2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年湖南省岳阳市汨罗一中高三（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则( )
A. ：， B. ：，
C. ：， D. ：，
3.设是实数，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.年月日时分，由中国“蓝箭航天”自主研制的朱雀二号遥二运载火箭的发射任务取得圆满成功，该火箭由此成为全球首款成功入轨的液氧甲烷火箭，标志着我国运载火箭在新型低成本液体推进剂应用方面取得重大突破在火箭研发的有关理论中，齐奥尔科夫斯基单级火箭的最大理想速度公式至关重要其公式为，其中为单级火箭的最大理想速度单位：，为发动机的喷射速度单位：，，分别为火箭的初始质量和发动机熄火推进剂用完时的质量单位：，称为火箭的初末质量比要使火箭达到某个速度，应当提升火箭的初末质量比以及喷射速度，但由于火箭可能的结构各类动力、连接装置等所制约，初末质量比不可能大于现有某型号单级火箭的发动机能获得的最大喷射速度约为，那么它能获得的最大理想速度约为参考数据：，( )
A. B. C. D.
5.已知锐角满足，则( )
A. B. C. D.
6.设，若，则( )
A. B. C. D.
7.在中，点在线段上，，则( )
A. B. C. D.
8.已知，，，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.若甲组样本数据数据各不相同的平均数为，乙组样本数据的平均数为，下列说错误的是( )
A. 的值不确定
B. 乙组样本数据的方差为甲组样本数据方差的倍
C. 两组样本数据的极差可能相等
D. 两组样本数据的中位数可能相等
10.定义在上的连续函数满足，，，，则( )
A.
B. 当，时，
C. 若，则为偶函数
D. 当时，
11.绿水青山就是金山银山，为响应党的号召，某小区把一处荒地改造成公园进行绿化，在绿化带旁边放置一些砌成的完全相同的石墩，石墩的上部是半径为的球的一部分，下部是底面半径为的圆柱体，整个石墩的高为，如图所示注：球体被平面所截，截得的部分叫球缺，球缺表面上的点到截面的最大距离为球缺的高球缺的体积，其中为球的半径，为球缺的高，下列说法正确的是( )
A. 石墩上、下两部分的高之比为
B. 石墩表面上两点间距离的最大值为
C. 每个石墩的体积为
D. 将石墩放置在一个球内，则该球半径的最小值为
12.设数列满足，，记数列的前项和为，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知过点作圆的切线，则切线长为 ．
14.函数的值域为______．
15.从男女共名学生中选出组长人，副组长人，普通组员人组成人志愿组，要求志愿组中至少有名男生，且组长和副组长性别不同，则共有 种不同的选法用数字作答
16.已知，满足，，则 ______．
四、解答题：本题共6小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
函数，，若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围．
18.本小题分
已知数列满足，且．
求证：数列是等差数列；
记，数列的前项和为．
19.本小题分
已知函数，．
若，，求的取值范围；
设函数，，若斜率为的直线与曲线，都相切，求的值．
20.本小题分
如图，在四棱锥中，平面，，．
证明：平面平面
若，求平面与平面夹角的余弦值．
21.本小题分
已知抛物线的焦点为，过作斜率为的直线与交于两点，当时，．
求抛物线的标准方程；
设线段的中垂线与轴交于点，抛物线在两点处的切线相交于点，设两点到直线的距离分别为，求的值．
22.本小题分
已知函数定义在区间内，，且当，时，恒有．
证明：为奇函数；
若数列，满足，，，，且对，，求的取值范围．
参考答案
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16.
17.解：
因为，所以，
解得，
由，得，
当时，；
当时，；
当时，，
因为“”是“”的充分不必要条件，，
所以当时，，解得；
当时，不符合题意；
当时，，解得；
综上，实数的取值范围为．
18.证明：数列满足，且
整理得：常数，
所以数列是以为首项，为公差的等差数列
由得：，
故，
故
所以
当为奇数时，
当为偶数时，．
19.解：由题意，，得，
即在时有解，
设，
则，，
由，得单调递增，
所以当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
所以，所以，
即的取值范围是．
由题意得，所以，
令，解得，，
故直线与的两个切点坐标分别为，，
故切线方程分别为和，
令，整理得，
由，解得：或，
令，解得：，
由，无解，
经检验，直线与的两个切点坐标分别为，，
综上，或．
20.解：证明：因为平面，又平面，
所以，在中，可求得．
在中，因为，，
所以，所以，
又平面，平面，所以，
又，，平面，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
因为，平面，
所以以为原点，分别以的方向为，，轴的正方向，建系如图，
则．
由知平面，
所以为平面的一个法向量．
设平面的法向量为，
则，取，
设平面与平面的夹角为，
则．
21.解：当时，直线的方程为，
设，，
联立方程组消去得，
所以，
所以，
解得，
所以抛物线的方程为．
由知，则，不妨设，，线段的中点为，
联立方程组消去得，
所以，．
易得，则的中垂线方程为，
令，得，所以，
所以．
切线，．
联立方程组解得
由，得，
所以，所以，即，
所以点到直线的距离．
故．
22.证明：由题意知的定义域为，
，时，恒有，
令，则，故，
再令，则，
所以，
故为奇函数．
解：由题意得，
又，
，即，
，
故是首项为，公比为的等比数列，
，
，
，
两式相减得，
，
恒成立，即恒成立．
设，则，
数列递增．
若为奇数，，当时，有最大值，故；
若为偶数，，当时，有最小值，故．
综上，的取值范围是
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