人教版2024-2025学年八年级数学上册专题14.5因式分解(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题14.5 因式分解
【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1x c1a2x c2 a1a2x2 a1c2x a2c1x c1c2 a1a x2a1c2 a2c1 x c1c2．
反过来，就得到：．
我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1， a2， c1， c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1x c1a2 x c2 ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x 2)(x 3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：= ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）= ；
（2）= ．
【探究与拓展】
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b ， pk qj e ，mk nj d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx py jnx qy k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式= ；
（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；
（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．
【思路点拨】
【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；
（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；
（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．
【解题过程】
解：【阅读与思考】画十字交叉图：
∴= x -3 x 2．
故答案是： x- 3 x 2；
【理解与应用】（1）画十字交叉图：
∴2x2 5x 7 = x 12x 7，
故答案是： x 12x 7；
（2）画十字交叉图：
∴6x2 7xy 2y2 = 2x y3x 2y，
故答案是：2x y3x 2y；
【探究与拓展】（1）画十字交叉图：
∴3x2 5xy 2y2 x 9y 4 x 2y 13x y 4，
故答案是：x 2y 13x y 4；
（2）如图，
∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3，
∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78．
∴m的值为：43或－78；
（3）∵，
∴，
画十字交叉图：
∴，
∴或，
∵x，y为整数，
∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：______．
3．（2023春·七年级课时练习）分解因式：___________．
4．（2023春·七年级课时练习）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．
5．（2023春·七年级课时练习）因式分解：_______．
6．（2023春·七年级课时练习）分解因式： ______ ．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
（5） （6）
（7） （8）
（9） （10）
（11） （12）
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：
（1）； （2）；
（3）； （4）；
（5）．
9．（2023春·七年级课时练习）因式分解：
（1）； （2）；
（3）．
10．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期末）分解因式：
（1）； （2）；
（3）计算：； （4）．
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）把下列多项式分解因式：
（1） （2）
（3） （4）
12．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
（1） （2）
（3） （4）
13．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：
14．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：
（1）
（2）
15．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）当为何值时，多项式可以分解为两个关于，的一次三项式的乘积？
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x ＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x ＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A ＋2A＋1＝（A＋1） ，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y） ﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m ﹣2m﹣2）﹣3
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式；
（2）分解因式：；
（3）分解因式：.
18．（2022秋·全国·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝　 　．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值：　 　．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
19．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
（1）；
（2）；
（3）．
20．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：；
（3）若、、为非零实数，且，求证：．
专题14.5 因式分解
【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1x c1a2x c2 a1a2x2 a1c2x a2c1x c1c2 a1a x2a1c2 a2c1 x c1c2．
反过来，就得到：．
我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1， a2， c1， c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1x c1a2 x c2 ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行．
像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x 2)(x 3)．
请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：= ．
【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
（1）= ；
（2）= ．
【探究与拓展】
对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b ， pk qj e ，mk nj d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx py jnx qy k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
（1）分解因式= ；
（2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值；
（3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值．
【思路点拨】
【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
（2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可；
【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案；
（2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解；
（3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解．
【解题过程】
解：【阅读与思考】画十字交叉图：
∴= x -3 x 2．
故答案是： x- 3 x 2；
【理解与应用】（1）画十字交叉图：
∴2x2 5x 7 = x 12x 7，
故答案是： x 12x 7；
（2）画十字交叉图：
∴6x2 7xy 2y2 = 2x y3x 2y，
故答案是：2x y3x 2y；
【探究与拓展】（1）画十字交叉图：
∴3x2 5xy 2y2 x 9y 4 x 2y 13x y 4，
故答案是：x 2y 13x y 4；
（2）如图，
∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积，
∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3，
∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78．
∴m的值为：43或－78；
（3）∵，
∴，
画十字交叉图：
∴，
∴或，
∵x，y为整数，
∴x=－1，y=0是一组符合题意的值．
1．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____．
【思路点拨】
利用十字相乘法，分别对二次项系数，常数项进行因数分解，交叉乘加，检验是否得中项的系数，从而确定适当的“十字”进行因式分解．
【解题过程】
解：利用十字相乘法，如图，
将二次项系数、常数项分别分解，交叉乘加验中项，得出答案，
15x2+13xy﹣44y2＝（3x﹣4y）（5x+11y）．
故答案为：（3x﹣4y）（5x+11y）．
2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：______．
【思路点拨】
利用整体思想及十字相乘法与立方差公式求解．
【解题过程】
解：原式，
，
．
故答案为：．
3．（2023春·七年级课时练习）分解因式：___________．
【思路点拨】
本题有a的四次项、a的三次项，a的二次项，有常数项，所以首要考虑的就是三一分组，前三项提取公因式后可以利用完全平方公式分解因式，然后还可以与第四项继续利用平方差公式分解因式．
【解题过程】
解：
=
=
=
=
故答案为：．
4．（2023春·七年级课时练习）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____．
【思路点拨】
首先将11x拆项，进而利用提取公因式法以及公式法分解因式进而得出答案．
【解题过程】
解：x3﹣6x2+11x﹣6
＝x3﹣6x2+9x+2x﹣6
＝x（x2﹣6x+9）+2（x﹣3）
＝x（x﹣3）2+2（x﹣3）
＝（x﹣3）[x（x﹣3）+2]
＝（x﹣3）（x2﹣3x+2）
＝（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．
故答案为：（x﹣3）（x﹣2）（x﹣1）．
5．（2023春·七年级课时练习）因式分解：_______．
【思路点拨】
将原式进行拆解变形为后，先将前面几项利用十字相乘法因式分解，后面分组进行提公因式，然后进一步分解因式即可.
【解题过程】
解：
=
=+
=
=.
所以答案为.
6．（2023春·七年级课时练习）分解因式： ______ ．
【思路点拨】
先利用乘法公式展开、合并得到原式，再进行分组得到完全平方公式，所以原式，然后再把括号内分组分解即可．
【解题过程】
解：原式
．
故答案为：．
7．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
（8）
（9）
（10）
（11）
（12）
【思路点拨】
（1）利用十字相乘法分解因式即可；
（2）利用十字相乘法分解因式即可；
（3）利用十字相乘法分解因式即可；
（4）利用十字相乘法分解因式即可；
（5）利用十字相乘法分解因式即可；
（6）利用十字相乘法分解因式即可；
（7）利用十字相乘法分解因式即可；
（8）利用十字相乘法分解因式即可；
（9）利用分组分解法分解因式即可；
（10）利用分组分解法分解因式即可；
（11）利用分组分解法分解因式即可；
（12）利用分组分解法分解因式即可．
【解题过程】
（1）解：
∴；
（2）解：
∴
（3）解：
∴；
（4）解：
∴；
（5）解：
∴；
（6）解：
∴；
（7）解：
∴原式；
（8）解：
∴原式；
（9）解：
；
（10）解：
；
（11）解：
；
（12）解：
．
8．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）；
（5）．
【思路点拨】
（1）先提公因式，再运用十字相乘法进行因式分解．
（2）运用公式法进行因式分解．
（3）先化简，再运用十字相乘法进行因式分解．
（4）先化简，再运用提公因式法进行因式分解．
（5）先分组，再提公因式进行因式分解．
【解题过程】
（1）解：（1）
＝
＝．
（2）
＝
＝
＝．
（3）
＝
＝
＝
＝
（4）
＝
＝
＝
＝
＝．
（5）
＝
＝
＝
＝．
9．（2023春·七年级课时练习）因式分解：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】
（1）利用分组法变形为后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．
（2）利用十字相乘法分解因式即可．
（3）变形为后用完全平方公式和平方差公式进行分解因式即可．
【解题过程】
（1）解：原式
；
（2）解：原式；
（3）解：原式
．
10．（2022秋·江西景德镇·七年级景德镇一中校考期末）分解因式：
（1）；
（2）；
（3）计算：；
（4）．
【思路点拨】
（1）综合利用提公因式法和公式法进行因式分解即可得；
（2）利用分组分解法进行因式分解即可得；
（3）先利用公式法分解和，从而可得的值，再代入计算即可得；
（4）先利用十字相乘法分解，再利用提公因式法进行因式分解即可得．
【解题过程】
解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3），
，
，
；
（4）原式
．
11．（2022秋·全国·八年级专题练习）把下列多项式分解因式：
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路点拨】
（1）（2）（3）利用分组分解法分解即可；
（4）利用完全平方公式分解即可．
【解题过程】
解：（1）
=
=；
（2）
=
=
=；
（3）
=
=
=
=；
（4）
=
=
=．
12．（2023·全国·九年级专题练习）因式分解：
（1）
（2）
（3）
（4）
【思路点拨】
（1）利用提公因式法分解因式求解即可；
（2）利用换元法设，然后利用十字相乘法分解因式求解即可；
（3）首先提公因式，然后利用平方差公式分解因式，最后再利用提公因式法分解因式即可求解；
（4）首先去括号，然后利用完全平方公式分解因式，最后利用平方差公式分解因式求解即可．
【解题过程】
（1）
；
（2）设，
∴原式
∴
；
（3）
；
（4）
．
13．（2023春·全国·七年级专题练习）因式分解：
【思路点拨】
前三项利用十字相乘法分解，再设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)，展开后利用等式的性质求得a=-5z，b=2z，即可分解．
【解题过程】
解：
，
设多项式分解因式为(x-y+a) (x+2y+b)，
则(x-y+a) (x+2y+b)=x2+xy-2y2+(a+b)x+(2a-b)y+ab，
∴a+b=-3z，2a-b=-12z，ab=-10z2，
解得：a=-5z，b=2z，
∴
．
14．（2022秋·全国·八年级专题练习）因式分解：
（1）
（2）
【思路点拨】
（1）先将和分别看作一个整体，利用十字相乘法因式分解，再利用提公因式法因式分解，最后利用公式法中的完全平方公式因式分解；
（2）原式是关于x、y、z的轮换式，若将原式视为关于x的多项式，则当x=y时，原式=0，故原式含有因子，又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，又因为原式为x，y，z的五次式，因此可以设 ，利用待定系数法即可求解．
【解题过程】
（1）解：
（2）解：当时，原式等于0，故原式含有因子，
又因为原式是关于x，y，z的轮换对称式，故原式还含因子，，
又因为原式为x，y，z的五次式，故可设
令，，得，
令，，得，
解得，，
所以．
15．（2022秋·北京海淀·七年级清华附中校考期末）当为何值时，多项式可以分解为两个关于，的一次三项式的乘积？
【思路点拨】
先将项和常数项进行十字分解，设出两个因式，两式相乘与原式比较，列出方程求解即可．
【解题过程】
解：利用“十字相乘法”分解二次三项式的知识，可以判定给出的二元二次六项式中三项应当分解为：，
现在要考虑，只须先改写作，
然后根据，这两项，即可断定是：，
解得：，或，，
又，
当，时，，
当，时，．
16．（2022秋·全国·八年级专题练习）阅读下列材料：
材料1：将一个形如x ＋px＋q的二次三项式因式分解时，如果能满足q＝mn且p＝m＋n则可以把x ＋px＋q因式分解成（x＋m）（x＋n），如：（1）x2＋4x＋3＝（x＋1）（x＋3）；（2）x2﹣4x﹣12＝（x﹣6）（x＋2）．
材料2：因式分解：（x＋y）2＋2（x＋y）＋1，解：将“x＋y看成一个整体，令x+y＝A，则原式＝A ＋2A＋1＝（A＋1） ，再将“A”还原得：原式＝（x＋y＋1）
上述解题用到“整体思想”整体思想是数学解题中常见的一种思想方法，请你解答下列问题：
（1）根据材料1，把x2＋2x﹣24分解因式；
（2）结合材料1和材料2，完成下面小题；
①分解因式：（x﹣y） ﹣8（x﹣y）＋16；
②分解因式：m（m﹣2）（m ﹣2m﹣2）﹣3
【思路点拨】
（1）将x2+2x-24写成x2+（6-4）x+6×（-4），根据材料1的方法可得（x+6）（x-4）即可；
（2）①令x-y=A，原式可变为A2-8A+16，再利用完全平方公式即可；
②令B=m（m-2）=m2-2m，原式可变为B（B-2）-3，即B2-2B-3，利用十字相乘法可分解为（B-3）（B+1），再代换后利用十字相乘法和完全平方公式即可．
【解题过程】
解：（1）x2+2x-24=x2+（6-4）x+6×（-4）=（x+6）（x-4）；
（2）①令x-y=A，则原式可变为A2-8A+16，
A2-8A+16=（A-4）2=（x-y-4）2，
所以（x-y）2-8（x-y）+16=（x-y-4）2；
②设B=m2-2m，则原式可变为B（B-2）-3，
即B2-2B-3=（B-3）（B+1）
=（m2-2m-3）（m2-2m+1）
=（m-3）（m+1）（m-1）2，
所以m（m-2）（m2-2m-2）-3=（m-3）（m+1）（m-1）2．
17．（2022秋·全国·八年级专题练习）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是因式分解中的分组分解法，一般的分组分解法有四种形式，即“”分法、“”分法、“”分法及“”分法等．
如“”分法：
请你仿照以上方法，探索并解决下列问题：
（1）分解因式；
（2）分解因式：；
（3）分解因式：.
【思路点拨】
（1）先运用平方差公式，再提取公因式即可；
（2）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，最后提取公因式即可；
（3）先移项，再提取公因式，再逆用完全平方公式，平方差公式即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
．
18．（2022秋·全国·八年级期末）因式分解与整式乘法互为逆运算．如对多项式x2﹣7x+12进行因式分解：
首先，如果一个多项式能进行因式分解，则这个多项式可看作是有两个较低次多项式相乘得来的．故可写成x2﹣7x+12＝（x+a）（x+b），即x2﹣7x+12＝x2+（a+b）x+ab（对任意实数x成立），由此得a+b＝﹣7，ab＝12．易得一组解：a＝﹣3，b＝﹣4，所以x2﹣7x+12＝（x﹣3）（x﹣4）．像这种能把一个多项式进行因式分解的方法，称为待定系数法．
（1）因式分解：x2﹣15x﹣34＝　 　．
（2）因式分解：x3﹣3x2+4＝（x+a）（x2+bx+c），请写出一组满足要求的a，b，c的值：　 　．
（3）请你运用待定系数法，把多项式3m2+5mn﹣2n2+m+9n﹣4进行因式分解．
【思路点拨】
（1）用十字相乘法分解．
（2）根据因式分解的结果进行计算，比较系数即可求解；
（3）先分组，再用待定系数法分解．
【解题过程】
（1）解：x2﹣15x﹣34
＝x2+（﹣17+2）x+（﹣17×2）
＝（x﹣17）（x+2）．
故答案为：（x﹣17）（x+2）．
（2）∵（x+a）（x2+bx+c）＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴x3﹣3x2+4＝x3+（a+b）x2+（ab+c）x+ac．
∴a+b＝﹣3，ab+c＝0，ac＝4．
解得：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2或a＝1，b＝﹣4，c＝4．
故选填一组即可．
故答案为：a＝﹣2，b＝﹣1，c＝﹣2．
（3）原式＝3m2+（5n+1）m﹣（2n2﹣9n+4）
＝（3×1）m2+[3m×（2n﹣1）﹣m（n﹣4）]﹣（2n﹣1）（n﹣4）
＝（3m﹣n+4）（m+2n﹣1）．
19．（2023秋·湖北襄阳·八年级期末）常用的因式分解的方法有：提公因式法和公式法，但有的多项式用上述方法无法分解，例如，我们细心观察就会发现，前两项可以分解，后两项也可以分解，分别分解后会产生公因式就可以完整的分解了，具体分解过程如下：
这种方法叫分组分解法，请利用这种方法因式分解下列多项式：
（1）；
（2）；
（3）．
【思路点拨】
（1）将前两项分为一组，后两项分为一组，分别因式分解，再提取公因式即可；
（2）对前三项利用完全平方公式因式分解，再整体运用平方差公式分解即可；
（3）前两项加1，后三项减1，分别构建完全平方式，然后再运用平方差公式因式分解即可．
【解题过程】
（1）解：
（2）
（3）
20．（2023秋·湖南衡阳·八年级统考期末）阅读下列材料：
因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多项式仅用上述方法就无法分解，如，我们细心观察这个式子就会发现，前三项符合完全平方公式，进行变形后可以与第四项结合再运用平方差公式进行分解．
过程如下：．
这种因式分解的方法叫分组分解法．
利用这种分组的思想方法解决下列问题：
（1）因式分解：；
（2）因式分解：；
（3）若、、为非零实数，且，求证：．
【思路点拨】
（1）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用平方差公式因式分解即可得到答案；
（2）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再利用提公因式法因式分解即可得到答案；
（3）根据阅读材料中的分组分解方法，先分组再综合运用提取公因式法和公式法因式分解即可得到答案．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）解：
；
（3）证明：，
，
，
，
，
，
，
，
∴．
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