人教A版（2019）数学 选择必修1 3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时）（课件24页ppt）

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选择必修
第三章 圆锥曲线的方程
3.2 双曲线
3.2.2 双曲线的简单几何性质（第1课时）
教学目标
学习目标 数学素养
1.掌握双曲线的简单几何性质． 1.数学抽象素养和直观想象素养.
2.理解双曲线离心率的定义、取值范围和渐近线方程． 2.数学抽象素养和直观想象素养.
3.能利用双曲线的简单性质求标准方程. 3.数学运算素养和逻辑推理素养.
温故知新
椭圆 双曲线
定 义
方 程
焦 点
a，b，c的关系
|MF1|+|MF2|=2a
||MF1|－|MF2||=2a
(a>b>0).
(a>b>0).
.
.
F(±c，0)
F(0，±c)
F(0，±c)
F(±c，0)
a>b>0，a2=b2+c2
c2=a2+b2，c>a>0,c>b>0,但a不一定大于b.
知新引入
类比研究椭圆范围的方法，观察双曲线,我们发现双曲线上点的横坐标的范围是x≤-a，或x≥a，纵坐标的范围是y∈R(如图）.
下面利用双曲线的方程求出它的范围.
类比椭圆的几何性质,你认为应该研究双曲线
的哪些几何性质 如何研究这些性质
①
1.范围
由方程①可得 ,
于是，双曲线上点的坐标都适合不等式，∈R，即，∈R.
∴，或；∈R.
这说明双曲线位于直线x=-a及其左侧和直线x=a及其右侧的区域.
知新探究
2.对称性
类比研究椭圆(a>b>0)对称性的方法，容易得到，双曲线关于x轴、y轴和原点都是对称的.这时，坐标轴是双曲线的对称轴，原点是双曲线的对称中心，双曲线的对称中心叫做双曲线的中心.（如图）
F1
F2
x
O
y
(x,y)
(x,-y)
(-x,-y)
(-x,y)
双曲线既是轴对称图形，
又是中心对称图形.
知新探究
类比求椭圆顶点的方法，在方程中，令y=0,得,因此双曲线和x轴有两个交点A1(-a,0),A2(a,0).因为x轴是双曲线的对称轴，所以双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点.
令x=0，得y2=-b2，这个方程没有实数解，说明双曲线和y轴没有公共点，但我们也把B1(0,-b),B2(0,b)两点画在y轴上.
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长等于2a，a叫做双曲线的实半轴长；
线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长等于2b，b叫做双曲线的虚半轴长.
3.顶点
知新探究
利用信息技术画出双曲线和两条
直线（如图）.在双曲线右支
上取一点M,测量点M的横坐标xM以及它到直线
的距离d.沿曲线右中向上拖动点M，
观察xM与d的大小关系，你发现了什么？
当xM越来越大，d越来越小，但始终不等于0.
即双曲线与直线逐渐接近，但永不相交.
4.渐近线
知新探究
实际上，经过两点A1,A2的平行线,经过两点B1,B2的平行线,四条直线围成一个矩形（如图），矩形的对角线方程为
.
可以发现，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永远不相交.
新知探究
一般地，双曲线的两支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，我们把这两条直线叫做双曲线的渐近线．实际上，双曲线与它的渐近线无限接近，但永远不相交.
思考3：双曲线的渐近线方程还有没有其它形式？
x
y
o
a
b
思考1:如何记忆双曲线的渐近线方程？
在双曲线标准方程中，把“1”换成0即可！
思考2:渐近线对双曲线的开口有什么影响
渐近线与实轴的夹角越大，双曲线的开口也就越大
双曲线的渐近线方程也可以表示为.
新知探究
在双曲线方程中，如果a=b，那么方程变为x2-y2=a2，此时双曲线的实轴和虚轴的长都等于2a．这时，四条直线=，围成正方形，渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线的实轴和虚轴所成的角.
实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线.
新知探究
5.离心率
与椭圆类似，双曲线的焦距与实轴长的比,叫做双曲线的离心率．
因为c>a>0,所以双曲线的离心率.
椭圆的离心率刻画了椭圆的扁平程度，双曲线的离心率刻画双曲线的什么几何特征？
∵.
∴e越大，也越大，即渐近线的斜率的绝对值越大，这时双曲线的形状就从扁窄逐渐变得开阔.
因此，离心率e是表示双曲线开口大小的一个量,e越大开口越大.
用双曲线渐近线的斜率能刻画双曲线的“张口”大小吗？它与用离心率刻画“张口”大小有什么联系和区别？
新知探究
方程 ) )
图像
焦点
顶点
范围
对称性 虚实轴 离心率 渐近线
F1(-c,0)
F2(c,0)
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2(0,c)
F1(0,-c)
x
B1
y
O
.
B2
A1
A2
.
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
x≤-a或x≥a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称轴：x轴、y轴；中心：原点
实轴长：2a；虚轴长：2b
e∈(1,+∞)
.
.
知新探究
【例1】求双曲线为9y2－16x2=144的实半轴长和虚半短轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程.
解：
把双曲线的方程9y2-16x2=144化为标准方程
.
由此可知,实半轴长 a=4，虚半轴长b=3，
焦点坐标为F1(0，-5)，F2(0，5)；
∴c=.
离心率;
渐近线方程为.
初试身手
1.⑴双曲线x2-y2=-4的实轴长为 ，虚轴长为 ,顶点坐标为 ， ，焦点坐标为 ， ，离心率e为 .
⑵ 若双曲线(m>0)的渐近线方程为y=±x,则双曲线的离心率是 .
⑴双曲线x2-y2=-4可化为y2-x2=4.
.
∴双曲线的离心率．
解：
∴a=b=2,即实轴长为4，虚轴长为4;顶点坐标分别为(0,-2),(0,2).
⑵由双曲线方程得出其渐近线方程为y=±x,
∴m=3,求得双曲线方程为,从而得到a=2,c=,
∴焦点坐标分别为(0,-),(0,),离心率.
4
4
(0,-)
(0,)
(0,-2)
(0,2)
.
知新探究
【例2】已知双曲线顶点间距离是16，离心率, 焦点在x轴上，中心在原点，写出双曲线的方程，并且求出它的渐近线和焦点坐标.
解：
由题意，可设双曲线的方程为(a>0,b>0),
∵双曲线顶点间距离是16，
又∵，
∴=10.
∴b2=c2-a2=102-82=36,b=6.
∴双曲线的方程为.
它的渐近线为,
焦点坐标为F1(-10，0)，F2(10，0).
∴2a=16,即a=8，
初试身手
2.已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
⑴若双曲线过点P(,2),求双曲线的标准方程;
⑵若双曲线的焦距是2,求双曲线的标准方程.
解：
⑴若焦点在x轴上,设所求双曲线的标准方程为,则
方法1：双曲线的渐近线方程可化为为y=±x.
. ①
∵点P(,2)在双曲线上,
∴ ②
联立①②,无解.
若焦点在y轴上,设所求双曲线的标准方程为,则
. ③
∵点P(,2)在双曲线上,
∴ ④
联立③④,解得.
故所求双曲线的标准方程为.
初试身手
2.已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
⑴若双曲线过点P(,2),求双曲线的标准方程;
⑵若双曲线的焦距是2,求双曲线的标准方程.
解：
⑵设双曲线的方程为,则
方法1：双曲线的渐近线方程可化为为y=±x.
∵2c=2,c2=a2+b2,
∴a2+b2=13
又∵渐近线的斜率为，
∴,
解得.
故所求双曲线的标准方程为.
初试身手
2.已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
⑴若双曲线过点P(,2),求双曲线的标准方程;
⑵若双曲线的焦距是2,求双曲线的标准方程.
解：
⑴∵点P(,2)在双曲线上,
方法2：双曲线的渐近线方程可化为.
设双曲线的方程为,
解得.
故所求双曲线的标准方程为.
∴
初试身手
2.已知双曲线的渐近线方程为2x±3y=0.
⑴若双曲线过点P(,2),求双曲线的标准方程;
⑵若双曲线的焦距是2,求双曲线的标准方程.
解：
∵2c=2,
⑵若m>0,则a2=9m,b2=4m,c2=a2+b2=13m,
故所求双曲线的标准方程为.
故所求双曲线的标准方程为.
∴m=1 ,
若m<0,则a2=-9m,b2=-4m,c2=a2+b2=-13m,
∵2c=2,
∴m=-1 ,
课堂小结
方程 ) )
图像
焦点
顶点
范围
对称性 虚实轴 离心率 渐近线
F1(-c,0)
F2(c,0)
.
.
y
B2
A1
A2
B1
x
O
F2(0,c)
F1(0,-c)
x
B1
y
O
.
B2
A1
A2
.
F1(-c，0)，F2(c，0)
F1(0，-c)，F2(0，c)
A1(-a，0)，A2(a，0)
A1(0，-a)，A2(0，a)
x≤-a或x≥a,y∈R
y≤-a或y≥a,x∈R
对称轴：x轴、y轴；中心：原点
实轴长：2a；虚轴长：2b
e∈(1,+∞)
.
.
作业布置
作业：
P127 习题3.2 第3，4,6,7,8题.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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