人教版2024-2025学年八年级数学上册专题15.2解分式方程(压轴题专项讲练)(学生版+解析)

专题15.2 解分式方程
【典例1】已知，关于x的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求b为何值时分式方程无解；
（3）若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
【思路点拨】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【解题过程】
（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即时，
此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（　　）
A． B． C． D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于方程的解满足，则整数m有（ ）个．
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
3．（2023·全国·九年级专题练习）方程的解为y=____________.
4．（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于的分式方程无解，则的值为 _____．
5．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）解下列方程：
（1）； （2）．
6．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）解分式方程
（1） （2）
7．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）解分式方程：
（1）； （2）．
8．（2023春·上海·八年级专题练习）解方程：
9．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：.
10．（2023·全国·九年级专题练习）解方程
（1）
（2）
11．（2022秋·上海·七年级专题练习）当为何值时，分式方程的解不小于1
12．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于的分式方程
（1）若分式方程的根是，求的值
（2）若分式方程有增根，求的值
（3）若分式方程有无解，求的值
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）观察下列各式：，，，，，…
（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___．
（2）请利用上述规律计算：．（n为正整数）
（3）请利用上述规律，解方程：．
14．（2023秋·广东珠海·八年级统考期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题：
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）解方程：．
15．（2023春·八年级课时练习）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 ；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ；
（3）由（2）可知，在解方程时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
（4）利用（2）的结论解方程：．
16．（2023春·八年级课时练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘以y得：，解得：，经检验：
都是方程的解，
∴当时，，解得；当时，，解得：．
经检验：或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1）若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
（2）模仿上述换元法解方程：．
17．（2022秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考阶段练习）对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且），这里等式右边是通常的四则运算．如： ， ．
（1）填空： （用含的代数式表示）；
（2）若，且．
①求与的值；
②若，求的值．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则______，______．
（2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
（3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
专题15.2 解分式方程
【典例1】已知，关于x的分式方程．
（1）当，时，求分式方程的解；
（2）当时，求b为何值时分式方程无解；
（3）若，且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，求b的值．
【思路点拨】
（1）将a和b的值代入分式方程，解分式方程即可；
（2）把a的值代入分式方程，分式方程去分母后化为整式方程，分类讨论b的值，使分式方程无解即可；
（3）将a=3b代入方程，分式方程去分母化为整式方程，表示出整式方程的解，由解为整数和b为正整数确定b的取值．
【解题过程】
（1）解：把a=2，b=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
解得：，
检验：把代入，
∴原分式方程的解为：．
（2）解：把a=1代入原分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
去括号，得：，
移项、合并同类项，得：，
①当时，即，原分式方程无解；
②当时，得，
Ⅰ.时，原分式方程无解，
即时，
此时b不存在；
Ⅱ.x=5时，原分式方程无解，
即时，
此时b=5；
综上所述，时，分式方程无解．
（3）解：把a=3b代入分式方程中，
得：，
方程两边同时乘以，
得：，
，
解得：，
∵b为正整数，x为整数，
∴10+ b必为195的因数，10+b≥11，
∵195=3×5×13，
∴195的因数有1、3、5、13、15、39、65、195，
∵1、3、5都小于11，
∴10十b可以取13、15、39、65、195这五个数，
对应地，方程的解x=3、5、13、15、17，
又x=5为分式方程的增根，故应舍去，
对应地，b只可以取3、29、55、185，
∴满足条件的b可取3、29、55、185这四个数．
1．（2023春·上海·八年级专题练习）已知关于x的方程的解为．则关于y的方程的解为（　　）
A． B． C． D．
【思路点拨】
将代入关于x的方程中，求出，再将，代入关于y的方程中，求出，再进行检验即可得出答案．
【解题过程】
解：∵关于x的方程的解为，
∴，
，
∴，
当时，关于y的方程是：，
∴，
∴，
∴，
经检验：是关于y的方程的解．
故选：D．
2．（2023春·江苏·八年级专题练习）关于方程的解满足，则整数m有（ ）个．
A．10个 B．11个 C．12个 D．13个
【思路点拨】
根据题意将分式方程解出来，再根据其解满足，可得进而根据题意求解即可．
【解题过程】
解：
，
当即时，，
∵，
∴，且，即和，
当时，，，
解得，
此时，满足条件的整数m共有、0、1、2、3、5、6、7、8、9，共10个；
当时，，，
此等式无解，
综上所述，满足条件的整数m有10个，
故选A．
3．（2023·全国·九年级专题练习）方程的解为y=____________.
【思路点拨】
此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答.观察此方程可以发现，分子均相同，分母按大小排列依次相差2，所以此方程可采用特殊的方法来解.
【解题过程】
解：移项，得：,
方程两边通分，得：,
即，
方程的两边同乘以，得：
，
即
解得：y=5，
经检验，y=5是原方程的根.
∴原方程的解为：y=5.
4．（2023·山东菏泽·校考一模）已知关于的分式方程无解，则的值为 _____．
【思路点拨】
根据分式方程的解法步骤，结合分式方程无解的情况即可得到参数的值．
【解题过程】
解：，
去分母得，
，
关于的分式方程无解，
①当时，即，此时无解；
②当时，即，解得，
此时分式方程无解，必须有或，则或，
当时，方程无解；
当时，解得；
综上所述，的值为或，
故答案为：或．
5．（2022秋·山东潍坊·八年级统考期末）解下列方程：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．
【解题过程】
（1）解：左右两边都乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
将代入中，
所以是增根，原方程无解．
（2）左右两边都乘以，得，
去括号，得，
移项，得，
合并同类项，得，
系数化为1，得，
经检验，是原方程的解，
所以原方程的解是．
6．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）解分式方程
（1）
（2）
【思路点拨】
（1）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可；
（2）去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1，检验，解分式方程即可．
【解题过程】
（1）解：方程两边同乘，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
检验，当时，，
∴是原方程的解；
（2）解：方程两边同乘，得：，
去括号，得：，
移项，合并，得：，
系数化1，得：；
检验，当时，，
∴是原方程的增根，舍去；
∴原方程无解．
7．（2022秋·河南商丘·八年级统考期末）解分式方程：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
（1）先去分母，然后求解检验即可；
（2）将分式方程去分母，然后求解检验即可．
【解题过程】
解：（1）方程两边同时乘，得，
化简，得
解得： ，
经检验，是原分式方程的解，
所以．
（2）解：去分母得，
整理得，，
移项、合并同类项得，，
解得，
检验：当时，，，
∴是原分式方程的解，
所以．
8．（2023春·上海·八年级专题练习）解方程：
【思路点拨】
先将原方程变形，再进一步化简转化为整式方程求解即可.
【解题过程】
解：原方程可变形为，，
化简得，，
即，
∴2x+5=0，
解得，x=,
检验，把x=代入 ≠0，
∴原方程的解为x=.
9．（2023·全国·九年级专题练习）解方程：.
【思路点拨】
原方程变形为，再去分母求解方程进行检验即可.
【解题过程】
解：原方程可化为，
即，
，
，
，
，
，
.
经检验，是原方程的根.
∴原方程的解是.
10．（2023·全国·九年级专题练习）解方程
（1）
（2）
【思路点拨】
（1）此方程如果直接去分母，得一元三次方程，不易解答．通过化简，观察此方程分子有相同的部分，可采用特殊的方法来解．
（2）此方程不能直接去分母，由，可化简方程左边的式子，观察方程可得分子是相同的，即可得分母相等，转化成整式方程，求解即可得出答案．
【解题过程】
（1）解：方程化简，得：
，
，
，
，
当x=1时，等式成立；
当x≠1时，转化为整式方程为：4（4x-3）（4x-5）=（8x-9）（8x-7），
整理方程，得：64x2-128x+60=64x2-128x+63，等式不成立．
经检验，x=1是方程的解．
（2）方程化简，得： ，
，
，
（x+1）（x+2002）=3x+6006，
x2+2003x+2002=3x+6006，
解得：x=-2002或x=2，
经检验，x=-2002是增根，x=2是原方程的根．
11．（2022秋·上海·七年级专题练习）当为何值时，分式方程的解不小于1
【思路点拨】
先给方程两边乘以最小公分母（x+3）（x-2）把原方程转化为整式方程，再解整式方程求得x的值，然后列出关于m的不等式，通过解不等式来求m的取值范围．
【解题过程】
解：由原方程得：，
整理得：，解得：.
∵分式方程的解不小于1，且、，
∴，
解得：，且.
12．（2023春·江苏扬州·八年级校联考期中）已知关于的分式方程
（1）若分式方程的根是，求的值
（2）若分式方程有增根，求的值
（3）若分式方程有无解，求的值
【思路点拨】
（1）把方程的解代入方程，解之即可得到答案；
（2）原方程整理得，由分式有增根，则，得到或，分两种情况分别求解即可；
（3）由（2）可知，，分和两种情况分别求解即可.
【解题过程】
（1）解：把代入得，
，
解得；
（2），
两边都乘以得，
，
整理得，，
由分式有增根，则，
∴或，
把代入，a的值不存在，
把代入，解得，
综上可知，；
（3）由（2）可知，，
当时，方程无解，即，
当时，要使方程无解，则分式方程有增根，由（2）知，
综上可知，或．
13．（2022秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十七中学校考期中）观察下列各式：，，，，，…
（1）请猜想出表示上面各式的特点的一般规律，用含n（n表示正整数）的等式表示出来___．
（2）请利用上述规律计算：．（n为正整数）
（3）请利用上述规律，解方程：．
【思路点拨】
（1）根据给出的式子，写出用n表示的一般规律即可；
（2）利用找出的一般规律进行计算即可；
（3）根据找出的规律将方程变形为，然后解分式方程即可．
【解题过程】
（1）解：∵，
，
，
，
，
…，
∴．
故答案为：．
（2）解：
．
（3）解：分式方程整理得：，
即，
方程两边同时乘，得，
解得：，
检验：把代入得：，
∴是原分式方程的解，
∴原方程的解为：．
14．（2023秋·广东珠海·八年级统考期末）李华在计算时，探究出了一个“裂项”的方法，如：，利用上面这个运算规律解决以下问题：
（1）求的值；
（2）证明：；
（3）解方程：．
【思路点拨】
（1）根据“裂项”的方法，计算即可；
（2）根据“裂项”的方法，计算证明即可；
（3）首先根据“裂项”的方法化简方程左边，然后把分式方程化为整式方程，计算即可．
【解题过程】
（1）解：
；
（2）证明：
，
∵，
∴，
∴；
（3）解：
，
，
，
，
，
，
，
，
，
检验：是原分式方程的解，
∴原方程的解为．
15．（2023春·八年级课时练习）先阅读下面的材料，然后回答问题：
方程的解为，；
方程的解为，；
方程的解为，；
…
（1）观察上述方程的解，猜想关于x的方程的解是 ；
（2）根据上面的规律，猜想关于x的方程的解是 ；
（3）由（2）可知，在解方程时，可以变形转化为的形式求值，按要求写出你的变形求解过程．
（4）利用（2）的结论解方程：．
【思路点拨】
（1）根据已知材料即可得出答案；
（2）根据已知材料即可得出答案；
（3）把方程转化成，由材料得出，，求出方程的解即可；
（4）利用换元法，转化为材料中的规律解答．
【解题过程】
（1）解：关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（2）关于x的方程的解是：，，
故答案为：，；
（3），
，
，
即，，
解得：，；
（4）令，则方程可化为，
由（2）规律可得，，；
即或，
解得，．
16．（2023春·八年级课时练习）阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：
解：设，则原方程化为：，方程两边同时乘以y得：，解得：，经检验：
都是方程的解，
∴当时，，解得；当时，，解得：．
经检验：或都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为或．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
（1）若在方程中，设 ，则原方程可化为 ，原方程的解为 ；
（2）模仿上述换元法解方程：．
【思路点拨】
（1）根据换元法，可得答案；
（2）根据分式的加减，可得，根据换元法，可得答案．
【解题过程】
（1）设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以得：，解得：或2，
经检验：和2都是方程的解．
当时，，解得；
当时，，解得：．
经检验：和是原分式方程的解，
故答案为：，，或；
（2）原方程化为：，
设，则原方程化为：，
方程两边同时乘以y得：，解得：，
经检验：都是方程的解．
当时，，该方程无解；
当时，，解得：．
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
17．（2022秋·湖北十堰·八年级十堰市实验中学校考阶段练习）对定义一种新运算，规定（其中是非零常数，且），这里等式右边是通常的四则运算．如： ， ．
（1）填空： （用含的代数式表示）；
（2）若，且．
①求与的值；
②若，求的值．
【思路点拨】
（1）利用新运算的规定解答即可；
（2）①利用新运算的规定得到关于的方程，解方程即可求得结论；②利用新定义的规定列出关于的等式，再将的值代入求解即可．
【解题过程】
（1）解：．
故答案为：；
（2）①∵，
∴，整理，可得①，
∵，
∴，
∴②，
由①、②组成二元一次方程组，解得；
②∵，
∴ ，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
经检验，是原方程的根，
∴．
18．（2023春·浙江·七年级专题练习）我们定义：形如（m，n不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”．
例如为十字分式方程，可化为，∴，．
再如为十字分式方程，可化为．∴，．
应用上面的结论解答下列问题：
（1）若为十字分式方程，则______，______．
（2）若十字分式方程的两个解分别为，，求的值．
（3）若关于x的十字分式方程的两个解分别为，（，），求的值．
【思路点拨】
（1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可；
（2）先根据十字分式方程的定义求出，再化简得，最后代入计算求解即可；
（3）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可．
【解题过程】
（1）解：方程是十字分式方程，可化为，
，
故答案为：，．
（2）解：十字分式方程的两个解分别为，，
，
∵ ，
∴原式 ．
（3）解：方程是十字分式方程，可化为，
∴，，
∵，，
∴，，即，，
代入得，，
∴的值为2022．
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