2024-2025学年北京二中高三（上）月考数学试卷（10月份）（含答案）

2024-2025学年北京二中高三（上）月考数学试卷（10月份）
一、单选题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B.
C. D.
2.记等差数列的前项和为，已知，，则( )
A. B. C. D.
3.已知边长为的正方形中，点，分别为，的中点，则( )
A. B. C. D.
4.在复平面上，复数所对应的点在第二象限，则实数的值可以为( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.“”是“为第一或第三象限角”的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
7.在中，内角，，的对边分别为，，，满足，则的最大值为( )
A. B. C. D.
8.分贝、奈培均可用来量化声音的响度，其定义式分别为，，其中为待测值，为基准值如果，那么参考数据：
A. B. C. D.
9.已知函数的定义域为，存在常数，使得对任意，都有，当时，若在区间上单调递减，则的最小值为( )
A. B. C. D.
10.设函数图象上不同两点，处的切线的斜率分别是，，规定
为线段的长度叫做曲线在点与点之间的“弯曲度”，给出以下命题，其中错误
的是( )
A. 函数图象上两点与的横坐标分别为和，则
B. 存在这样的函数，其图象上任意不同两点之间的“弯曲度”为常数
C. 设，是抛物线上不同的两点，则
D. 设，是曲线是自然对数的底数上不同的两点，，则
二、填空题：本题共5小题，每小题5分，共25分。
11.展开式中含项的系数是______．
12.已知双曲线的渐近线与圆相切，则双曲线的离心率为______．
13.已知函数的部分图象如图所示．
函数的最小正周期为______；
将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象若函数为奇函数，则的最小值是______．
14.已知函数，且若两个不等的实数，满足且，则 ______．
15.已知函数，给出下列结论：
函数的值域为；
函数在上是增函数；
对任意，方程在内恒有解；
若存在，，使得成立，则实数的取值范围是．
其中所有正确结论的序号是______．
三、解答题：本题共6小题，共85分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.本小题分
已知函数且满足_____．
在下列三个条件中任选一个，并解答问题
函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为；
函数的图象相邻两个最大值之间的距离为；
已知，，且的最小值为．
Ⅰ求函数的对称中心坐标；
Ⅱ求函数在上的单调递减区间．
17.本小题分
为了迎接北京冬奥会，弘扬奥林匹克精神，某学校组织全体高一学生开展了冬奥知识竞赛活动．从参加该活动的学生中随机抽取了名学生的竞赛成绩，数据如下表：
男生
女生
Ⅰ从抽出的男生和女生中，各随机选取一人，求男生成绩高于女生成绩的概率；
Ⅱ从该校的高一学生中，随机抽取人，记成绩为优秀分的学生人数为，求的分布列和数学期望；
Ⅲ表中男生和女生成绩的方差分别记为，，现在再从参加活动的男生中抽取一名学生，成绩为分，组成新的男生样本，方差计为，试比较、、的大小．只需写出结论
18.本小题分
如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，是中点．
Ⅰ证明：平面．
Ⅱ求二面角的平面角的余弦值．
Ⅲ在侧棱上是否存在点，使得平面，若存在试求出，若不存在，请说明理由．
19.本小题分
已知函数的图象在点处的切线与直线垂直．
Ⅰ求实数的值；
Ⅱ若存在，使得恒成立，求的最大值．
20.本小题分
已知椭圆：的离心率为，点在上．
Ⅰ求椭圆的方程；
Ⅱ过点且斜率为的直线交椭圆于，两点，试用含的代数式表示；
Ⅲ在Ⅱ的条件下，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，证明：线段的中点在定直线上．
21.本小题分
已知为正整数，数列：，，，，记，对于数列，总有，，，，，则称数列为项数列．
若数列：，，，，：，，，，均为项数列，定义数列：，，，，其中，，，，．
Ⅰ已知数列：，，，：，，，直接写出和的值；
Ⅱ若数列，均为项数列，证明：；
Ⅲ对于任意给定的正整数，是否存在项数列，，，使得，并说明理由．
参考答案
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16.解：因为，
若选择函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，可得函数周期为，
所以，，
若选择函数的图象相邻两个最大值之间的距离为，可得函数周期为，
所以，，
若选择已知，，
即可得有个根，，的最小值为，可得函数周期为，
所以，，
所以，
令，
即，函数的对称中心坐标为，．
Ⅱ因为，
令，，
可得，，
又因为，令，则，
令，则，
所以函数在上的单调递减区间为，．
17.解：Ⅰ设“从抽出的男生和女生中，男生成绩高于女生成绩“为事件，
由表格得：从抽出的名学生中男女生各随机选取一人，共有种组合，
其中男生成绩高于女生，，，，，，，，，，，，，，，，，
所以事件有种组合，因此；
Ⅱ由数据知，在抽取的名学生中，成绩为优秀分的有人，即从该校参加活动的高一学生中随机抽取人，该学生成绩优秀的概率为，
因此从该校高一学生中随机抽取人，成绩优秀人数可取，，，且，
，，，，
所以随机变量的分布列为：


数学期望．
Ⅲ男生的平均成绩为，则；
女生的平均成绩为，则；
由于从参加活动的男生中抽取成绩为分的学生组成新的男生样本，
所以，则；
所以．
18.解：证明：平面内，过点作于
直角梯形中，，，，，，
中，，可得
中，，，
同理，得
，可得是以为斜边的直角三角形，
，是中点，，
平面平面，平面平面，平面，
平面，结合平面，得
、是平面内的相交直线，平面；
设的中点为，连结，则直线、、两两互相垂直，
分别以、、为轴、轴、轴，建立直角坐标系，如图所示
则，，，
可得，，
设为平面的一个法向量，则，
取，得且，得
设平面的一个法向量为，则
，，
且由题意可知二面角的平面角为锐角，
二面角的平面角的余弦值等于；
设侧棱上存在点，使得平面，此时，则
，
，可得，
平面，为平面的一个法向量，
，解之得
因此，侧棱上存在点，当时满足平面．
19.解：Ⅰ，，
切线与直线垂直，切线的斜率为，
，即，故；
Ⅱ由Ⅰ知，，，，
令，，则，，
由对恒成立，故在上单调递增，
又，，
存在使
在上单调递增，
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
在处取得最小值
恒成立，所以
由得，，所以，
，又
，
，
的最大值为．
20.解：Ⅰ因为椭圆的离心率为，点在上，
所以，所以，，，
所以椭圆的方程为．
Ⅱ设过点且斜率为的直线为：，即，
联立方程组，消去得，
因为，是直线与椭圆的交点，
所以，
所以
．
Ⅲ证明：设直线为，过点作垂直于轴的直线与直线相交于点，
则，又因为，设的中点，
于是，
因为，，，即．
则有，
又因为，
所以，
于是，
即，
即，即，
即点在直线上．
21.解：，；
证明：对于两个数列：，，，，：，，，，
记数列：，，，，则对于，
若，则此时，，
若，则此时，，
故对于数列：，，，，考虑的值：
若，则，若，则，
故与是同一数列．
所以；
若是奇数，则不存在满足条件的项数列，，，使得，证明如下：
对于个项数列，，，记：
则，
当时，；
当，，中有一个不同于另外两个时，，
是奇数，为奇数个奇数之和，仍为奇数，不可能为，
若是偶数，即，可构造：：，：，：，，
此时数列为，数列，相同，都是：，，
所以有，
综上所述，当为偶数时，可能为，当为奇数时，不可能成立．
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