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2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列
第三单元专练篇·13：单位“1”转化问题“拓展版”
1．甲、乙两个仓库都存有粮食，从甲仓库取出，从乙仓库取出后，两个仓库剩下的粮食相等。原来甲仓比乙仓多存粮14吨，问甲乙两仓原来各存粮多少吨？
2．一批木料，先用去总数的，又用去剩下的，这时用去的比剩下的多10方，这批木料共有多少方？
3．幼儿园老师把一袋糖分给甲、乙、丙三个小朋友，先把总数的多6粒给甲，再把剩下的多9粒给乙，最后剩下的都给了丙，结果三人得到的糖一样多，这袋糖共有多少粒？
4．小明读一本书，第一天读了12页，第二天读了剩下的，这时读了的和没有读的页数正好一样多。这本书共有多少页？
5．在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？
6．小微家里装修，购买了一根网线。第一个房间用去全长的，第二个房间用去剩下的，此时还剩下80m，那么小微买了多长的网线？
7．妈妈买来一些水果糖，小华吃掉一半后又多吃了两粒，第二天也是这样吃了剩下的一半再多吃两粒，第三天又吃了剩下的一半再多吃两粒，第四天打开糖盒时，里面只有4粒了，妈妈究竟买了多少粒水果糖？
8．五年级有学生人，选出男生的和名女生参加团体操，这时剩下的男生和女生人数一样多，问：五年级女生有多少人？
9．一桶油，第一次用去全部的，第二次用去剩下的，还剩下24千克，这桶油原来有多少千克？
10．某校六年级共有336名学生，从中选出男生的和16名女生代表学校参加创新希望杯英语手抄报设计赛，剩下的男生人数是剩下的女生人数的2倍。该校六年级共有男生多少人？
11．一本书，小王第一天看了整本书的，第二天看了剩下的，还剩下96页。这本书一共有多少页？
12．某科技发明兴趣小组中女生占，后来又转来了15名女生，这样女生占总人数的。这个兴趣小组的男生有多少人？
13．某兴趣小组原来的女生人数占男生人数的，后来男、女生各增加4名，这时女生人数占男生人数的，这个兴趣小组原来一共多少人？
14．有一位数学家，他生命的是幸福的童年，又过了童年的后，脸上长了细细的胡须，他结婚后度过了他人生的，又过5年得到了一个可爱的儿子，但他孩子的寿命只有这位数学家寿命的，这位数学家在孩子死后悲痛地度过了4年后离开了人间，这位数学家是古希腊人，请你推算一下他活了多少岁？
15．学校组织六年级4个班的120名学生来到“安心养老院”举行“夕阳红”文艺演出，六（1）班参加的人数是其他三个班总数的，六（2）班参加的人数是其他三个班总数的，六（3）班参加的人数是其他三个班总数的，那么六（4）班有多少名学生参加了此次活动？
16．小明的邮票张数是小强的，小强送给小明8张后，小强的邮票张数是小明的。小强原有邮票比小明多几张？
17．一段公路需要施工，第一天完成了总量的，第二天完成了剩下部分的，这时还剩下220米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图，再解决这个问题）
18．工程队修一条路，第一天修了全长的，第二天修了余下的还多5米，这时还剩下45米没有修。这条路全长多少米？
19．有两箱苹果，乙箱是甲箱的，从甲箱取出3千克苹果放入乙箱后，乙箱的苹果是甲箱的。甲、乙两箱苹果共重多少千克？
20．小明说：“你有的个数比我少。”小红说：“你要是给我你的，我就比你多5个了。”小红原来有多少个？
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2024-2025学年六年级数学上册典型例题系列
第三单元专练篇·13：单位“1”转化问题“拓展版”
1．甲、乙两个仓库都存有粮食，从甲仓库取出，从乙仓库取出后，两个仓库剩下的粮食相等。原来甲仓比乙仓多存粮14吨，问甲乙两仓原来各存粮多少吨？
【答案】210吨；196吨
【分析】设乙仓库原有x吨存粮，那么甲仓库就原有x+14吨存粮，依据题意甲仓库存粮×（1﹣）=乙仓库存粮×（1﹣）可列方程：（x＋14）×（1﹣）＝x×（1﹣），据此即可解答。
【详解】解：设乙仓库原有x吨存粮，
（x＋14）×（1﹣）＝x×（1﹣）
x＋＝x
x＋﹣x＝x﹣x
＝x
x＝196
196＋14＝210（吨）
答：甲仓库原有210吨存粮，乙仓库原有196吨存粮。
【点睛】本题主要考查了分数的应用，本题的关键在于对题目进行正确的分析，找出甲仓库存粮与乙仓库存粮之间存在的数量关系。
2．一批木料，先用去总数的，又用去剩下的，这时用去的比剩下的多10方，这批木料共有多少方？
【答案】70方
【分析】根据题意可知，一共用去了总数的，还剩下总数的，用去的比剩下的多10方，即（），已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算。
【详解】10÷（）
＝10÷
＝10×7
＝70（方）
答：这批木材共有70方。
3．幼儿园老师把一袋糖分给甲、乙、丙三个小朋友，先把总数的多6粒给甲，再把剩下的多9粒给乙，最后剩下的都给了丙，结果三人得到的糖一样多，这袋糖共有多少粒？
【答案】45粒
【分析】根据三人分得的糖的颗数一样多可知，每人分得的糖的颗数占这袋糖总颗数的，由于甲分得的糖的颗数比这袋糖总颗数的多6颗，所以6颗糖占这袋糖总颗数的（－），用6÷（－），即可求出这袋糖的总颗数。
【详解】6÷（－）
＝6÷（－）
＝6÷
＝6×
＝45（粒）
答：这袋糖共有45粒。
【点睛】解答本题的关键明确3人分到糖的粒数一样多，即每人分得的糖的颗数占这袋糖总颗数的。
4．小明读一本书，第一天读了12页，第二天读了剩下的，这时读了的和没有读的页数正好一样多。这本书共有多少页？
【答案】36页
【分析】设这本书有x页，那么第二天就看了（x－12）×，这时读过的和没读的页数正好相等，也就是已读书页数是x页，依据题意可列方程：12＋（x－12）×＝x，依据等式的性质即可求解。
【详解】解：设这本书有x页。
12＋（x－12）×＝x
x＝36
答：这本书一共有36页。
【点睛】本题用方程比较容易理解，只要明确数量间的等量关系，再根据它们之间的关系列出方程即可求解。
5．在某大坝截流时，用载重卡车将一堆石料运到围堰龙口，第一次运了这堆石料的少2万方，第二次运了剩下的多3万方，此时还剩下12万方未运，则这堆石料共有多少万方？
【答案】42万方
【分析】方法一：把这堆石料的总方数设为未知数，用含有字母的式子表示出第一次和第二次运走的石料，等量关系式：这堆石料的总方数－第一次运走的方数－第二次运走的方数＝剩下石料的方数；
方法二：运用逆推还原的方法解答，先把第一次运走之后剩下的方数看作单位“1”，（12＋3）万方刚好占单位“1”的（1－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出第一次运走之后剩下的方数，再把这堆石料的总方数看作单位“1”，第一次运走之后剩下的方数减去2万方刚好占单位“1”的（1－），根据量÷对应的分率＝单位“1”求出这堆石料的总方数，据此解答。
【详解】方法一：解：设这堆石料共有x万方。
第一次运走的石料：（x－2）万方
第二次运走的石料：[x－（x－2）]×＋3
＝[x－x＋2]×＋3
＝[x＋2]×＋3
＝x×＋2×＋3
＝x＋1＋3
＝（x＋4）万方
x－（x－2）－（x＋4）＝12
x－x＋2－x－4＝12
（x－x－x）－（4－2）＝12
x－2＝12
x＝12＋2
x＝14
x＝14÷
x＝14×3
x＝42
方法二：
第一次运走之后剩下的方数：（12＋3）÷（1－）
＝15÷
＝15×2
＝30（万方）
这堆石料的总方数：（30－2）÷（1－）
＝28÷
＝28×
＝42（万方）
答：这堆石料共有42万方。
【点睛】用方程解答时准确表示出第一次运走的方数和第二次运走的方数，用逆推法还原时多就加，少就减，再除以1减分率的差，分步计算，求出最初的结果。
6．小微家里装修，购买了一根网线。第一个房间用去全长的，第二个房间用去剩下的，此时还剩下80m，那么小微买了多长的网线？
【答案】200米
【分析】先用去全长的，则还剩1－；又用去剩下的，则又用去（1－）×；经过两次使用，还剩1－－（1－）×；而这也是还剩的数量80米所对应的分率。故列式为：。
【详解】
（米）
答：小微买了200米长的网线。
【点睛】解答本题需要明确第二次用去的不是全长的，是剩下的，就是以剩下的长度为单位“1”。
7．妈妈买来一些水果糖，小华吃掉一半后又多吃了两粒，第二天也是这样吃了剩下的一半再多吃两粒，第三天又吃了剩下的一半再多吃两粒，第四天打开糖盒时，里面只有4粒了，妈妈究竟买了多少粒水果糖？
【答案】60粒
【详解】（4+2）÷（1-）=12（粒）
（12+2）÷（1-）=28（粒）
（28+2）÷（1-）=60（粒）
8．五年级有学生人，选出男生的和名女生参加团体操，这时剩下的男生和女生人数一样多，问：五年级女生有多少人？
【答案】110人
【分析】根据题意，设男生有x人，女生有238－x人。根据男生去掉人数后的人数＝女生去掉14人的人数列方程解答。
【详解】解：设男生有x人，女生有（238－x）人。
x－x＝238－x－14
x＝224－x
x＋x＝224－x＋x
x＝224
x÷＝224÷
x＝128
女生：238－128＝110（人）
答：五年级女生有110人。
【点睛】此题主要考查学生对和差倍问题的理解，可以采用列方程的方式进行解答。
9．一桶油，第一次用去全部的，第二次用去剩下的，还剩下24千克，这桶油原来有多少千克？
【答案】75千克
【分析】第一次用去，还剩下，那么第二次用去的。将这桶油看作单位“1”，利用减法求出剩下的24千克占这桶油的几分之几，单位“1”未知，利用除法求出这桶油原来有多少千克。
【详解】（1－）×
＝×
＝
24÷（1－－）
＝24÷
＝24×
＝75（千克）
答：这桶油原来有75千克。
10．某校六年级共有336名学生，从中选出男生的和16名女生代表学校参加创新希望杯英语手抄报设计赛，剩下的男生人数是剩下的女生人数的2倍。该校六年级共有男生多少人？
【答案】220人
【分析】选出男生的，是以男生为单位“1”，设该校六年级共有男生x人，女生就是（336－x）人，男生的是x人。男生剩下的人数＝男生的总人数－男生选走的人数＝x－x，女生剩下的人数＝女生的总人数－女生选走的人数＝336－x－16。剩下的男生人数是剩下的女生人数的2倍，利用数量关系式：男生的剩下的人数＝女生人数×2列出方程求出方程的解。
【详解】解：设该校六年级共有男生x人，女生（336－x）人。
答：该校六年级共有男生220人。
11．一本书，小王第一天看了整本书的，第二天看了剩下的，还剩下96页。这本书一共有多少页？
【答案】240页
【分析】把这本书的总页数看作单位“1”，第一天看了整本书的，则还剩下全书的（1－）；第二天看了剩下的，即看了（1－）的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，即可求出第二天看了全书的几分之几；
用“1”分别减去第一天、第二天看了全书的分率，即是还剩下的96页占全书的几分之几，单位“1”未知，根据分数除法的意义计算，即可求出这本书的总页数。
【详解】第二天看了全书的：
（1－）×
＝×
＝
总页数：
96÷（1－－）
＝96÷
＝96×
＝240（页）
答：这本书一共240页。
【点睛】本题考查分数乘除法的应用，根据分数乘法的意义求出第二天看了全书的分率，分析出剩下的页数占总页数的几分之几，然后根据分数除法的意义求出总页数。
12．某科技发明兴趣小组中女生占，后来又转来了15名女生，这样女生占总人数的。这个兴趣小组的男生有多少人？
【答案】150人
【分析】根据题意可知：设原来兴趣小组有人，则女生有人；后来又转来了15名女生，后来兴趣小组就有（＋15）人，后来的女生人数是（＋15）×，根据原来的女生人数＋15＝后来的女生人数，列出方程，求出原来兴趣小组的人数，再乘，即求出男生人数。
【详解】解：设这个兴趣小组原有人。
（人）
答：这个兴趣小组的男生有150人。
【点睛】理解题意，找出合适的等量关系，进而列出方程是解此题的关键。
13．某兴趣小组原来的女生人数占男生人数的，后来男、女生各增加4名，这时女生人数占男生人数的，这个兴趣小组原来一共多少人？
【答案】16人
【分析】设兴趣小组原来有男生x人，原来的女生人数占男生人数的，则女生原来的人数是x人；后来男、女生各增加4名，则女生人数是（x＋4）人，男生人数是（x＋4）人，这时女生人数占男生人数的，用男生人数×＝女生现在人数，列方程：（x＋4）×＝x＋4，解方程，求出男生人数，进而求出女生人数，最后求出这个兴趣小组的原来人数。
【详解】解：设兴趣小组原来有男生x人，则女生原来有x人。
（x＋4）×＝x＋4
x＋4×＝x＋4
x＋2－2－x＝x＋4－x－2
x－x＝2
x－x＝2
x＝2
x÷＝2÷
x＝2×6
x＝12
女生原来人数：12×＝4（人）
12＋4＝16（人）
答：兴趣小组原来一共有16人。
【点睛】关键明确男生人数增加后与女生人数增加后的关系是解答本题的关键。
14．有一位数学家，他生命的是幸福的童年，又过了童年的后，脸上长了细细的胡须，他结婚后度过了他人生的，又过5年得到了一个可爱的儿子，但他孩子的寿命只有这位数学家寿命的，这位数学家在孩子死后悲痛地度过了4年后离开了人间，这位数学家是古希腊人，请你推算一下他活了多少岁？
【答案】84岁
【分析】把数学家一生的年龄看作单位“1”，已知他生命的是幸福的童年，则童年的相当于他生命的×，根据题意可知，数学家的（5＋4）年占生命长度的（1－－×－－），根据分数除法的意义，用（5＋4）÷（1－－×－－）即可求出数学家一生的年龄。
【详解】（5＋4）÷（1－－×－－）
＝（5＋4）÷（1－－－－）
＝9÷
＝9×
＝84（岁）
答：他活了84岁。
【点睛】本题主要考查了分数除法的应用，找到对应量以及对应的分率是解答本题的关键。
15．学校组织六年级4个班的120名学生来到“安心养老院”举行“夕阳红”文艺演出，六（1）班参加的人数是其他三个班总数的，六（2）班参加的人数是其他三个班总数的，六（3）班参加的人数是其他三个班总数的，那么六（4）班有多少名学生参加了此次活动？
【答案】26名
【分析】将其他三个班看作单位“1”，那么六年级4个班是（1＋），将六（1）班的分率除以4个班的分率（1＋），求出六（1）班是4个班总人数的几分之几。同理求出六（2）班、六（3）班分别是总人数的几分之几。将4个班总人数看作单位“1”，利用乘法分别求出六（1）班、六（2）班和六（3）班的人数，再将4个班的人数减去这三个班的人数，即可求出六（4）班参加活动的人数。
【详解】÷（1＋）
＝÷
＝×
＝
÷（1＋）
＝÷
＝×
＝
÷（1＋）
＝÷
＝×
＝
120－120×－120×－120×
＝120－40－30－24
＝80－30－24
＝50－24
＝26（名）
答：六（4）班有26名学生参加了此次活动。
【点睛】本题考查了分数乘除法，解题关键是求出六（1）班、六（2）班和六（3）班占总人数的分率。
16．小明的邮票张数是小强的，小强送给小明8张后，小强的邮票张数是小明的。小强原有邮票比小明多几张？
【答案】4张
【分析】根据题意，小强送给小明8张邮票，每人邮票张数在变化，但总张数没变，把两人邮票的总张数看作单位“1”。
由“小明的邮票张数是小强的”可知，小强原有邮票是两人邮票总张数的；当小强送给小明8张后，小强的邮票张数是两人邮票总张数的。
由此可得，8张邮票占两人邮票总张数的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，即可求出两人邮票的总张数。
由小强原有邮票是两人邮票总张数的，根据求一个数的几分之几是多少，用乘法计算，求出小强原有邮票张数，再用两人邮票总张数减去小强原有邮票张数，即是小明原有邮票张数，最后两人原有邮票张数相减，即可求出小强原有邮票比小明多的张数。
【详解】两人邮票总张数：
（张）
小强原有邮票：（张）
小明原有邮票：（张）
小强比小明多：（张）
答：小强原有邮票比小明多4张。
【点睛】本题考查分数乘除法的应用，把两人邮票总张数看作单位“1”，分析出8张占总张数的几分之几，然后根据分数除法的意义求出两人邮票的总张数是解题的关键。
17．一段公路需要施工，第一天完成了总量的，第二天完成了剩下部分的，这时还剩下220米未施工，需要施工的这段公路有多少米？（建议你先画画线段图，再解决这个问题）
【答案】米
【分析】把这段公路的总长看作单位“1”，第一天完成了总长的，则还剩下总长的（1－）；第二天完成了剩下部分的，根据分数乘法的意义可知，第二天完成了总长的（1－）×；用“1”减去这两天完成的分率，就是剩下的220米占总长的分率，单位“1”未知，用除法计算，即可求出这段公路的总长。
【详解】如图：
（1－）×
＝×
＝
220÷（1－－）
＝220÷
＝220×
＝（米）
答：需要施工的这段公路有米。
【点睛】本题考查分数乘除法的应用，找出单位“1”，单位“1”已知，根据分数乘法的意义列式计算；单位“1”未知，根据分数除法的意义列式计算。
18．工程队修一条路，第一天修了全长的，第二天修了余下的还多5米，这时还剩下45米没有修。这条路全长多少米？
【答案】187.5米
【分析】假设这条路全长是x米，第一天修了x米，余下的长度是（x－x）米，把余下的长度看作单位“1”，求一个数的几分之几是多少，用乘法，所以第二天修了[（x－x）×＋5]米，再用这条路的全长减去第一天和第二天修了的长度，等于还剩下45米，据此列出方程，解方程即可求出这条路全长是多少米。
【详解】解：设这条路全长是x米，
x－x－[（x－x）×＋5]＝45
x－[x×＋5]＝45
x－[x＋5]＝45
x－x－5＝45
x＝45＋5
x＝50
x＝50÷
x＝50×
x＝187.5
答：这条路全长187.5米。
【点睛】此题的解题关键是弄清单位“1”，利用分数乘法的意义，把这条路的全长设为未知数x，找出题中数量间的相等关系，列出包含x的等式，解方程得到最终的结果。
19．有两箱苹果，乙箱是甲箱的，从甲箱取出3千克苹果放入乙箱后，乙箱的苹果是甲箱的。甲、乙两箱苹果共重多少千克？
【答案】48千克
【分析】根据题意，两箱苹果的总质量不变，把两箱苹果的总质量看作单位“1”；
原来乙箱是甲箱的，则原来乙箱苹果的质量占两箱苹果总质量的；
从甲箱取出3千克苹果放入乙箱后，乙箱的苹果是甲箱的，则现在乙箱苹果的质量占两箱苹果总质量的；
那么现在乙箱比原来多的3千克苹果质量，占两箱苹果总质量的（－），单位“1”未知，用除法计算，即可求出总质量。
【详解】3÷（－）
＝3÷（－）
＝3÷（－）
＝3÷
＝3×16
＝48（千克）
答：甲、乙两箱苹果共重48千克。
【点睛】本题考查分数除法的应用，抓住两箱苹果的总质量不变，把它看作单位“1”，单位“1”未知，用具体的数量除以它对应的分率，即可求出单位“1”的量。
20．小明说：“你有的个数比我少。”小红说：“你要是给我你的，我就比你多5个了。”小红原来有多少个？
【答案】45个
【分析】将小明个数看作单位“1”，小明个数×＝小明给小红的个数，小红个数是小明的，小明个数×小红对应分率＝小红个数，小明个数×＝小明剩下的个数，根据小红个数＋小明给小红的个数－5＝小明剩下的个数，列出方程求出x的值是小明个数，小明个数×小红对应分率＝小红个数，据此列式解答。
【详解】解：设小明原来有x个，则小红有个。
小红：
（个）
答：小红原来有45个。
【点睛】关键是理解分数乘法的意义，用方程解决问题的关键是找到等量关系。
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