案】F
【知识点】探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第50次总共走的边数为：（条），
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴每走8条边回到A点，
∴1275÷8=159......3，
∴第50次走到顶点F，
故答案为：F.
【分析】先求出第50次走的总边数为1275条，然后根据正八边形的性质可知每每走8条边回到A点，从而根据规律求出走1275条边是绕八边形159圈后再走3条边，即可求出第50次走到顶点F.
16．【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设图1中小正方形的边长为1，则其余各图形的边长如下图，在图2中，过点B作BD⊥AD，交AD延长线于D，过点M作MN⊥BD于N，
∴∠D=90°，易证四边形BCMN、DIGN为矩形，
∴MN=BC=2，DN=GI，DI=NG，BN=MC，
根据题意，得GH=HE=AF=2，，，CK=GP=PM=1，∠EFA=∠GEH=45°，∠GPM=45°+45°=90°，
∴，AD∥HE，，
∴，∠BAD=α，
∴，即，
∴GI=IF=DN=1，
∵BN=MC，，CK=1，
∴，
∴，
∵，MN=2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】设图1中小正方形的边长为1，然后利用正方形的性质、等腰直角三角形的性质对图1其余各图的边长标上数据，接下来在图2中过点B作BD⊥AD，交AD延长线于D，过点M作MN⊥BD于N，易证易证四边形BCMN、DIGN为矩形，利用矩形的性质得MN=BC=2，DN=GI，DI=NG，BN=MC，根据题意得GH=HE=AF=2，，，CK=GP=PM=1，∠EFA=∠GEH=45°，∠GPM=90°，从而有，AD∥HE，，进而证出，∠BAD=α，利用相似三角形对应边成比例的性质得，从而求出GI=IF=DN=1，然后求BN的长，从而得BD的长，接下来求DI=NG的长，从而得AD的长，最后利用正切的定义，代入数值进行计算即可.
17．【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）观察计算过程，可知（-2）2应为4，sin30°应为，在此出错的地方画上下划线即可；
（2）利用乘方、绝对值、特殊角的三角函数、算术平方根先进行化简，最后进行加减运算即可.
18．【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求；
（2）解：如图，即为所求.
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，找两个点C、D，使四边形ACBD是菱形即可；
（2）根据题意可知，利用等腰直角三角形的性质，故找一个点C，使为等腰直角三角形即可.
19．【答案】（1）解：∵一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴A（6，0），B（0，8），
设直线AB的表达式为y=kx+m（k≠0），则：，
解得：，
∴直线AB的表达式为，
将B（0，8）代入 y2=x2+bx+c，得c=8，
∴抛物线的表达式为y2=x2+bx++8，
∴抛物线的顶点坐标为，代入，得，
整理得：3b2+8b=0，
解得：，，
∵顶点C在线段AB上，但不包括点B，
∴不符合题意，舍去，即b的值为，
∴b，c的值分别为，8；
（2）解：由（1）得，，
∴化为，即，
令，
∴当时，有或，
∴当时，x的取值范围是或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先求点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的表达式为，接下来将B点坐标代入抛物线的表达式得c的值，从而得抛物线的表达式为y2=x2+bx++8，根据二次函数的顶点坐标公式得，代入直线AB的表达式得关于b的一元二次方程，解方程求出b的值，注意根据题意将所求b的值进行取舍；
（2）由（1）将转化为，然后令，接下来利用二次函数的性质得当时，有或，即可求解.
20．【答案】（1）解：根据题意，得A班的总人数为：14+16+12+6+2=50（人），
B班的总人数为：6+8+11+18+3=46（人），
C班的总人数为：4+6+9+22+5=46（人），
∴从中位数看，A班中位数在60＜x≤70这一范围，B班中位数在70∴A，B，C三个班的成绩从好到差分别为：C班，B班，A班；
（2）解：根据题意，得前测数据这三个班成绩中位数都在0＜x≤60这一范围，
由（1）得后测数据这三个班成绩中位数分别为：A班中位数在60＜x≤70这一范围，B班中位数在70∴可知这三个班后测成绩相对前测成绩来说都有提升，但C班成绩的提升比较快，
∴C班开展“好、中、差”三层分层及个别学生特殊布置设计的教学方法比较好.
【知识点】统计表；常用统计量的选择
【解析】【分析】（1）先求出A、B、C三个班各班的总人数，然后从中位数去看，可知这三个班中位数所在的范围，从而得出这三个班的成绩情况；
（2）先求出前测数据这三个班成绩的中位数，再与后测数据这三个班成绩的中位数进行比较，即可求解.
21．【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥AE于E，DF⊥AC于F，
∴∠DFC=∠DFA=∠AED=∠FAE=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴DE=AB，
∵∠BCD=60°，
∴∠CDF=30°，
∵CD=30，
∴，
∵BC=30，
∴BF=BC-CF=15，
∵AB=100，
∴DE=AF=AB+BF=100+15=115，
∴点D距离地面的高度为115cm；
（2）解：如图，过点D作DE⊥AE于E，过点C作CG⊥DE于G，延长GC交AB延长线于F，
∴∠DGC=∠FGE=∠AEG=∠EAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∴AF=GE，∠F=90°，
根据题意，得DE=140，BC=30，AB=100，∠CBF=20°，∠BCD=140°，
∴∠BCF=90°-20°=70°，
∴∠DCF=360°-140°-70°=150°，
∴∠DCG=180°-150°=30°，
∴2DG=CD，
设DG=x，则CD=2x，
∴AF=GE=140-x，
∴BF=AF-AB=140-x-100=40-x，
在中，，
解得：x≈11.8，
∴CD=2x≈2×11.8≈24，
∴CD的长约为24cm.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥AE于E，DF⊥AC于F，易证四边形AEDF是矩形，利用矩形的性质得DE=AB，然后求出∠CDF=30°，根据含30°的直角三角形的性质得CF的值，从而求出BF的值，进而求DE=AF=AB+BF的值；
（2）过点D作DE⊥AE于E，过点C作CG⊥DE于G，延长GC交AB延长线于F，易证四边形AEGF是矩形，根据矩形的性质得AF=GE，∠F=90°，然后根据题意求出∠DCG=30°，从而利用含30°的直角三角形的性质得ADG=CD，设DG=x，则CD=2x，从而求出AF=GE=140-x，进而求出BF=40-x，接下来在中，解直角三角形得关于x的方程，解方程求出x的值，从而得CD的值，注意把结果精确到1cm即可.
22．【答案】（1）证明：∵AB=CD，
∴，
∴，
∴，
∴∠ABD=∠CDB，
∴BM=DM；
（2）解：，证明如下：
由（1）得∠ABD=∠CDB，
在和中，
，
∴；
（3）解：如图，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OC，
∴∠OEP=∠OFP=90°，，
∵CD⊥AB，
∴∠EPF=∠OEP=∠OFP=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴PF=OE，
由（1）同理可证BP=DP，
∵AB=CD，
∴AP=CP，
设AP=CP=x，BP=DP=y，
∴AB=CD=x+y，
∴，，
∴，
∵圆O的半径为5，即OC=5，
∴在中，，
∴，
整理得：，
∵，
∴xy=7，
∴，
∴AB=x+y=8，即AB的长为8.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据AB=CD得，从而求出，由圆周角定理得∠ABD=∠CDB，进而根据”等角对等边“得证结论；
（2）由（1）得∠ABD=∠CDB，然后利用全等三角形判定定理”SAS“证出；
（3）过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OC，然后根据垂径定理证出、∠EPF=∠OEP=∠OFP=90°，从而证出四边形OEPF是矩形，进而由矩形的性质得PF=OE，接下来由（1）同理可证BP=DP，从而得AP=CP，进而设AP=CP=x，BP=DP=y，则AB=CD=x+y，求出、，利用勾股定理得，有，利用三角形面积公式得，则xy=7，最后利用完全平方公式求出，即可得AB=8.
23．【答案】（1）解：如图，
∵将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP'，使AB与AD重合，
∴，
∴BP=DP'，AP=AP'，∠BAP=∠P'AD，∠ABP=∠ADP'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠ADP'=∠ADQ=45°，
∴∠P'DQ=∠ADP'+∠ADQ=45°+45°=90°，
∴，
∵，
∴，
∴∠P'AQ=∠PAQ，
在和中，
，
∴，
∴PQ=P'Q，
∴；
（2）解：如图，将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP'，使AB与AD重合，
∴，
∵BP=2，
∴P'D=BP=2，
∵DQ=3，
∴P'Q=5，
由（1）同理可证，
∴，PQ=P'Q=5，
设正方形ABCD的边长为x，
∴AD=CD=BC=x，∠C=∠ADQ=90°，
∴CP=x-2，CQ=x-3，
∴根据勾股定理，得，
∴，
解得：，（舍去），
∴AD=6，
∴，
∴的面积为15；
（3）解：∵AB=3，AD=4，四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，BC=AD=4，∠ABP=∠PCQ=∠ADQ=90°，
设BP=x，DQ=y，则PC=4-x，CQ=3-y，
∵，
∴，
∴要求的面积最小值，只需求xy的最大值即可，
∵，
∴，
当x=y时，等号成立，此时xy取得最大值，
∵0≤x≤4，0≤y≤4，
∴当x=y=3时，xy取得最大值为，
∴的面积最小值为.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得，从而由全等三角形的性质得BP=DP'，AP=AP'，∠BAP=∠P'AD，∠ABP=∠ADP'，然后根据正方形的性质求出∠ABP=∠ADP'=∠ADQ=45°，从而得∠P'DQ=90°，进而利用勾股定理求出，接下来先求出∠P'AQ=∠PAQ，从而证出，根据全等三角形对应边相等得PQ=P'Q，即可得证结论；
（2）将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP'，使AB与AD重合，根据旋转的性质得，从而根据全等三角形对应边相等的性质得P'D=BP=2，进而求出P'Q=5，由（1）同理可证，根据全等三角形的性质得，PQ=P'Q=5，设正方形ABCD的边长为x，由正方形的性质求出AD=CD=BC=x，∠C=∠ADQ=90°，从而得CP=x-2，CQ=x-3，进而根据勾股定理得，解方程求出x的值，即可得AD的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可；
（3）根据矩形的性质得CD=AB=3，BC=AD=4，∠ABP=∠PCQ=∠ADQ=90°，设BP=x，DQ=y，则PC=4-x，CQ=3-y，然后利用三角形面积公式求出，可知要求的面积最小值，只需求xy的最大值，接下来利用完全平方公式，得，从而有当x=y时，等号成立，此时xy取得最大值，根据x、y的取值范围，即有x=y=3时，xy取得最大值，即可求解.
24．【答案】（1）解：∵直线与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，
∴A（0，5），B（10，0），
∵直线与反比例函数的图像交于P、Q，
∴令，
解得：，
∴P（2，4），Q（8，1），
∵，
∴；
（2）解：由（1）得P（2，4），Q（8，1），
∴M点横坐标为8，
设直线OP的表达式为y=mx（m≠0），
将P（2，4）代入表达式得：4=2m，
∴m=2，
∴直线OP的表达式为y=2x，
∴M（8，16），
设N点坐标为（a，b），
∵ 以P，Q，N，M为顶点的四边形为平行四边形 ，
∴当四边形PQMN为平行四边形时，有，
∴，即N（2，19），
∵反比例函数经过点N，
∴k=2×19=38，
∴；
当四边形PQNM为平行四边形时，有，
∴，即N（14，13），
∵反比例函数经过点N，
∴k=14×13=182，
∴；
当四边形PNQM为平行四边形时，有，
∴，即N（2，-11），
∵反比例函数经过点N，
∴k=2×（-11）=-22，
∵k>0，
∴不符合题意，舍去；
又∵O（0，0），P（2，4），Q（8，1），
∴，，，
∴，
∴∠OPQ=90°，即OP⊥PQ，
①时，
当∠QPD=90°时，有D点在直线OP上，
∴令，
解得：，（舍去），
∴；
当∠PQD=90°时，设直线QD的表达式为y=2x+b，
将Q（8，1）代入y=2x+b，得：1=2×8+b，
解得：b=-15，
∴直线QD的表达式为y=2x-15，
∵反比例函数经过点D，
∴令，
解得：（舍去），，
∴；
当∠PDQ=90°时，由反比例函数经过点D可知不存在这样的D点；
②时，
当∠QPD=90°时，同理令，
解得：，（舍去），
∴；
当∠PQD=90°时，同理令，
解得：（舍去），，
∴；
同理当∠PDQ=90°时，不符合题意，舍去；
综上所述，当是直角三角形，符合条件的点D坐标为或或或；
（3）解：设E（m，n），
∴mn=k，
∵EF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，EF、EG分别交反比例函数的图像于H、I两点，
∴，
∵，
∴，
由（2）得或，
∴当时，mn=k=38，
∴，
当时，mn=k=182，
∴，
综上所述，的面积为或.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数-动态几何问题；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出A、B、P、Q的坐标，再由，利用三角形面积公式即可求解；
（2）先求出M点的横坐标为8，然后利用待定系数法求出直线OP的表达式为y=2x，从而得M（8，16），接下来设N点坐标为（a，b），利用平行四边形的性质，进行分来讨论：当四边形PQMN、四边形PQNM、四边形PNQM为平行四边形时，得关于a、b的二元一次方程组，解方程组后即可得N（2，19）或N（14，13），从而有或.利用两点距离公式、勾股定理逆定理得∠OPQ=90°，即OP⊥PQ，然后由是直角三角形，但直角顶点不确定，继续进行分类讨论：①时，当∠QPD=90°时，有D点在直线OP上，根据一次函数、反比例函数的交点问题相关知识求出D点的坐标；当∠PQD=90°时，利用待定系数法求出直线QD的表达式为y=2x-15，同上述求点D的方法去求出D点的坐标；当∠PDQ=90°时，根据题意，可知不存在这样的点D，舍去；②时，同①的方法去求出点D的坐标即可；
（3）设E（m，n），求出mn=k，然后根据题意，得，从而利用三角形面积公式求出，由（2）得或，接下来进行分类讨论，代入mn的值进行计算求解即可.
1 / 1浙江省2024年初中学业水平考试模拟试卷数学（榜眼卷）
1．（2024·浙江模拟）在-1，0，2，-3.5中选一个数与10相加使结果最小，应选（　　）
A．-1 B．0 C．2 D．-3.5
【答案】D
【知识点】有理数的加法法则
【解析】【解答】解：-1+10=9；0+10=10；2+10=12；-3.5+10=6.5；
且12>10>9>6.5
与10相加结果最小的数为-3.5，
故答案为：D.
【分析】将 -1，0，2，-3.5 与10相加的结果进行比较，即可求解.
2．（2024·浙江模拟）如图是一个五金零件，它的主视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】非实心几何体的三视图
【解析】【解答】解： 的主视图为 ，
故答案为：A.
【分析】根据三视图的概念以及作图要求，即可求解.
3．（2024·浙江模拟）转动转盘（如图），指针停留在无理数区域的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】几何概率
【解析】【解答】解：因为总共有6个数，其中无理数有和共两个，
所以 指针停留在无理数区域的概率是
故答案为：B.
【分析】分析得出总共有6个数，其中无理数有2个，再根据概率公式即可求解.
4．（2024·浙江模拟）不等式组的解在数轴上的表示如图所示，则另一个不等式可能为（　　）
A．2x+4<0 B．2x+4≤0 C．2x+4>0 D．2x+4≥0
【答案】C
【知识点】在数轴上表示不等式组的解集；解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：解不等式得，再由数轴可得另一个不等式的解集为x>-2，
这个不等式可能为 2x+4>0 ，
故答案为：C.
【分析】由数轴得到不等式的解集，再结合选项即可求解.
5．（2024·浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=60°，将线段AC绕着点C顺时针旋转20°，点A的对应点D正好在边AB上，则∠B的度数为（　　）
A．40° B．35° C．30° D．25°
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；等腰三角形的性质；旋转的性质
【解析】【解答】解： 将线段AC绕着点C顺时针旋转20°，点A的对应点D正好在边AB上，
AC=CD，
∠CDB=100°，
∠ACB=60°，
故答案为：A.
【分析】由旋转的性质和等腰三角形的性质求得进而得到∠CDB=100°，再根据三角形的内角和定理即可求解.
6．（2024·浙江模拟）一次函数y=（k+2）x+5与二次函数y=3x2+4的交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．不确定
【答案】C
【知识点】二次函数与一次函数的图象共存判断
【解析】【解答】解：由题意联立方程组可得，
解方程组得
方程组有两个解，
一次函数与二次函数 y=3x2+4 有两个交点，
故答案为：C.
【分析】联立方程组，利用即可求解.
7．（2024·浙江模拟）某商场销售两种亚运会吉祥物纪念章，已知A种纪念章买两盒送一盒，每盒62元；B种纪念章打九折，原价每盒90元，东东需要的3盒A种纪念章和2盒B种纪念章共需（　　）
A．366元 B．348元 C．286元 D．304元
【答案】C
【知识点】有理数的加法实际应用
8．（2024·浙江模拟）如图，D是△ABC的边AB上一点，且AD：DB=2：1，过点D作DE//BC，交AC于点E，取线段AE的中点F，连结DF.若DF=4，则△ABC中AC边上的中线长为（　　）
A．2 B．6 C．7 D．8
【答案】B
【知识点】平行线的性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解： AD：DB=2：1，
AD：AB=2：3，
DE//BC，
点F是线段AE的中点 ，
取AC的中点G，如图，连接BG，
可得
△ABC中AC边上的中线长为，
故答案为：B.
【分析】先判定得到进而得到取AC的中点G，如图，连接BG，再判定利用相似三角形的性质代入数据计算即可求解.
9．（2024·浙江模拟）如图，A，B，C依次是残破镜子上的三个点，弓形的弦AC的长为3cm，∠ABC=120°，则这个镜子的直径长为（　　）
A．2cm B．4cm C．cm D．cm
【答案】B
【知识点】圆周角定理；圆内接四边形的性质；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：设这个圆的圆心为O，连接AO并延长交圆O于点D，如图，
AD是圆O的直径，
∠ABC=120°，
在Rt△ADC中，3cm，
即
这个镜子的直径长为 4，
故答案为：B.
【分析】设这个圆的圆心为O，连接AO并延长交圆O于点D，利用圆周角定理求得再由圆内接四边形的性质求得最后利用特殊角的三角函数值即可求解.
10．（2024·浙江模拟）如图，在直角梯形ABCD中，AB=AD=6，BC=14，E为AB的中点，F为线段BC上的动点，连结FE，将△BEF沿EF折叠得到△GEF.在点F从点B运动到点C的过程中，若射线FG与上底AD相交于点P，则点P相应运动的路径长 为
A． B．5 C．5.4 D．
【答案】D
【知识点】三角形全等及其性质；直角三角形全等的判定-HL；翻折变换（折叠问题）；解直角三角形
【解析】【解答】解： 在直角梯形ABCD中，AB=AD=6，BC=14，E为AB的中点，
F为线段BC上的动点，连结FE，将△BEF沿EF折叠得到△GEF.
当点P与点D重合时，如图，
在点F从点B运动到点C的过程中，射线FG与梯形的上底AD相交于点P，则当F与点C重合时，PD的长为点P相应运动的路径长，
这时，GC=BC=14，连接BE，如图，
在Rt△PEG与Rt△PEA中，
Rt△PEGRt△PEA（HL），
GP=AP，∠PEG=∠PEA，
由折叠可得：∠CEG=∠CEB，
∠PEG+∠CEG=
∠PEC=90°，
∠EPG+∠PEG=90°，
∠EPG=∠CEG，
tan∠EPG=tan∠CEG，
，
故答案为：D.
【分析】先证明Rt△PEGRt△PEA（HL），得到PG=AP，∠PEG=∠PEA，再根据折叠的性质得到∠PEC=90°，则∠EPG=∠CEG，再根据tan∠EPG=tan∠CEG，列出比列式，求得PG的值，最后根据线段的和差关系即可求解.
11．（2024·浙江模拟）因式分解：m2-9=　 　
【答案】（m+3）（m-3）
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解： m2-9= m2-32= （m+3）（m-3） ；
故答案为： （m+3）（m-3） .
【分析】原式变形后符合a2-b2形式，根据平方差公式直接分解因式即可。
12．（2024·浙江模拟）若扇形的弧长为5π，圆心角为50°，则它的半径为　 　
【答案】18
【知识点】弧长的计算
【解析】【解答】解：由弧长公式可得，
解得r=18，
故答案为18.
【分析】直接利用弧长公式将已知条件代入即可求解.
13．（2024·浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，点E在线段AD上，AD=4AE.连结AC，BE，二者相交于点F，连结BD，与AC相交于点G，则FG=　 　
【答案】
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：AD=4，且AD=4AE，
AE=1，
四边形ABCD是矩形，
AD∥BC，
即
设AF=x，则CF=4x，
AC=AF+CF=x+4x=5，
x=1，
AF=1，CF=4，
AD∥BC，
∠ADG=∠GBC，
∠AGD=∠CGB，AB=BC，
AG=CG，
FG=CF-CG=
FG
故答案为：.
【分析】利用矩形的性质先证明由相似三角形的性质求得再利用勾股定理求得AC的值，设AF=x，则CF=4x，由线段和差关系求得AF，CF的值，再证明，根据全等三角形的性质即可求解.
14．（2024·浙江模拟）如图所示为凸透镜成像示意图，CD是蜡烛AB通过凸透镜MN所成的虚像.已知蜡烛的高AB为4.8cm，蜡烛AB离凸透镜MN的水平距离OB为6cm，该凸透镜的焦距OF为10cm，AE//OF，OF=OF，则像CD的高为　 　cm.
【答案】12
【知识点】相似三角形的应用
【解析】【解答】解：根据题意，得AB∥CD，AB=4.8，AE=OB=6，OF=10，
∴，
∴，即，
∵AE∥OF，
∴，
∴，
∵OF=OF'，
∴OF'=OF=10，
∴，
∴，
∴CD=12
故答案为：12.
【分析】由题意得AB∥CD，AB=4.8，AE=OB=6，OF=10，从而证出，根据相似三角形对应边成比例得，即，然后由AE∥OF证出，根据相似三角形对应边成比例得，进而有，最后解出CD的值.
15．（2024·浙江模拟）如图，点P从正八边形的顶点A出发，沿着正八边形的边顺时针方向走，第1次走1条边长到点H，第2次走2条边长到点F，3次走3条边长到点C……以此类推，第50次走到顶点　 　
【答案】F
【知识点】探索规律-图形的循环规律
【解析】【解答】解：根据题意，得第50次总共走的边数为：（条），
∵八边形ABCDEFGH是正八边形，
∴每走8条边回到A点，
∴1275÷8=159......3，
∴第50次走到顶点F，
故答案为：F.
【分析】先求出第50次走的总边数为1275条，然后根据正八边形的性质可知每每走8条边回到A点，从而根据规律求出走1275条边是绕八边形159圈后再走3条边，即可求出第50次走到顶点F.
16．（2024·浙江模拟）如图2是东东用图1中的七巧板拼成的数字5，A，B，C均是七巧板中直角三角形和正方形的顶点，连结AB，AB与BC的夹角为α，则tanα的值是　 　
【答案】
【知识点】正方形的性质；相似三角形的判定；等腰直角三角形；求正切值；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：设图1中小正方形的边长为1，则其余各图形的边长如下图，在图2中，过点B作BD⊥AD，交AD延长线于D，过点M作MN⊥BD于N，
∴∠D=90°，易证四边形BCMN、DIGN为矩形，
∴MN=BC=2，DN=GI，DI=NG，BN=MC，
根据题意，得GH=HE=AF=2，，，CK=GP=PM=1，∠EFA=∠GEH=45°，∠GPM=45°+45°=90°，
∴，AD∥HE，，
∴，∠BAD=α，
∴，即，
∴GI=IF=DN=1，
∵BN=MC，，CK=1，
∴，
∴，
∵，MN=2，
∴，
∴，
∴，
故答案为：.
【分析】设图1中小正方形的边长为1，然后利用正方形的性质、等腰直角三角形的性质对图1其余各图的边长标上数据，接下来在图2中过点B作BD⊥AD，交AD延长线于D，过点M作MN⊥BD于N，易证易证四边形BCMN、DIGN为矩形，利用矩形的性质得MN=BC=2，DN=GI，DI=NG，BN=MC，根据题意得GH=HE=AF=2，，，CK=GP=PM=1，∠EFA=∠GEH=45°，∠GPM=90°，从而有，AD∥HE，，进而证出，∠BAD=α，利用相似三角形对应边成比例的性质得，从而求出GI=IF=DN=1，然后求BN的长，从而得BD的长，接下来求DI=NG的长，从而得AD的长，最后利用正切的定义，代入数值进行计算即可.
17．（2024·浙江模拟）如图是小明一道题的计算过程：
（1）请用下划线划出小明计算出错的地方.
（2）请写出正确的计算过程.
【答案】（1）解：如图所示；
（2）解：
.
【知识点】实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】（1）观察计算过程，可知（-2）2应为4，sin30°应为，在此出错的地方画上下划线即可；
（2）利用乘方、绝对值、特殊角的三角函数、算术平方根先进行化简，最后进行加减运算即可.
18．（2024·浙江模拟）如图，在6×6的方格纸中，点A，B均在格点上，试按要求画出相应的格点图形（每小题只需画一个）.
（1）在图1中作一条线段，使它与AB互相垂直平分.
（2）在图2中作一个△ABC，使它是轴对称图形，且符合S△ABC=5.
【答案】（1）解：如图，线段CD即为所求；
（2）解：如图，即为所求.
【知识点】三角形的面积；菱形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】（1）利用菱形的对角线互相垂直平分，找两个点C、D，使四边形ACBD是菱形即可；
（2）根据题意可知，利用等腰直角三角形的性质，故找一个点C，使为等腰直角三角形即可.
19．（2024·浙江模拟）在平面直角坐标系中，已知一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，经过点B的抛物线y2=x2+bx+c的顶点C在线段AB上（不包括点B）.
（1）求b，c的值
（2）当时，请直接写出x的取值范围.
【答案】（1）解：∵一次函数与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，
∴A（6，0），B（0，8），
设直线AB的表达式为y=kx+m（k≠0），则：，
解得：，
∴直线AB的表达式为，
将B（0，8）代入 y2=x2+bx+c，得c=8，
∴抛物线的表达式为y2=x2+bx++8，
∴抛物线的顶点坐标为，代入，得，
整理得：3b2+8b=0，
解得：，，
∵顶点C在线段AB上，但不包括点B，
∴不符合题意，舍去，即b的值为，
∴b，c的值分别为，8；
（2）解：由（1）得，，
∴化为，即，
令，
∴当时，有或，
∴当时，x的取值范围是或.
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【分析】（1）先求点A、B的坐标，然后利用待定系数法求出直线AB的表达式为，接下来将B点坐标代入抛物线的表达式得c的值，从而得抛物线的表达式为y2=x2+bx++8，根据二次函数的顶点坐标公式得，代入直线AB的表达式得关于b的一元二次方程，解方程求出b的值，注意根据题意将所求b的值进行取舍；
（2）由（1）将转化为，然后令，接下来利用二次函数的性质得当时，有或，即可求解.
20．（2024·浙江模拟）为了落实“双减”政策.某校进行了课时作业分层设计课题研究，分别在A，B，C三个班开展比对实验.A班没有开展分层作业设计，B班开展“好、差”两层分层设计，C班开展“好、中、差”三层分层及个别学生特殊布置设计.一段时间后对实验前、后开展的前测和后测（难度、题型、总分相同的试卷，满分100分）数据进行整理比对，如表1和表2.
表1 前测数据
测试分数x 0A班（常态班） 28 9 9 3 1
B班（实验班） 25 10 8 2 1
C班（实验班） 26 9 8 1 　
表2 后测数据
测试分数x 0<1≤60 60A班（常态班） 14 16 12 6 2
B班（实验班） 6 8 11 18 3
C班（实验班） 4 6 9 22 5
（1）请选择一种适当的统计量，分别比较A，B，C三个班的后测数据
（2）通过分析前测、后测数据，请对该校开展的课时作业分层设计实验效果进行评价.
【答案】（1）解：根据题意，得A班的总人数为：14+16+12+6+2=50（人），
B班的总人数为：6+8+11+18+3=46（人），
C班的总人数为：4+6+9+22+5=46（人），
∴从中位数看，A班中位数在60＜x≤70这一范围，B班中位数在70∴A，B，C三个班的成绩从好到差分别为：C班，B班，A班；
（2）解：根据题意，得前测数据这三个班成绩中位数都在0＜x≤60这一范围，
由（1）得后测数据这三个班成绩中位数分别为：A班中位数在60＜x≤70这一范围，B班中位数在70∴可知这三个班后测成绩相对前测成绩来说都有提升，但C班成绩的提升比较快，
∴C班开展“好、中、差”三层分层及个别学生特殊布置设计的教学方法比较好.
【知识点】统计表；常用统计量的选择
【解析】【分析】（1）先求出A、B、C三个班各班的总人数，然后从中位数去看，可知这三个班中位数所在的范围，从而得出这三个班的成绩情况；
（2）先求出前测数据这三个班成绩的中位数，再与后测数据这三个班成绩的中位数进行比较，即可求解.
21．（2024·浙江模拟）如图1是一手机直摇专用支架，AB为立杆，其高为100cm，BC为支杆，它可绕点B旋转，其中BC长为30cm，CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度.
（1）如图2，当支杆BC与地面亚直，悬杆CD与支杆BC之间的夹角∠BCD=60°且CD的长为30cm时，求手机怒挂点D距离地面的高度.
（2）在图⒉所示的状态下，将支杆 BC绕点B顺时针旋转20°，将悬杆绕点C顺时针旋转，使得∠BCD=140°，同时调节CD的长（如图3），此时测得手机悬挂点D到地面的距离为140 cm，求CD的长（结果精确到1cm，参考数据： sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36，sin 40°≈0.64，cos 40°≈0.77，tan 40°≈0.84）.
【答案】（1）解：如图，过点D作DE⊥AE于E，DF⊥AC于F，
∴∠DFC=∠DFA=∠AED=∠FAE=90°，
∴四边形AEDF是矩形，
∴DE=AB，
∵∠BCD=60°，
∴∠CDF=30°，
∵CD=30，
∴，
∵BC=30，
∴BF=BC-CF=15，
∵AB=100，
∴DE=AF=AB+BF=100+15=115，
∴点D距离地面的高度为115cm；
（2）解：如图，过点D作DE⊥AE于E，过点C作CG⊥DE于G，延长GC交AB延长线于F，
∴∠DGC=∠FGE=∠AEG=∠EAF=90°，
∴四边形AEGF是矩形，
∴AF=GE，∠F=90°，
根据题意，得DE=140，BC=30，AB=100，∠CBF=20°，∠BCD=140°，
∴∠BCF=90°-20°=70°，
∴∠DCF=360°-140°-70°=150°，
∴∠DCG=180°-150°=30°，
∴2DG=CD，
设DG=x，则CD=2x，
∴AF=GE=140-x，
∴BF=AF-AB=140-x-100=40-x，
在中，，
解得：x≈11.8，
∴CD=2x≈2×11.8≈24，
∴CD的长约为24cm.
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）过点D作DE⊥AE于E，DF⊥AC于F，易证四边形AEDF是矩形，利用矩形的性质得DE=AB，然后求出∠CDF=30°，根据含30°的直角三角形的性质得CF的值，从而求出BF的值，进而求DE=AF=AB+BF的值；
（2）过点D作DE⊥AE于E，过点C作CG⊥DE于G，延长GC交AB延长线于F，易证四边形AEGF是矩形，根据矩形的性质得AF=GE，∠F=90°，然后根据题意求出∠DCG=30°，从而利用含30°的直角三角形的性质得ADG=CD，设DG=x，则CD=2x，从而求出AF=GE=140-x，进而求出BF=40-x，接下来在中，解直角三角形得关于x的方程，解方程求出x的值，从而得CD的值，注意把结果精确到1cm即可.
22．（2024·浙江模拟）已知AB，CD是圆o的内接四边形ACBD的两条对角线，AB，CD相交于点M，且AB=CD.
（1）如图1，求证：BM=DM.
（2）在图1中找出一组全等的三角形，并给出证明.
（3）如图2，圆O的半径为5，弦CD⊥AB于点P，当△CBP的面积为3.5时，求AB的长.
【答案】（1）证明：∵AB=CD，
∴，
∴，
∴，
∴∠ABD=∠CDB，
∴BM=DM；
（2）解：，证明如下：
由（1）得∠ABD=∠CDB，
在和中，
，
∴；
（3）解：如图，过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OC，
∴∠OEP=∠OFP=90°，，
∵CD⊥AB，
∴∠EPF=∠OEP=∠OFP=90°，
∴四边形OEPF是矩形，
∴PF=OE，
由（1）同理可证BP=DP，
∵AB=CD，
∴AP=CP，
设AP=CP=x，BP=DP=y，
∴AB=CD=x+y，
∴，，
∴，
∵圆O的半径为5，即OC=5，
∴在中，，
∴，
整理得：，
∵，
∴xy=7，
∴，
∴AB=x+y=8，即AB的长为8.
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定；垂径定理；圆周角定理；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据AB=CD得，从而求出，由圆周角定理得∠ABD=∠CDB，进而根据”等角对等边“得证结论；
（2）由（1）得∠ABD=∠CDB，然后利用全等三角形判定定理”SAS“证出；
（3）过点O作OE⊥CD于E，OF⊥AB于F，连接OC，然后根据垂径定理证出、∠EPF=∠OEP=∠OFP=90°，从而证出四边形OEPF是矩形，进而由矩形的性质得PF=OE，接下来由（1）同理可证BP=DP，从而得AP=CP，进而设AP=CP=x，BP=DP=y，则AB=CD=x+y，求出、，利用勾股定理得，有，利用三角形面积公式得，则xy=7，最后利用完全平方公式求出，即可得AB=8.
23．（2024·浙江模拟） 如图1，在正方形ABCD中， ∠PAQ=∠BAD，∠PAQ的边分别与对角线BD相交于点P，Q，请说明BP2+DQ2=PQ.2
（1）尝试解决：小明给出了以下思路：将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP ，使AB与AD重合，连结QP'，请帮小明完成解题过程.
（2）类比探究：如图2，在正方形内作∠PAQ=45°，使AP与BC相交于点P，AQ与DC相交于点Q，连结PQ.已知BP=2，DQ=3，求△APQ的面积.
（3）拓展应用：如图3，在长方形ABCD中，AB=3，AD=4，P是BC上一点Q是CD上一点，连结PQ，求△APQ的面积的最小值.
【答案】（1）解：如图，
∵将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP'，使AB与AD重合，
∴，
∴BP=DP'，AP=AP'，∠BAP=∠P'AD，∠ABP=∠ADP'，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABP=∠ADP'=∠ADQ=45°，
∴∠P'DQ=∠ADP'+∠ADQ=45°+45°=90°，
∴，
∵，
∴，
∴∠P'AQ=∠PAQ，
在和中，
，
∴，
∴PQ=P'Q，
∴；
（2）解：如图，将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP'，使AB与AD重合，
∴，
∵BP=2，
∴P'D=BP=2，
∵DQ=3，
∴P'Q=5，
由（1）同理可证，
∴，PQ=P'Q=5，
设正方形ABCD的边长为x，
∴AD=CD=BC=x，∠C=∠ADQ=90°，
∴CP=x-2，CQ=x-3，
∴根据勾股定理，得，
∴，
解得：，（舍去），
∴AD=6，
∴，
∴的面积为15；
（3）解：∵AB=3，AD=4，四边形ABCD是矩形，
∴CD=AB=3，BC=AD=4，∠ABP=∠PCQ=∠ADQ=90°，
设BP=x，DQ=y，则PC=4-x，CQ=3-y，
∵，
∴，
∴要求的面积最小值，只需求xy的最大值即可，
∵，
∴，
当x=y时，等号成立，此时xy取得最大值，
∵0≤x≤4，0≤y≤4，
∴当x=y=3时，xy取得最大值为，
∴的面积最小值为.
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；正方形的性质；旋转的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据旋转的性质得，从而由全等三角形的性质得BP=DP'，AP=AP'，∠BAP=∠P'AD，∠ABP=∠ADP'，然后根据正方形的性质求出∠ABP=∠ADP'=∠ADQ=45°，从而得∠P'DQ=90°，进而利用勾股定理求出，接下来先求出∠P'AQ=∠PAQ，从而证出，根据全等三角形对应边相等得PQ=P'Q，即可得证结论；
（2）将△ABP绕点A逆时针旋转90°得到△ADP'，使AB与AD重合，根据旋转的性质得，从而根据全等三角形对应边相等的性质得P'D=BP=2，进而求出P'Q=5，由（1）同理可证，根据全等三角形的性质得，PQ=P'Q=5，设正方形ABCD的边长为x，由正方形的性质求出AD=CD=BC=x，∠C=∠ADQ=90°，从而得CP=x-2，CQ=x-3，进而根据勾股定理得，解方程求出x的值，即可得AD的值，最后利用三角形面积公式进行求解即可；
（3）根据矩形的性质得CD=AB=3，BC=AD=4，∠ABP=∠PCQ=∠ADQ=90°，设BP=x，DQ=y，则PC=4-x，CQ=3-y，然后利用三角形面积公式求出，可知要求的面积最小值，只需求xy的最大值，接下来利用完全平方公式，得，从而有当x=y时，等号成立，此时xy取得最大值，根据x、y的取值范围，即有x=y=3时，xy取得最大值，即可求解.
24．（2024·浙江模拟）如图，直线与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，与反比例函数的图象相交于P、Q两点，郭点Q作x轴的垂线，垂足为C，连结OQ，OP并延长OP，与直线QC相交于点M.在第一象限找点N，使以P，Q，N，M为顶点的四边形为平行四边形，反比例函数经过点n.
（1）求 的面积.
（2）在反比例函数 的图象上找点 ， 使 是直角三角形， 求出符合要求的点 的坐标.
（3）如图 2， 在反比例函数 的图象上有一点 轴于点 轴于点 G， E F， E G$ 分别交反比例函数 的图象于 H、 I两点，求 的面积.
【答案】（1）解：∵直线与y轴相交于点A，与x轴相交于点B，
∴A（0，5），B（10，0），
∵直线与反比例函数的图像交于P、Q，
∴令，
解得：，
∴P（2，4），Q（8，1），
∵，
∴；
（2）解：由（1）得P（2，4），Q（8，1），
∴M点横坐标为8，
设直线OP的表达式为y=mx（m≠0），
将P（2，4）代入表达式得：4=2m，
∴m=2，
∴直线OP的表达式为y=2x，
∴M（8，16），
设N点坐标为（a，b），
∵ 以P，Q，N，M为顶点的四边形为平行四边形 ，
∴当四边形PQMN为平行四边形时，有，
∴，即N（2，19），
∵反比例函数经过点N，
∴k=2×19=38，
∴；
当四边形PQNM为平行四边形时，有，
∴，即N（14，13），
∵反比例函数经过点N，
∴k=14×13=182，
∴；
当四边形PNQM为平行四边形时，有，
∴，即N（2，-11），
∵反比例函数经过点N，
∴k=2×（-11）=-22，
∵k>0，
∴不符合题意，舍去；
又∵O（0，0），P（2，4），Q（8，1），
∴，，，
∴，
∴∠OPQ=90°，即OP⊥PQ，
①时，
当∠QPD=90°时，有D点在直线OP上，
∴令，
解得：，（舍去），
∴；
当∠PQD=90°时，设直线QD的表达式为y=2x+b，
将Q（8，1）代入y=2x+b，得：1=2×8+b，
解得：b=-15，
∴直线QD的表达式为y=2x-15，
∵反比例函数经过点D，
∴令，
解得：（舍去），，
∴；
当∠PDQ=90°时，由反比例函数经过点D可知不存在这样的D点；
②时，
当∠QPD=90°时，同理令，
解得：，（舍去），
∴；
当∠PQD=90°时，同理令，
解得：（舍去），，
∴；
同理当∠PDQ=90°时，不符合题意，舍去；
综上所述，当是直角三角形，符合条件的点D坐标为或或或；
（3）解：设E（m，n），
∴mn=k，
∵EF⊥x轴于点F，EG⊥y轴于点G，EF、EG分别交反比例函数的图像于H、I两点，
∴，
∵，
∴，
由（2）得或，
∴当时，mn=k=38，
∴，
当时，mn=k=182，
∴，
综上所述，的面积为或.
【知识点】三角形的面积；平行四边形的性质；反比例函数-动态几何问题；直角三角形的判定
【解析】【分析】（1）先求出A、B、P、Q的坐标，再由，利用三角形面积公式即可求解；
（2）先求出M点的横坐标为8，然后利用待定系数法求出直线OP的表达式为y=2x，从而得M（8，16），接下来设N点坐标为（a，b），利用平行四边形的性质，进行分来讨论：当四边形PQMN、四边形PQNM、四边形PNQM为平行四边形时，得关于a、b的二元一次方程组，解方程组后即可得N（2，19）或N（14，13），从而有或.利用两点距离公式、勾股定理逆定理得∠OPQ=90°，即OP⊥PQ，然后由是直角三角形，但直角顶点不确定，继续进行分类讨论：①时，当∠QPD=90°时，有D点在直线OP上，根据一次函数、反比例函数的交点问题相关知识求出D点的坐标；当∠PQD=90°时，利用待定系数法求出直线QD的表达式为y=2x-15，同上述求点D的方法去求出D点的坐标；当∠PDQ=90°时，根据题意，可知不存在这样的点D，舍去；②时，同①的方法去求出点D的坐标即可；
（3）设E（m，n），求出mn=k，然后根据题意，得，从而利用三角形面积公式求出，由（2）得或，接下来进行分类讨论，代入mn的值进行计算求解即可.
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