2024-2025学年浙江省新阵地教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷（含答案）

2024-2025学年浙江省新阵地教育联盟高三（上）第一次联考数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知平面向量，则( )
A. B. C. D.
3.在的展开式中，含的项的系数为( )
A. B. C. D.
4.在中，内角，，的对边分别是，，，已知，则( )
A. 或 B. 或 C. D.
5.函数与的图象的交点个数是( )
A. B. C. D.
6.若随机变量，则下列选项错误的是( )
A. B. C. D.
7.如图，在四棱锥中，底面为菱形，底面，为对角线与的交点，若，则三棱锥的外接球的体积为( )
A.
B.
C.
D.
8.北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有个小球，第二层有个小球，第三层有个小球依此类推，最底层有个小球，共有层现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共层，小球总个数为，则该垛积的第一层的小球个数为( )
A. B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某地区家超市销售额单位：万元与广告支出单位：万元有如下一组数据：
超市
广告支出万元
销售额万元
下列说法正确的是( )
参考公式：样本相关系数
A. 根据表中数据计算得到与之间的经验回归方程为，则
B. 与之间的样本相关系数
C. 若残差的平方和越小，则模型的拟合效果越好
D. 若该地区某超市的广告支出是万元，则该超市的销售额一定是万元
10.已知、分别是双曲线：的左右焦点，点是圆上的动点，下列说法正确的是( )
A. 三角形的周长是
B. 若双曲线与双曲线有相同的渐近线，且双曲线的焦距为，则双曲线为
C. 若，则的位置不唯一
D. 若是双曲线左支上一动点，则的最小值是
11.已知增函数的定义域为正整数集，的取值也为正整数，且满足，下列说法正确的是( )
A. B.
C. D. 对任意正整数，都有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知复数，则 ______．
13.已知是等差数列的前项和，若，则 ______．
14.甲乙两人进行一场抽卡游戏，规则如下：有编号，，，，，，的卡片各张，两人轮流从中不放回的随机抽取张卡片，直到其中人抽到的卡片编号之和等于或者所有卡片被抽完时，游戏结束若甲先抽卡，求甲抽了张卡片时，恰好游戏结束的概率是______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知数列的首项，且满足．
求证：数列为等比数列，并求出数列的通项公式；
若，求满足条件的最大整数．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，底面是正方形，．
若，是中点，证明：；
若，求平面与平面所成角的正切值．
17.本小题分
平面内有一点和直线：，动点满足：到点的距离与到直线的距离的比值是点的运动轨迹是曲线，曲线上有、、、四个动点．
求曲线的方程；
若在轴上方，，求直线的斜率；
若、都在轴上方，，直线，求四边形的面积的最大值．
18.本小题分
已知函数，其中，是实数．
若，求的单调区间；
若函数不具有单调性，求实数的取值范围；
若恒成立，求的最小值．
19.本小题分
正整数集，其中，将集合拆分成个三元子集，这个集合两两没有公共元素若存在一种拆法，使得每个三元子集中都有一个数等于其他两数之和，则称集合是“三元可拆集”．
若，，判断集合是否为“三元可拆集”，若是，请给出一种拆法；若不是，请说明理由；
若，，证明：集合不是“三元可拆集”；
若，是否存在使得集合是“三元可拆集”，若存在，请求出的最大值并给出一种拆法；若不存在，请说明理由．
参考答案
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15.证明：由，得，
又，数列是以为首项，为公比的等比数列，
得，
则；
解：由知，
，
记，则，
单调递增，
当时，，不符合；
当时，，符合题意．
故的最大值为．
16.证明：，是中点，
，
平面平面，，
平面，
平面，，
又与是平面内的两条相交直线，
平面，
；
解法一：坐标法过作于，
平面平面，平面，
以为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则，
不妨取平面的一个法向量为，
，
设平面的一个法向量为，
则由，，有，
令，解得，
所以平面的一个法向量为，
则，
设平面与平面所成的角为，
，即平面与平面所成角的正切值是；
解法二：几何法记平面与平面的交线为，
平面，平面，
，即直线，，两两平行，
又平面平面，
平面与平面所成角与二面角的平面角互余，
过作于，
平面平面，平面，
过点作于，连接，
是二面角的平面角，
平面与平面所成角的正切值为，
又，
，
即平面与平面所成角的正切值是．
17.解：由题意，
两边平方得，整理得，
所以曲线的方程为；
因为在轴上方，且，即，
如图可知直线的斜率是正数，
设：，设，，
联立，消去得，
所以，
由题意知，
代入，，消，可得，
所以，解得舍去负值，
所以直线的斜率是；
延长，交椭圆于点，
，由对称性可知，和等底等高，所以，
四边形的面积，
设：，由知，
所以，即，
令，所以，
当且仅当即时，取到最大值，此时、分别在、正上方．
18.解：当时，，
，
令，解得，
令，解得；令，解得．
在单调递增，单调递减．
函数的图象是连续的，且不具有单调性，
在定义域内有正有负有异号零点，
令，
则在为负，为正，
在单调递减，单调递增，
由存在，使得，
只需，即．
．
对任意都成立，
而当时，，
因此只要证明：能成立即可得出结论，即证：存在，使得恒成立，
令，，故F必要性，
而，由，解得，
只需证：恒成立，
，由知，其在单调递减，单调递增，
在为正，在为负，在为负，
在单调递增，单调递减，
时，函数取得极大值即最大值，
，
因此能成立．
综上可得：的最小值为．
19.解：是，，
可拆成、、或、、；
证明：对于“三元可拆集”，其每个三元子集的元素之和为偶数，
则“三元可拆集”中所有元素和为偶数；
又因为，
所以中所有元素和为，与和为偶数矛盾，
所以集合不是“三元可拆集”；
存在，理由如下：
有个元素，可以拆成个三元子集，
将这个三元子集中的最大的数依次记为，，，，，
则
；
另一方面，中所有元素和为，
所以，
所以，解得，
又，所以；
当时，，
故可拆为、、
、、、、、、
、、、、、、
，拆法不唯一；
综上所述，的最大值是．
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