5.3诱导公式 教学设计（表格式）2024-2025学年 高中数学人教A版（2019）必修第一册

课题 5.3诱导公式
课型 新授课 课时 3课时
学习目标 1、从三角函数的定义出发，借助单位圆关于原点的对称性，能推导的正弦、余弦和正切，发展直观想象、逻辑推理素养． 2、通过类比公式二的推导过程，能自主探究－α，π－α的正弦、余弦和正切，得出公式三、公式四，获得基本思想，积累基本活动经验． 3、通过建立公式一~六之间的联系，能利用公式将任意角的三角函数转化为锐角三角函数，会用公式一~六进行简单三角函数式的化简求值，发展数学运算的素养．
学习重点 诱导公式的记忆、理解、运用；利用圆的对称性探究诱导公式二~六．
学习难点 诱导公式的推导、记忆及符号的判断。 建立单位圆的对称性与的正弦、余弦和正切之间的联系．
学情分析 问题1如何想到借助单位圆的几何性质研究三角函数的性质？ 破解方法：学生知道数形结合是研究函数性质的主要方法，而本节是利用单位圆的几何性质研究三角函数的性质。在教学过程中，教师从以下几点进行引导：（1）三角函数是有“个性”的函数，他与前面的指数函数、对数函数，幂函数是不同的，前面的三个函数他们的对应关系具有代数意义，是代数运算的反映，而三角函数不是以代数运算为媒介的，是几何量（角与有向线段的对应）之间的对应。（2）从三角函数的定义知三角函数与单位圆密不可分，同时诱导公式以及同角三角函数关系式的研究，也是从单位圆开始的。顺着这样的思路，应该继续思考单位圆在坐标系中有哪些特殊对称性，将之代数化能得到哪些三角公式。帮助学生建立借助单位圆研究三角函数性质的思维习惯。 问题2公式五与六的推导是另一个难点．推导公式五的难度在于：第一，终边关于直线y=x对称的两个角之间的关系，学生不容易得到；第二，在平面直角坐标系中，关于直线y=x对称的两个点的坐标之间的关系相对复杂。 破解方法：在教学中，可以结合学生熟悉的图形进行分析，比如角α为小于45°的锐角时的情况，并利用平面几何的知识予以证明．更一般的情况可以在学习直线的方程之后完善。
核心知识 1.数学抽象：利用单位圆找不同角的关系； 2.逻辑推理：诱导公式的推导； 3.数学运算：有关三角函数求值、化简和恒等式证明问题。诱导公式二-----------六．
教学内容及教师活动设计 （含情景设计、问题设计、学生活动设计等内容） 教师个人复备
复习回顾 1. 任意角三角函数的定义 【答案】设角它的终边与单位圆交于点。那么（1） （3） 2.诱导公式一 ，其中，。 终边相同的角的同一三角函数值相等 二、探索新知 思考1： （1）.终边相同的角的同一三角函数值有什么关系 【答案】相等 （2）.角与的终边有何位置关系 【答案】终边关于x轴对称 （3）.角与的终边 有何位置关系 【答案】终边关于y轴对称 （4）.角与的终边 有何位置关系 【答案】终边关于原点对称 思考2： 已知任意角的终边与单位圆相交于点P(x,y),请同学们思考回答点P关于原点、x轴、y轴对称的三个点的坐标是什么 【答案】点P(x,y)关于原点对称点P1(-x,-y) 点P(x,y)关于x轴对称点P2(x,-y) 点P(x,y)关于y轴对称点P3(-x,y) 探究一 如图， 角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系？ 角π + 与角 的终边关于原点O对称， ， （公式二）， ， . 探究二 角与的三角函数值之间有什么关系 角 与角 的终边关于x轴对称，有。。 （公式三）, ， 探究三 根据上两组公式的推导，你能否推导出角与角的三角函数值之间的关系？ 角与角的终边关于轴对称，故有 所以，（公式四）， ， 思考3：这四个诱导公式有什么规律？ 的三角函数值，等于的同名函数值，前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号． 总结为一句话：函数名不变，符号看象限。 例1.求下列三角函数值 (1)cos225°; (2)sin; (3)sin(); (4)tan(-2040°). 活动:这是直接运用公式的题目类型,让学生熟悉公式,通过练习加深印象,逐步达到熟练、正确地应用.让学生观察题目中的角的范围,对照公式找出哪个公式适合解决这个问题. 解：(1)cos225°=cos(180°+45°)=-cos45°=; (2)sin=sin(2π)=sin=sin=sin=; (3)sin()=-sin=-sin(5π+)=-(-sin)=; (4)tan(-2040°)=-tan2040°=-tan(6×360°-120°) =tan120°=tan(180°-60°)=-tan60°=. 思考4：通过例题，你对诱导公式一、二、三、四有什么进一步的认识？你能归纳任意角的三角函数化为锐角三角函数的步骤吗？ 利用公式一—四把任意角的三角函数转化为锐角的三角函数,一般可按下列步骤进行: 上述步骤体现了由未知转化为已知的转化与化归的思想方法. 例2.化简： 解析见教材 探究四 作P（x,y)关于直线的对称点P1,以OP1为终边的角与角有什么关系？角与角的三角函数值之间有什么关系？ ，， 公式五 探究五：作点P（x,y)关于y轴的对称点P5，又能得到什么结论？ 。， 公式六 思考5：你能概括一下公式五、六的共同特点和规律吗？ 【答案】 的正弦(余弦)函数值,分别等于的余弦(正弦)函数值,前面加上一个把看成锐角时原函数值的符号. 思考6：诱导公式可统一为的三角函数与的三角函数之间的关系，你有什么办法记住这些公式？ 【答案】口诀：奇变偶不变，符号看象限 口诀的意义： 例3 证明： 。 解析见教材 例4 化简 解析见教材 例5 已知，且 ，求的值。 解析见教材 三、课堂练习 教材P191: 1、2、3、4 教材P194: 1、2、3 四、课堂小结 1.诱导公式； 2.诱导公式的记忆（口诀）； 3.利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤。 通过复习上节所学任意角三角函数的定义与诱导公式一，引入本节新课。建立知识间的联系，提高学生概括、类比推理的能力。 通过思考让学生了解角终边之间的关系，为推导诱导公式作铺垫，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 通过探究，由图形观察角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式二，提高学生分析问题、概括能力。 通过探究，由图形观察角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式三，提高学生分析问题、概括能力。 通过探究，由图形观察角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式三，提高学生分析问题、概括能力。 通过思考，寻找这四个诱导公式的共同规律，提高学生分析问题、概括能力。 通过例题练习诱导公式，进一步理解诱导公式的作用，提高学生解决问题的能力。 通过思考总结用诱导公式求任意角三角函数值的步骤，提高学生解决问题的能力。 通过探究，由图形观察角和角的三角函数值与的三角函数值之间有什么关系，进而得到诱导公式五、六，提高学生分析问题、概括能力。 通过思考，寻找诱导公式的共同规律，提高学生分析问题、概括能力。 通过例题的讲解，让学生进一步理解用诱导公式化简三角函数关系式、求任意角的三角函数值，提高学生解决与分析问题的能力。 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。
板书设计 诱导公式 诱导公式一 诱导公式二 利用诱导公式求任意角的三角函数值的步骤 诱导公式三 诱导公式四 口诀 诱导公式五 诱导公式六
作业设计 教材习题：P194: 1、2、3、4、5、6、7、8 教辅书中对应课时习题
教学反思 诱导公式沟通了任意角三角函数值与锐角三角函数值以及终边有特殊位置关系的角的三角函数值之间的联系．在求任意角的三角函数值，解决有关的三角变换等方面有重要的作用，特别是诱导公式中的角可以是任意角，即，它在终边具有某种对称性的角的三角函数变换中，应用广泛，如后续课中，画余弦曲线就是利用诱导公式把正弦曲线向左平移个长度单位而得到的． 对本节内容在进行教学设计之前,本人反复阅读了课程标准和教材,针对教材的内容,精心编排教学过程,致力于让学生亲历知识发生、发展的过程,积极投入到思维活动中来,通过与学生的互动交流,关注学生的思维发展,在逐渐展开中,引导学生用己学的知识、方法予以解决,并获得知识体系的更新与拓展,收到了一定的预期效果,让学生通过个人、小组、集体等多种解难释疑的尝试活动,感受“观察—一归纳—一概括一一应用”等环节,在知识的形成、发展过程中展开思维,逐步培养学生发现问题、探索问题、解决问题的能力和创造性思维的能力,充分发挥了学生的主体作用,也提高了学生主体的合作意识,达到了设计中所预想的目标。 然而还有一些缺憾:对本节内容,难度不高,本人认为,教师的干预(讲解)还是太多。在以后的教学中,对于一些较简单的内容,应放手让学生多一些探究与合作。