2024-2025学年广东省广州市西关外国语学校高三（上）月考数学试卷（9月份）（含答案）

2024-2025学年广东省广州市西关外国语学校高三（上）月考
数学试卷（9月份）
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知复数满足，则( )
A. B. C. D.
3.已知等比数列的前项和为，，则公比的值为( )
A. B. C. D.
4.已知平面向量满足：，且在上的投影向量为，则向量与向量的夹角为( )
A. B. C. D.
5.若，，且，则的最小值为( )
A. B. C. D.
6.已知函数满足，最小正周期为，函数，则将的图象向左平移个单位长度后可以得到的图象．
A. B. C. D.
7.已知，是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则椭圆的离心率为
A. B. C. D.
8.已知函数若有个实数解，则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共4小题，共24分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 已知随机变量服从正态分布，越小，表示随机变量分布越集中
B. 数据，，，，，，，的第百分位数为
C. 线性回归分析中，若线性相关系数越大，则两个变量的线性相关性越弱
D. 已知随机变量X~B(7,),则E(X)=
10.在平行六面体中，已知，，则( )
A. 直线与所成的角为
B. 线段的长度为
C. 直线与所成的角为
D. 直线与平面所成角的正弦值为
11.设函数与其导函数的定义域均为，且为偶函数，，则( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
12.的展开式中，常数项为______．
13.在中，，，，点在线段上，若，则 ； ．
14.已知函数，，函数的图象在点和点的两条切线互相垂直，且分别与轴交于两点，则的取值范围是__________．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知数列是首项为，公比为的等比数列，数列满足．
求数列和的通项公式
求数列的前项和．
16.已知三棱锥满足，，，且．
求证：；
求直线与平面所成角的正弦值，
17.已知函数
若曲线在点处的切线方程为，求和的值；
讨论的单调性．
18.如图，已知抛物线的焦点为，过点作一条不经过的直线，若直线与抛物线交于异于原点的，两点，点在轴下方，且在线段上．
试判断：直线，的斜率之积是否为定值若是，求出这个定值若不是，请说明理由．
过点作的垂线交直线于点，若的面积为，求点的坐标．
19.对于一个四元整数集，如果它能划分成两个不相交的二元子集和，满足，则称这个四元整数集为“有趣的”．
写出集合的一个“有趣的”四元子集
证明：集合不能划分成两个不相交的“有趣的”四元子集
证明：对任意正整数，集合不能划分成个两两不相交的“有趣的”四元子集．
参考答案
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15.解：由题意得，
所以．
由，
得当时，，
所以，即．
又当时，也符合，所以．
设，
则，
，
两式作差得，
即，
所以．
16.解：证明：，，
，，
，，
即：，
取中点，连接，，则，，且，，平面，
平面，
平面 ，
．
如图，以为坐标原点，，所在直线分别为，轴建立空间直角坐标系，
由可知，
中，，，
，
设的法向量，
则，即，
取，
记与平面所成角为，
则．
17.解：，则，
曲线在点处的切线方程为，
则，解得，
由，解得．
，函数定义域为，
则，
令，解得或，
若，则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增，
若，则在上恒成立，单调递增，
若，则当时，，单调递减，当和时，，单调递增．
综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；
当时，的单调递增区间为和，单调递减区间为．
18.解：若的斜率不存在，则点不存在或与原点重合
若的斜率不存在，则点与原点重合．
因此，直线与的斜率均存在．
设直线，代入抛物线方程得：，
设，，则，，
；
由题意可知，的斜率为，方程为，
设点，所以直线，
解方程组得，
因此直线与的交点坐标为，
因为，由得，
所以直线，解方程组得，
因此可得，所以为的中点，
从而，
，
所以，因为，解得或，
因此，所求的点的坐标为与
19.解：符合要求即可
证明：假设可以划分，，
和一定是一个奇数一个偶数，
，，，中至多两个偶数．
则对于的一种符合要求的划分和，
每个四元子集中均有两个偶数．
若两个集合分别为和，则或，不存在，使得符合要求
若两个集合分别为和，则或，不存在，使得符合要求
若两个集合分别为和，则或，不存在，使得符合要求
综上所述，不能划分为两个不相交的“有趣的”四元子集．
证明：假设可以划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集，，，．
每个子集中至多两个偶数，
又，，，中恰有个偶数，
每个子集中均有两个偶数．
对于，可设，其中，是偶数，，为奇数，
再由奇偶性，只能是
，
且，．
，矛盾．
不能划分为个两两不相交的“有趣的”四元子集．
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