2024-2025学年江西省智学联盟体高三（上）质检数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年江西省智学联盟体高三（上）质检数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，集合，，则阴影部分表示的集合为( )
A. B.
C. D.
2.若复数，则( )
A. B. C. D.
3.若函数的图像关于轴对称，则( )
A. B. C. D.
4.已知双曲线方程为，，是双曲线的两个焦点，点是双曲线上任意一点，若点关于的对称点为点，点关于的对称点为点，线段的长度是，则双曲线的离心率是( )
A. B. C. D.
5.已知，则( )
A. B. C. D.
6.设，，，是同一个球面上四点，球的半径为，是面积为的等边三角形，则三棱锥体积的最大值为( )
A. B. C. D.
7.函数的部分图象如图所示，将的图象向左平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则图中的值为( )
A.
B.
C.
D.
8.命题“，使且成立”是假命题，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.某研究小组依次记录下天的观测值：，，，，，，，，，，则( )
A. 众数是 B. 百分位数是
C. 平均数是 D. 前个数据的方差比最后个数据的方差大
10.欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为，虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”为自然对数的底数，为虚数单位，依据上述公式，则下列结论中正确的是( )
A. 复数为纯虚数 B. 复数对应的点位于第二象限
C. 复数的共轭复数为 D. 复数在复平面内对应的点的轨迹是半圆
11.若数列满足为常数，则称数列为“调和数列”已知数列为“调和数列”，下列说法正确的是( )
A. 若，则 B. 若，且，，则
C. 若中各项均为正数，则 D. 若，，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.设向量的夹角的余弦值为，且，，则 ______．
13.设为等差数列的前项和，若，，则的最小值为______．
14.四棱锥的底面为平行四边形，点、、分别在侧棱、、上，且满足，，若平面与侧棱交于点，则 ______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
如图，在四边形中，，，，．
求；
求．
16.本小题分
函数．
在处的切线与直线平行，求实数的值．
证明：对于，，恒成立．
17.本小题分
如图，三棱锥中，，，，，，，为的中点．
证明：；
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
已知点是抛物线：上的一点．
若点横坐标为，求抛物线在点处的切线方程；
过点作圆：的两条切线，交抛物线的准线于、两点．
若，求点纵坐标；
求面积的最小值．
19.本小题分
如图，已知点列与满足，且，其中，．
求；
求与的关系式；
证明：．
参考答案
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15.解：中，由正弦定理得：
，
则，
；
由题意，，
所以，
所以．
16.解：因为函数．
所以．
由题意：，解得．
证明：，，
因为，所以，，
所以，
所以在单调递增，
所以，
因为，所以，
所以，
即在单调递增，
所以．
17.证明：，，，，
在中，，，
，又为中点，，
，，，，
取的中点，连接，，
则，，
，，
又，，
平面，又平面，
；
取的中点，，，
如图，以为原点，、分别为轴，轴，建立空间直角坐标系：
，
，，，
，，
，，，
设平面的法向量为，
则，取，
同理可求平面的法向量为，
平面与平面夹角的余弦值为：
，．
18.解：已知点是抛物线：上的一点，
的横坐标为，
则，
即，
，
又，
求得，
抛物线在处的切线斜率为，
切线方程为，
即．
设与圆相切于点，与圆相切于点，
与圆相切于点，
由切线长相等可得：，，，
周长为，
，
设，
由抛物线的对称性，设，
，
，
，
由，
则，
解得，
所以点的纵坐标为．
，
令，
则，
，当且仅当，即时取等号，
，
当且仅当，
即时，面积最小值为．
19.解：因为，，
所以，
化为，又，
得，由，可得，
所以．
由，
，
又，则，
将代入得．
证明：首先证明当时，．
由，
，
因为，
所以
，
．
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