2024-2025学年陕西省西安工业大学附中高一上学期期初数学试题（PDF版，含解析）

2024-2025 学年陕西省西安工业大学附中高一上学期期初
数学试题及参考答案
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合 A x y x 1 ，B y y x 2 1 ，则 A B （ ）
A. B. 1,1 C. 1， D. 1，
2
2.若函数 y x 2a 1 x 1在区间 ，2 上是减函数，则实数 a的取值范围是（ ）
3 3 3 3 A. ， B. ， C. ， D. ， 2 2 2 2
3.如图，已知矩形U 表示全集， A、B是U 的两个子集，则阴影部分可表示为（ ）
A.CU A B B.CU A B
C. CU B A D. CU A B
4.下列命题中，含有存在量词的是（ ）
A.存在一个直角三角形三边长均为整数 B.所有偶函数图象关于 y轴对称
C.任何梯形头不是平行四边形 D.任意两个等边三角形都相似
5.已知函数 f x x3 1 3 ，则 f x （ ）x
A.是偶函数，且在 0， 上是增函数 B.是奇函数，且在 0， 上是增函数
C.是奇函数，且在 0， 上是增函数 D.是奇函数，且在 0， 上是减函数
6.已知全集U 0，2，4，6，8，10 ，集合 A 0，2，4 ， B 0，6，8 ，则 CU A B （ ）
A. 0 B. 6,8 C. 0，6,8 D. 2,4，6,8
7.已知：在 ABC中， AB AC， BAC 120 ， AD为BC边上的高，则下列结论中
正确的是（ ）
A. AD 3 AB 1 2 B. AD AB C. AD BD D. AD BD
2 2 2
8.若 f x 是奇函数，且在 0， 上是增函数，又 f 3 0，则 x 1 f x 0的解是（ ）
A. 3,0 1， B. 3,0 0,3 C. ， 3 3， D. 3,0 1，3
1
二、选择题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，
有多项符合题目要求.全部选对的得 6分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
9.下列命题中，则正确的有（ ）
A.集合 1,2 的所有真子集为 1 ， 2
B.若 1,a 2,b （其中 a,b R），则 a b 3
C. x x是菱形 x x是平行四边形
D. x x 3k ,k N x x 6z, z N
10.下列说法正确的有（ ）
A.“ x R 2，使得 x x 1 0”的否定是“ x R 2，使得 x x 1 0”
2
B.若命题“ x R， x 4x m 0”为假命题，则实数m的取值范围是 4，
C.若 a,b,c R，则“ab 2 cb 2 ”的充要条件是“a c”
16
D.已知 a 1，则 a 的最小值为 9
a 1
11.下列命题正确的是（ ）
A.若 x, y R且 x y 2，则 x, y至少有一个大于 1
2
B.命题“若 x 1，则 x 1”的否定是“存在 x 1 2，则 x 1”
2 2
C.设 x, y R，则“ x 2且 y 2”是“ x y 4”的必要不充分条件
D.设 a,b R，则“ a 0”是“ ab 0”的必要不充分条件
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5分，共 15 分.
b 2
12.若集合 a, ,1 a ,a b,0 2024 2024，则 a b .
a


13.设圆O1与圆O2 的半径分别为 3 和 2，O1O2 4， A,B为两圆的交点，试求两圆的公
共弦 AB的长度 .
1
14.命题“ x 1,3 ， x a 0”为真命题，则 a的取值范围为 .
x 1
2
四、解答题：本题共 5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16,17 题各 15 分，第 18,19
题各 17 分，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.分解因式
（1）m m 2 m 2 2m 2 3 2 2； （2） x y 2x 6y 8 .
16.解方程： 3x 2 x 3 3.
2
17.命题 p：关于 x的方程 x 2ax 4a 5 0有两个不相等的正实根，
命题 q： a m,7m 7 .
（1）若命题 p为真命题，求 a的取值范围；
（2）若 q是 p的充分条件，求m的取值范围.
2
18.设函数 y ax bx 3 a 0 .
2
（1）若不等式ax bx 3 0的解集为 x 1 x 3 ，求 a,b的值；
（2）若 a b 1， a 0，b 0 1 4 ，求 的最小值.
a b
19.已知 N 元正整数集合 A a1 ,a2 , ,aN N 2 满足： a1 a2 aN ，且对任意
a
i, j 1,2, ,N j ， i j，都有 Z .
a j ai
（1）若 a1 2，写出所有满足条件的集合 A；
（2）若 aN 恰有 N 个正约数，求证： aN aN 1 1；
a j j
（3）求证：对任意的 i, j 1,2, ,N 1 ， i j，都有 .
ai i
3
参考答案
一、选择题
1.D 解析：由 A x y x 1 知 x 1 0，解得 x 1，即 A 1， ;
由 B y y x 2 1 得 y x 2 1 1，即 B 1， ，∴ A B 1， .
2 2a 1
2.B 解析：∵函数 y x 2a 1 x 1的图象开口向上，以直线 x 为对称轴，
2
2a 1 3
又∵函数在区间 ，2 上是减函数，∴ 2 ，解得 a .
2 2
3.D 解析：在阴影部分区域内任取一个元素 x，则 x A且 x B，即 x CU A且 x B，
∴阴影部分可表示为 CU A B .
4.A 解析：根据存在量词定义可知，“存在”、“有一些”、“某些”等等，这些叫做存在量词.
3 1
5.B 解析：函数 f x x 3 的定义域为 x x 0 ，关于原点对称，x
f x 1 x3 3 f x ，∴ f x 为奇函数.x
当 x 0 y x3 y 1 时， 递增， 3 递增，可得 f x 在 0， 上是增函数.x
6.B 解析：由题意可得CU A 6,8,10 ，又∵ B 0，6，8 ，∴ CU A B 6,8 .
7.B 解析：∵在 ABC中， AB AC， AD为 BC边上的高，
∴ AD平分 BAC，又∵ BAC 120 ，∴ BAD 60 ，
在 Rt ABD 1中， AD AB .
2
8.D 解析：∵ f x 是 R上奇函数，且在 0， 上是增函数，
∴ f x 在 ，0 上也是增函数， 又∵ f 3 0，∴ f 3 0 .
∴当 x ， 3 0,3 时， f x 0；当 x 3,0 3， 时， f x 0 .
∵ x 1 0 x 1 0x 1 f x 0，∴ 或 ，解得 3 x 0或1 x 3. f x 0 f x 0
∴不等式的解集为 3,0 1，3 .
二、选择题
9.BC 解析：集合 1,2 的所有真子集为 ， 1 ， 2 ，共 3 个，故 A 错误；
4
由 1,a 2,b 知 a 2,b 1，则 a b 3，故 B 正确；
菱形是特殊的平行四边形，故 C正确；
x x 6z 3 2z , z N ，∴ x x 6z, z N x x 3k ,k N ，故 D 错误.
10.ABD 解析：对于 B，若“ x R， x 2 4x m 0 2”为假命题，则 x 4x m 0
无实根，∴ 16 4m 0，得m 4，则实数m的取值范围是 4， ，故 B正确；
2 2 2 2
对于 C，若b 0，则由 a c不能推出 ab cb ，故“a c” 不是“ ab cb ”的
充要条件，故 C 错误；
a 16对于 D， a 16 1 1 2 a 1 16 1 9，
a 1 a 1 a 1
16 16
当且仅当 a 1 ，即 a 5时等号成立，故a 的最小值为 9，故 D 正确.
a 1 a 1
11.ABD 解析：对于 A，该命题的否定为：若 x, y R且 x y 2，则 x, y都不大于 1，即
x 1， y 1，则 x y 2，∴该命题的否定为假命题，原命题为真命题，故 A 正确；
对于 C， x 2则 x 2 4， y 2 2 2 2 2 2，则 y 4，∴ x y 8，则 x y 4成立，满
足充分性，故 C 错；
对于 D，当 a 0时， ab不一定不等于零，当 ab 0时， a一定不等于零，
∴“ a 0”是“ ab 0”的必要不充分条件，故 D 正确.
三、填空题
b 2
12.1 解析：∵ a, ,1 a ,a b,0 ，可得b 0，∴ a,0,1 a 2 ,a,0 ，
a
当 a 1时， a 2 1 2，显然不成立；∴ a 1，解得 a 1或 a 1（舍去），
a 2024 b 2023 1 2024 02024∴ 1.
3 15
13. 解析：由题意可得直线O1O2为线段 AB的中垂线，O1O2 4，4
设O1到 AB的距离为 d ，则O2到 AB的距离为 4 d，
AB
则 32 d 2 22 11 3 15 4 d 2 ，解得 d ， AB .
2 8 4
5
14. ，1 1 1解析：命题“ x 1,3 ，x a 0 ”为真命题，则 x a，
x 1 x 1 min
∵ x 1,3 ，∴ x 1 0,4 x 1 1，∴ x 1 1 2 x 1 1 1 1
x 1 x 1 x 1
1
当且仅当 x 1 ，即 x 0时等号成立，
x 1
x 1∴ 1，∴ a 1.
x 1 min
四、解答题
2 2
15.解：（1）令 t m 2m，原式可化为 t 2t 3 t 1 t 3 ，
故m m 2 m2 2m 2 3 m2 2m 1 m2 2m 3 m2 2m 1 m 1 m 3 .
2 2
（2） x y 2x 6y 8 x 1 2 y 3 2 x y 4 x y 2 .
16.解： 3x 2 x 3 3，即 3x 2 3 x 3，
两边平方可得：3x 2 9 6 x 3 x 3，即 x 7 3 x 3，
2
两边平方整理可得： x 23x 22 0，解得 x 1或 x 22，
经验证 x 22不合题意，舍去，∴ x 1.
4a 2 4 4a 5 0
5
17.解：若命题 p为真命题，则 x1 x2 2a 0 ，解得 a 1.
4
x1x2 4a 5 0
p a 5（1）若命题 为真命题，则实数 满足 a 或 a 1，
4
即 a 5 的取值范围是 ， 1， . 4
q p 5（2）若 是 的充分条件，则 m,7m 7 , 1 ，
4
m 7m 7

可得 m
5 7 8 7 8
，解得 m ，即m 的取值范围是 .
4 6 7 6 7

7m 7 1
2
18.解：（1）∵不等式ax bx 3 0的解集为 x 1 x 3 ，
6
∴ 1,3 2是方程 ax bx 3 0的两个根，
a b 3 0
∴ ，解得 a 1,b 2 .
9a 3b 3 0
（2）∵ a b 1， a 0，b 0，
1 4 1 4 a b 5 b 4a b 4a∴ 5 2 9，
a b a b a b a b
b 4a
1 2
当且仅当 a b ，即 a ,b 时等号成立.
a b 1 3 3
1 4
∴ 的最小值为 9.
a b
a
19.解：（1）根据题意可知，若a2 3，则
2 3 Z ，满足题意；
a2 2
a
若 a2 4，则
2 2 Z ，满足题意；
a2 2
a
显然易知当 a2 5时，
2 Z ，∴ A 2，3 或 A 2，4 ；
a2 2
a
当 a2 3， a3 4时，又满足
3 4 Z ，∴可得 A 2，3，4 满足题意；
a3 a2
因此可得所有满足条件的集合 A为 2,3 或 2,4 或 2,3，4 .
（2）证明：由题分别令 i N ， j 1,2, ,N 1，
a a a
可知 N , N , , N Z ，
aN a1 aN a2 aN aN 1
即 aN a1 ,aN a2 , ,aN aN 1这 N 1个小于 aN 的均为 aN 的正约数.
∵ aN 恰有 N 个正约数，而 aN aN a1 aN a2 aN aN 1，
∴ aN aN 1 1，可得 aN aN 1 1.
a j a j a j
（3）证明：由题可知 ， ， ， Z ，
a j a1 a j a2 a j ai
7
a a a
且1 j j j ，
a j a1 a j a2 a j ai
a j a j a
∴ 2， 3 j， ， i 1，
a j a1 a j a2 a j ai
a
将最后一个不等式整理得 ia j i
i 1
1 a ji ，即 ；ai i
a
又 i j j，∴ j i 1 j，∴ .
ai i
8