2024-2025学年北京市朝阳区对外经贸易大学附中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京市朝阳区对外经贸易大学附中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共3小题，每小题5分，共15分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，且，，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
2.将边长为的正方形沿对角线折起，折起后点记为若，则四面体的体积为( )
A. B. C. D.
3.已知等差数列的前项和为，公差为，则“有最大值”是“”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
二、填空题：本题共7小题，每小题5分，共35分。
4.在中，，则的面积为______．
5.若函数的部分图象如图所示，则的值是______．
6.已知是第一象限角，且角，的终边关于轴对称，则 _____．
7.如图，在某个海域，一艘渔船以海里时的速度，沿方位角为的方向航行，行至处发现一个小岛在其东偏南方向，半小时后到达处，发现小
岛在其东北方向，则处离小岛的距离为______海里．
8.已知的面积为，则 ______．
9.已知平面向量，，，正实数，满足，与的夹角为，且，则的最小值为______．
10.陀螺是中国民间的娱乐工具之一，早期陀螺的形状由同底的一个圆柱和一个圆锥组合而成如图已知一木制陀螺模型内接于一表面积为的球，其中圆柱的两个底面为球的两个截面，圆锥的顶点在该球的球面上，若圆柱的高为，则该圆柱的侧面积为______，该陀螺的体积为______．
三、解答题：本题共3小题，共50分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
11.本小题分
在中，．
求；
若，从下列三个条件中选出一个条件作为已知，使得存在且唯一确定，求的面积．
条件：；
条件：；
条件：．
12.本小题分
如图，六面体是直四棱柱被过点的平面所截得到的几何体，底面，底面是边长为的正方形，，，．
Ⅰ求证：；
Ⅱ求平面与平面的夹角的余弦值；
Ⅲ在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
13.本小题分
已知函数．
Ⅰ求曲线在处的切线方程；
Ⅱ求的最小值；
Ⅲ设，已知，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.．
10.
11.解：因为，
则由正弦定理可得，，
又因为，所以，
又因为为的内角，
所以或；
若选择：因为，且，
所以，
所以，
又因为，，
所以，
所以；
若选择：因为，，，
所以，则，
所以，则为等腰直角三角形，
所以；
若选择：因为，，，
所以，
由余弦定理可得，，
当时，，即，解得；
当时，，即，解得；
此时不唯一，不合题意．
12.Ⅰ证明：连接，直四棱柱，，则点在平面内，
因为平面，且平面，所以，
又底面为正方形，所以，
又，所以平面，
平面，所以；
Ⅱ解：因为平面，，平面，所以，，
又底面为正方形，所以，建立空间直角坐标系，如图所示：
则，，，
所以，，
设平面的一个法向量为，则，
即，令，则，，所以；
因为平面，所以是平面的一个法向量；
设平面与平面的夹角为，则，，
所以平面与平面的夹角余弦值为；
Ⅲ解：存在一点使得平面，此时，理由如下：
设，，则，
线段上存在一点，使得平面，等价于，
即，解得，
所以．
13.解：由题意得，
，又，
故曲线在处的切线方程为；
Ⅱ令，得，令得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
当时，取得最小值，最小值为；
Ⅲ，
，
，
在上单调递增，，
时，函数取得极小值即最小值，，
，
函数在上单调递增，，
时，成立．
时，，此时函数单调递减，因此，而，可得．
综上可得：．
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