人教版2024-2025学年八年级数学上册专题15.4分式(压轴题综合测试卷)(学生版+解析)
文档属性
| 名称 | 人教版2024-2025学年八年级数学上册专题15.4分式(压轴题综合测试卷)(学生版+解析) |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 451.8KB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2024-10-21 09:26:23 | ||
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文档简介
专题15.4 分式（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春 梁溪区期中）下列各式中：，，，，，，，分式有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（真题 顺城区期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春 镇平县月考）在分式中，把x，y的值都扩大到原来100倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的100倍 B．扩大到原来的50倍
C．不变 D．缩小到原来的
4．（2022春 宛城区校级月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．a+b
C． D．
5．（真题 任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
6．（真题 房县期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
7．（2022 昆明模拟）某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（真题 鼓楼区校级期末）计算所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022 景县校级模拟）有一道题目：已知（） A＝1，若代数式A＜2，求a的取值范围．嘉嘉认为a＜5；淇淇说嘉嘉的结论不对．关于两人的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确
B．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠3
C．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠﹣3
D．淇淇的说法正确，a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5
10．（2022 渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程1的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022春 宜兴市校级月考）当x 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 ．
12．（真题 交城县期末）若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ．
13．（真题 江北区期末）已知，则 ．
14．（真题 思明区校级期末）已知三个数，x，y，z满足，则y的值是 ．
15．（2022 绵阳模拟）为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作 天．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（4分）（2022春 镇平县月考）计算下列各题：
（1）（）； （2）（） ．
17．（4分）（2022春 靖江市校级月考）解方程：
（1）； （2）．
18．（6分）（2022 济宁一模）化简：（）并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．
19．（8分）（真题 丰台区期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
．
反过来，有．
运用这个运算规律可以计算：
11．
（1）请你运用这个运算规律计算： ；
（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的第m次倒出的水量是L的按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗？
请你补充解决过程：
①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．
20．（8分）（2022春 靖江市月考）阅读：在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度100%．
公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 ．
拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．
解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程）
21．（8分）（2022 蓬安县校级开学）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 千克，第一次购进水果的单价为 元/千克；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 （直接写出结果）．
22．（8分）（2022春 海陵区校级月考）已知等式xy﹣2y﹣2＝0．
（1）①用含x的代数式表示y；
②若x、y均为正整数，求x、y的值；
（2）设p，q，y1、y2分别是分式中的x取x1、x2（x2＞x1＞2）时所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由．
23．（9分）（2021 武进区校级自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．
（1）求的值．
（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题15.4 分式（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春 梁溪区期中）下列各式中：，，，，，，，分式有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
根据分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
【解题过程】
解：，，，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，是分式，共3个，
故选：B．
2．（真题 顺城区期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
根据最简分式的概念逐一判断即可．
【解题过程】
解：A．，不是最简分式，不符合题意；
B．（x﹣2）＝﹣x+2，不是最简分式，不符合题意；
C．是最简分式，符合题意；
D．，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
3．（2022春 镇平县月考）在分式中，把x，y的值都扩大到原来100倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的100倍 B．扩大到原来的50倍
C．不变 D．缩小到原来的
【思路点拨】
通过分式的基本性质，将分子分母同时乘以100得到，分式的值不变，然后将中，把x，y的值都扩大到原来100倍，得到，所以分式的值不变．
【解题过程】
解：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
∴将中的分子和分母同时乘以100，分式的值不变，
∴原式，
∵中，把x，y的值都扩大到原来100倍，
∴原式，
∴分式的值不变，
故选：C．
4．（2022春 宛城区校级月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．a+b
C． D．
【思路点拨】
根据分式的基本性质逐一处理即可．
【解题过程】
解：A、，故A选项不符合题意；
B、是最简分式，不能继续化简，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意．
故选：D．
5．（真题 任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【思路点拨】
利用分式的乘法与除法的法则对各式进行运算，即可得出结果．
【解题过程】
解：①，故①正确；
②，故②正确；
③，故③错误；
④，故④错误，
故选：C．
6．（真题 房县期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
【思路点拨】
设从家到学校的单程为1，那么总路程为2，根据平均速度，列分式并化简即可得出答案．
【解题过程】
解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为，下坡时间为，
则平均速度（千米/时）．
故选：C．
7．（2022 昆明模拟）某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
由实际每天比原计划多改造10米，可得出原计划每天改造（x﹣10）米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际所用时间比原计划少十分之一，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解题过程】
解：∵施工时，每天比原计划多改造10米，且实际每天改造x米，
∴原计划每天改造（x﹣10）米．
依题意得：（1）．
故选：C．
8．（真题 鼓楼区校级期末）计算所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
原式进行通分计算．
【解题过程】
解：原式
，
故选：C．
9．（2022 景县校级模拟）有一道题目：已知（） A＝1，若代数式A＜2，求a的取值范围．嘉嘉认为a＜5；淇淇说嘉嘉的结论不对．关于两人的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确
B．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠3
C．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠﹣3
D．淇淇的说法正确，a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5
【思路点拨】
根据（） A＝1，可以计算出A，然后根据A＜2和（a+3）（a﹣3）≠0，即可得到a的取值范围，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解题过程】
解：∵（） A＝1，
∴A＝1÷（）
＝1
＝1
＝a﹣3，
∵A＜2，
∴a﹣3＜2，
解得a＜5，
又∵（a+3）（a﹣3）≠0，
∴a≠±3，
由上可得，当A＜2时，a的取值范围是a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5，
故选：D．
10．（2022 渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程1的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
【思路点拨】
利用不等式组的解为x＞2，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得a值，将符合条件的a值相加即可得出结论．
【解题过程】
解：∵不等式组的解集为x＞2，
∴a﹣2≤2．
∴a≤4．
关于y的分式方程1的解为y．
∵y＝3是原分式方程的增根，
∴3．
∴a≠3．
∵关于y的分式方程1的解为正整数，
∴为正整数．
∴a＝2，4，7．
∵a≤4，
∴a＝2，4．
∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．
故选：C．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022春 宜兴市校级月考）当x ≠1 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 1 ．
【思路点拨】
根据分式有意义的条件，分母不为0；分式值为0，即分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解题过程】
解：当x﹣1≠0时，
即当x≠1时，分式有意义，
∵分式的值为0，
∴x2﹣1＝0且x+1≠0，
∴x＝±1且x≠﹣1，
∴x＝1，
故答案为：≠1，1．
12．（真题 交城县期末）若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ﹣4或6 ．
【思路点拨】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解题过程】
解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
∵分式方程会产生增根，
∴（x+2）（x﹣2）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝2，
把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，
解得：m＝6；
把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0，
解得：m＝﹣4，
则m的值是﹣4或6．
故答案为：﹣4或6．
13．（真题 江北区期末）已知，则 ．
【思路点拨】
根据已知可得3，从而得x3，然后先求出的值即可解答．
【解题过程】
解：∵，
∴3，
∴x3，
x2﹣1
＝x21
＝（x）2﹣2﹣1
＝32﹣3
＝6，
∴，
故答案为：．
14．（真题 思明区校级期末）已知三个数，x，y，z满足，则y的值是 ．
【思路点拨】
已知等式左边分子分母都除以分子，得到关系式，联立求出y的值即可．
【解题过程】
解：∵三个数，x，y，z满足3，，，
∴3，，，即①，②，③，
②﹣③得：④，
①+④得：，
解得：y．
故答案为：．
15．（2022 绵阳模拟）为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作 10 天．
【思路点拨】
设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．由题意：甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．列出分式方程，得出x＝60，则1.5x＝90，再设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，然后由题意：若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解题过程】
解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．
根据题意得：4，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x＝90．
即乙工程队每天能改造道路的长度为60米，甲工程队每天能改造道路的长度为90米．
设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：7m5≤195．
解得：m≥10．
即至少安排甲队工作10天，
故答案为：10．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（2022春 镇平县月考）计算下列各题：
（1）（）；
（2）（） ．
【思路点拨】
（1）先化简第一个分式，再通分、计算分式的加减法；
（2）先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可．
【解题过程】
解：（1）原式
；
（2）原式＝[]
＝（）
．
17．（2022春 靖江市校级月考）解方程：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘3（x﹣2）得出3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解题过程】
解：（1），
1，
方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣1；
（2），
1，
方程两边都乘3（x﹣2），得3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，3（x﹣2）＝0，
所以x＝2是增根，
即原方程无实数根．
18．（2022 济宁一模）化简：（）并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．
【思路点拨】
先算括号内的，将除化为乘，化简后将有意义的x的值代入计算即可．
【解题过程】
解：原式＝[]
，
∵x＝0，x＝2和x＝4时原式无意义，
∴当x＝1时，
原式
．
19．（真题 丰台区期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
．
反过来，有．
运用这个运算规律可以计算：
11．
（1）请你运用这个运算规律计算： ；
（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的第m次倒出的水量是L的按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗？
请你补充解决过程：
①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用拆项方法变形即可得到结果；
（2）①由第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，得出倒2次水倒出的总水量是，第3次倒出的水量是L的，那么倒3次水倒出的总水量是，同理得出倒m次水倒出的总水量的式子是，利用得出的拆项方法计算即可得到结果；
②将①的计算结果与1比较即可求解．
【解题过程】
解：（1）
．
故答案为：；
（2）①
＝1
＝1
（L）；
②这1L水不能倒完，理由如下：
∵1，
∴无论倒水次数m有多大，倒出的总水量总小于1L，
因此，按照这种倒水的方法，这1L水不能倒完．
20．（2022春 靖江市月考）阅读：在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度100%．
公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 25% ．
拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．
解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程）
【思路点拨】
公式应用：直接应用公式代入求值即可；
拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意列分式方程，解方程并且检验即可；
解决本题：先表示出原来盐水的浓度，再表示加入c克盐后的盐水浓度，由于现在盐水浓度﹣原来盐水浓度大于0，可知盐水浓度变化．
【解题过程】
解：公式应用：盐水浓度为：25%，
故答案为：25%；
拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意，
得，
解得m＝25，
经检验，m＝25是原方程的根，
∴需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．
解决问题：食盐水的浓度变大了，理由如下：
∵原来盐水的浓度：，现在盐水的浓度：，
∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度，
∵a＞0，c＞0，且a＞b，
∴a+c＞0，a﹣b＞0，
∴0，
∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度＞0，
∴现在盐水浓度大于原来盐水的浓度，食盐水的浓度变大了．
21．（2022 蓬安县校级开学）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 1.5x 千克，第一次购进水果的单价为 元/千克；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 2或3 （直接写出结果）．
【思路点拨】
（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为元/千克，
（2）由题意：第二次购进水果的价格比第一次高出2元，列出分式方程，解方程即可；
（3）由题意：共获利为1440元，列出方程，求出符合题意的a的正整数解即可．
【解题过程】
解：（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为元/千克，
故答案为：1.5x，；
（2）由题意得：2，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×120＝180，
答：第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克；
（3）由题意得：15m+（15﹣a）（120+180﹣m）﹣960﹣1800＝1440，
解得：a，
∵a为正整数，100≤m≤200，
∴当a＝1时，m＝0，不合题意舍去；
当a＝2时，m＝150，符合题意；
当a＝3时，m＝200，符合题意；
当a＝4时，m＝225超过范围；
综上所述，a的值为2或3，
故答案为：2或3．
22．（2022春 海陵区校级月考）已知等式xy﹣2y﹣2＝0．
（1）①用含x的代数式表示y；
②若x、y均为正整数，求x、y的值；
（2）设p，q，y1、y2分别是分式中的x取x1、x2（x2＞x1＞2）时所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由．
【思路点拨】
（1）将已知等式变形即可求出y；
（2）由于x、y均为正整数，所以x﹣2是2的正约数2或1，即可求出x和y的值；
（3）先将p和q化简，然后换元m＝x1﹣2，n＝x2﹣2，得出p﹣q，可知p﹣q＜0，从而得出p和q的大小关系．
【解题过程】
解：（1）∵xy﹣2y﹣2＝0，
∴（x﹣2）y＝2，
∴y；
（2）∵x、y均为正整数，
∴x﹣2＝2或1，
∴x＝4或3，
∴当x＝4时，y＝1，
当x＝3时，y＝2．
（3）p＜q，理由如下：
∵y1，y2，
∴q，
令m＝x1﹣2，n＝x2﹣2，
则p，q，
∴p﹣q（），
∵x2＞x1＞2，
∴m＞0，n＞0，
∴mn＞0，m+n＞0，（m﹣n）2＞0，
∴p﹣q＜0，
∴p＜q．
23．（2021 武进区校级自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．
（1）求的值．
（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
【思路点拨】
（1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，从而得xyz＝x+y+z，将所求分式通分后代入可得结论；
（2）计算两边的差，把（1）中：xyz＝x+y+z，代入并计算可得差≥0，从而得结论．
【解题过程】
解：（1）由等式，
去分母得z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz，
x2y2z+xy2z2+x2yz2﹣[x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝0，
xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）＝0，
∴xyz＝x+y+z，
∴原式．
（2）证明：由（1）得：xyz＝x+y+z，
又∵x，y，z为正实数，
∴9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8xyz（xy+yz+zx）
＝9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8（x+y+z）（xy+yz+zx）
＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）﹣6xyz
＝x（y﹣z）2+y（z﹣x）2+z（x﹣y）2≥0．
∴9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
注：（x+y）（y+z）（z+x）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+2xyz；
（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春 梁溪区期中）下列各式中：，，，，，，，分式有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（真题 顺城区期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春 镇平县月考）在分式中，把x，y的值都扩大到原来100倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的100倍 B．扩大到原来的50倍
C．不变 D．缩小到原来的
4．（2022春 宛城区校级月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．a+b
C． D．
5．（真题 任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
6．（真题 房县期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
7．（2022 昆明模拟）某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
8．（真题 鼓楼区校级期末）计算所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
9．（2022 景县校级模拟）有一道题目：已知（） A＝1，若代数式A＜2，求a的取值范围．嘉嘉认为a＜5；淇淇说嘉嘉的结论不对．关于两人的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确
B．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠3
C．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠﹣3
D．淇淇的说法正确，a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5
10．（2022 渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程1的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022春 宜兴市校级月考）当x 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 ．
12．（真题 交城县期末）若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ．
13．（真题 江北区期末）已知，则 ．
14．（真题 思明区校级期末）已知三个数，x，y，z满足，则y的值是 ．
15．（2022 绵阳模拟）为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作 天．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（4分）（2022春 镇平县月考）计算下列各题：
（1）（）； （2）（） ．
17．（4分）（2022春 靖江市校级月考）解方程：
（1）； （2）．
18．（6分）（2022 济宁一模）化简：（）并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．
19．（8分）（真题 丰台区期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
．
反过来，有．
运用这个运算规律可以计算：
11．
（1）请你运用这个运算规律计算： ；
（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的第m次倒出的水量是L的按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗？
请你补充解决过程：
①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．
20．（8分）（2022春 靖江市月考）阅读：在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度100%．
公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 ．
拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．
解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程）
21．（8分）（2022 蓬安县校级开学）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 千克，第一次购进水果的单价为 元/千克；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 （直接写出结果）．
22．（8分）（2022春 海陵区校级月考）已知等式xy﹣2y﹣2＝0．
（1）①用含x的代数式表示y；
②若x、y均为正整数，求x、y的值；
（2）设p，q，y1、y2分别是分式中的x取x1、x2（x2＞x1＞2）时所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由．
23．（9分）（2021 武进区校级自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．
（1）求的值．
（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
专题15.4 分式（满分100）
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
题号 一 二 三 总分
得分
评卷人 得 分
一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．（2022春 梁溪区期中）下列各式中：，，，，，，，分式有（ ）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
【思路点拨】
根据分式定义：一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式进行分析即可．
【解题过程】
解：，，，，的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．
，，是分式，共3个，
故选：B．
2．（真题 顺城区期末）下列分式中，是最简分式的是（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
根据最简分式的概念逐一判断即可．
【解题过程】
解：A．，不是最简分式，不符合题意；
B．（x﹣2）＝﹣x+2，不是最简分式，不符合题意；
C．是最简分式，符合题意；
D．，不是最简分式，不符合题意；
故选：C．
3．（2022春 镇平县月考）在分式中，把x，y的值都扩大到原来100倍，则分式的值（ ）
A．扩大到原来的100倍 B．扩大到原来的50倍
C．不变 D．缩小到原来的
【思路点拨】
通过分式的基本性质，将分子分母同时乘以100得到，分式的值不变，然后将中，把x，y的值都扩大到原来100倍，得到，所以分式的值不变．
【解题过程】
解：根据分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．
∴将中的分子和分母同时乘以100，分式的值不变，
∴原式，
∵中，把x，y的值都扩大到原来100倍，
∴原式，
∴分式的值不变，
故选：C．
4．（2022春 宛城区校级月考）下列运算正确的是（ ）
A． B．a+b
C． D．
【思路点拨】
根据分式的基本性质逐一处理即可．
【解题过程】
解：A、，故A选项不符合题意；
B、是最简分式，不能继续化简，故B选项不符合题意；
C、，故C选项不符合题意；
D、，故D选项符合题意．
故选：D．
5．（真题 任丘市期末）下列各分式运算结果正确的是（ ）
①；②；③；④．
A．①③ B．②④ C．①② D．③④
【思路点拨】
利用分式的乘法与除法的法则对各式进行运算，即可得出结果．
【解题过程】
解：①，故①正确；
②，故②正确；
③，故③错误；
④，故④错误，
故选：C．
6．（真题 房县期末）小明通常上学时走上坡路，途中平均速度为m千米/时，放学回家时，沿原路返回，通常的平均速度为n千米/时，则小明上学和放学路上的平均速度为（ ）千米/时．
A． B． C． D．
【思路点拨】
设从家到学校的单程为1，那么总路程为2，根据平均速度，列分式并化简即可得出答案．
【解题过程】
解：设上学路程为1，则往返总路程为2，上坡时间为，下坡时间为，
则平均速度（千米/时）．
故选：C．
7．（2022 昆明模拟）某工程队要对一条长3千米的人行道进行改造，为尽量减少施工对交通造成的影响，施工时，每天比原计划多改造10米，结果所用时间比原计划少十分之一，求实际每天改造多少米？设实际每天改造x米，则可列方程为（ ）
A． B．
C． D．
【思路点拨】
由实际每天比原计划多改造10米，可得出原计划每天改造（x﹣10）米，利用工作时间＝工作总量÷工作效率，结合实际所用时间比原计划少十分之一，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解题过程】
解：∵施工时，每天比原计划多改造10米，且实际每天改造x米，
∴原计划每天改造（x﹣10）米．
依题意得：（1）．
故选：C．
8．（真题 鼓楼区校级期末）计算所得的结果是（ ）
A． B． C． D．
【思路点拨】
原式进行通分计算．
【解题过程】
解：原式
，
故选：C．
9．（2022 景县校级模拟）有一道题目：已知（） A＝1，若代数式A＜2，求a的取值范围．嘉嘉认为a＜5；淇淇说嘉嘉的结论不对．关于两人的说法，下列判断正确的是（ ）
A．嘉嘉的说法正确
B．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠3
C．淇淇的说法正确，a＜5，且a≠﹣3
D．淇淇的说法正确，a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5
【思路点拨】
根据（） A＝1，可以计算出A，然后根据A＜2和（a+3）（a﹣3）≠0，即可得到a的取值范围，从而可以判断哪个选项是正确的．
【解题过程】
解：∵（） A＝1，
∴A＝1÷（）
＝1
＝1
＝a﹣3，
∵A＜2，
∴a﹣3＜2，
解得a＜5，
又∵（a+3）（a﹣3）≠0，
∴a≠±3，
由上可得，当A＜2时，a的取值范围是a＜﹣3或﹣3＜a＜3或3＜a＜5，
故选：D．
10．（2022 渝中区校级模拟）已知关于x的一元一次不等式组的解集为x＞2，且关于y的分式方程1的解为正整数，则所有满足条件的所有整数a的和为（ ）
A．2 B．5 C．6 D．9
【思路点拨】
利用不等式组的解为x＞2，确定a的取值范围，解分式方程，当解为正整数时求得a值，将符合条件的a值相加即可得出结论．
【解题过程】
解：∵不等式组的解集为x＞2，
∴a﹣2≤2．
∴a≤4．
关于y的分式方程1的解为y．
∵y＝3是原分式方程的增根，
∴3．
∴a≠3．
∵关于y的分式方程1的解为正整数，
∴为正整数．
∴a＝2，4，7．
∵a≤4，
∴a＝2，4．
∴所有满足条件的所有整数a的和为：2+4＝6．
故选：C．
评卷人 得 分
二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）
11．（2022春 宜兴市校级月考）当x ≠1 时，分式有意义；如果分式的值为0，那么x的值是 1 ．
【思路点拨】
根据分式有意义的条件，分母不为0；分式值为0，即分子为0，分母不为0，进行计算即可解答．
【解题过程】
解：当x﹣1≠0时，
即当x≠1时，分式有意义，
∵分式的值为0，
∴x2﹣1＝0且x+1≠0，
∴x＝±1且x≠﹣1，
∴x＝1，
故答案为：≠1，1．
12．（真题 交城县期末）若关于x的分式方程会产生增根，则m的值为 ﹣4或6 ．
【思路点拨】
分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程计算即可求出m的值．
【解题过程】
解：去分母得：2（x+2）+mx＝3（x﹣2），
∵分式方程会产生增根，
∴（x+2）（x﹣2）＝0，
解得：x＝﹣2或x＝2，
把x＝﹣2代入整式方程得：﹣2m＝﹣12，
解得：m＝6；
把x＝2代入整式方程得：8+2m＝0，
解得：m＝﹣4，
则m的值是﹣4或6．
故答案为：﹣4或6．
13．（真题 江北区期末）已知，则 ．
【思路点拨】
根据已知可得3，从而得x3，然后先求出的值即可解答．
【解题过程】
解：∵，
∴3，
∴x3，
x2﹣1
＝x21
＝（x）2﹣2﹣1
＝32﹣3
＝6，
∴，
故答案为：．
14．（真题 思明区校级期末）已知三个数，x，y，z满足，则y的值是 ．
【思路点拨】
已知等式左边分子分母都除以分子，得到关系式，联立求出y的值即可．
【解题过程】
解：∵三个数，x，y，z满足3，，，
∴3，，，即①，②，③，
②﹣③得：④，
①+④得：，
解得：y．
故答案为：．
15．（2022 绵阳模拟）为落实“美丽科技城新区”的工作部署，市政府计划对新区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成，已知甲队的工作效率是乙队工作效率的1.5倍，甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，至少安排甲队工作 10 天．
【思路点拨】
设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．由题意：甲队改造720米的道路比乙队改造同样长的道路少用4天．列出分式方程，得出x＝60，则1.5x＝90，再设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，然后由题意：若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长2400米，改造总费用不超过195万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．
【解题过程】
解：设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米．
根据题意得：4，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原分式方程的解，且符合题意，
则1.5x＝90．
即乙工程队每天能改造道路的长度为60米，甲工程队每天能改造道路的长度为90米．
设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，
根据题意得：7m5≤195．
解得：m≥10．
即至少安排甲队工作10天，
故答案为：10．
评卷人 得 分
三．解答题（本大题共8小题，满分55分）
16．（2022春 镇平县月考）计算下列各题：
（1）（）；
（2）（） ．
【思路点拨】
（1）先化简第一个分式，再通分、计算分式的加减法；
（2）先计算括号内分式的减法，再计算乘法即可．
【解题过程】
解：（1）原式
；
（2）原式＝[]
＝（）
．
17．（2022春 靖江市校级月考）解方程：
（1）；
（2）．
【思路点拨】
（1）方程两边都乘（x+2）（x﹣2）得出（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可；
（2）方程两边都乘3（x﹣2）得出3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），求出方程的解，再进行检验即可．
【解题过程】
解：（1），
1，
方程两边都乘（x+2）（x﹣2），得（x+2）2﹣4＝（x+2）（x﹣2），
解得：x＝﹣1，
检验：当x＝﹣1时，（x+2）（x﹣2）≠0，
所以x＝﹣1是原方程的解，
即原方程的解是x＝﹣1；
（2），
1，
方程两边都乘3（x﹣2），得3（5x﹣4）＝2（2x+5）﹣3（x﹣2），
解得：x＝2，
检验：当x＝2时，3（x﹣2）＝0，
所以x＝2是增根，
即原方程无实数根．
18．（2022 济宁一模）化简：（）并从0≤x≤4中选取合适的整数代入求值．
【思路点拨】
先算括号内的，将除化为乘，化简后将有意义的x的值代入计算即可．
【解题过程】
解：原式＝[]
，
∵x＝0，x＝2和x＝4时原式无意义，
∴当x＝1时，
原式
．
19．（真题 丰台区期末）小刚在学习分式的运算时，探究出了一个分式的运算规律：
．
反过来，有．
运用这个运算规律可以计算：
11．
（1）请你运用这个运算规律计算： ；
（2）小刚尝试应用这个数学运算规律解决下面的问题：
一个容器装有1L水，按照如下要求把水倒出：第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，第3次倒出的水量是L的，第4次倒出的水量是L的第m次倒出的水量是L的按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗？
请你补充解决过程：
①列出倒m次水倒出的总水量的式子并计算；
②根据①的计算结果回答问题“按照这种倒水的方法，这1L水能倒完吗”，并说明理由．
【思路点拨】
（1）利用拆项方法变形即可得到结果；
（2）①由第1次倒出L水，第2次倒出的水量是L的，得出倒2次水倒出的总水量是，第3次倒出的水量是L的，那么倒3次水倒出的总水量是，同理得出倒m次水倒出的总水量的式子是，利用得出的拆项方法计算即可得到结果；
②将①的计算结果与1比较即可求解．
【解题过程】
解：（1）
．
故答案为：；
（2）①
＝1
＝1
（L）；
②这1L水不能倒完，理由如下：
∵1，
∴无论倒水次数m有多大，倒出的总水量总小于1L，
因此，按照这种倒水的方法，这1L水不能倒完．
20．（2022春 靖江市月考）阅读：在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度100%．
公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为 25% ．
拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．
解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？（设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程）
【思路点拨】
公式应用：直接应用公式代入求值即可；
拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意列分式方程，解方程并且检验即可；
解决本题：先表示出原来盐水的浓度，再表示加入c克盐后的盐水浓度，由于现在盐水浓度﹣原来盐水浓度大于0，可知盐水浓度变化．
【解题过程】
解：公式应用：盐水浓度为：25%，
故答案为：25%；
拓展延伸：设需蒸发m克，根据题意，
得，
解得m＝25，
经检验，m＝25是原方程的根，
∴需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍．
解决问题：食盐水的浓度变大了，理由如下：
∵原来盐水的浓度：，现在盐水的浓度：，
∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度，
∵a＞0，c＞0，且a＞b，
∴a+c＞0，a﹣b＞0，
∴0，
∴现在盐水的浓度﹣原来盐水的浓度＞0，
∴现在盐水浓度大于原来盐水的浓度，食盐水的浓度变大了．
21．（2022 蓬安县校级开学）某商贩用960元从批发市场购进某种水果销售，由于春节临近，几天后他又用1800元以每千克比第一次高出2元的价格购进这种水果，第二次购进水果的数量是第一次购进数量的1.5倍，设第一次购进水果的数量为x千克．
（1）用含x的式子表示：第二次购进水果为 1.5x 千克，第一次购进水果的单价为 元/千克；
（2）该商贩两次购进水果各多少千克？
（3）若商贩将两次购进的水果均按每千克15元的标价进行销售，为了在春节前将水果全部售完，在按标价售出m（100≤m≤200）千克后将余下部分每千克降价a（a为正整数）元全部售出，共获利为1440元，则a的值为 2或3 （直接写出结果）．
【思路点拨】
（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为元/千克，
（2）由题意：第二次购进水果的价格比第一次高出2元，列出分式方程，解方程即可；
（3）由题意：共获利为1440元，列出方程，求出符合题意的a的正整数解即可．
【解题过程】
解：（1）设第一次购进水果的数量为x千克，则第二次购进水果为1.5x千克，第一次购进水果的单价为元/千克，
故答案为：1.5x，；
（2）由题意得：2，
解得：x＝120，
经检验，x＝120是原方程的解，且符合题意，
则1.5x＝1.5×120＝180，
答：第一次购进水果120千克，第二次购进水果180千克；
（3）由题意得：15m+（15﹣a）（120+180﹣m）﹣960﹣1800＝1440，
解得：a，
∵a为正整数，100≤m≤200，
∴当a＝1时，m＝0，不合题意舍去；
当a＝2时，m＝150，符合题意；
当a＝3时，m＝200，符合题意；
当a＝4时，m＝225超过范围；
综上所述，a的值为2或3，
故答案为：2或3．
22．（2022春 海陵区校级月考）已知等式xy﹣2y﹣2＝0．
（1）①用含x的代数式表示y；
②若x、y均为正整数，求x、y的值；
（2）设p，q，y1、y2分别是分式中的x取x1、x2（x2＞x1＞2）时所对应的值，试比较p、q的大小，说明理由．
【思路点拨】
（1）将已知等式变形即可求出y；
（2）由于x、y均为正整数，所以x﹣2是2的正约数2或1，即可求出x和y的值；
（3）先将p和q化简，然后换元m＝x1﹣2，n＝x2﹣2，得出p﹣q，可知p﹣q＜0，从而得出p和q的大小关系．
【解题过程】
解：（1）∵xy﹣2y﹣2＝0，
∴（x﹣2）y＝2，
∴y；
（2）∵x、y均为正整数，
∴x﹣2＝2或1，
∴x＝4或3，
∴当x＝4时，y＝1，
当x＝3时，y＝2．
（3）p＜q，理由如下：
∵y1，y2，
∴q，
令m＝x1﹣2，n＝x2﹣2，
则p，q，
∴p﹣q（），
∵x2＞x1＞2，
∴m＞0，n＞0，
∴mn＞0，m+n＞0，（m﹣n）2＞0，
∴p﹣q＜0，
∴p＜q．
23．（2021 武进区校级自主招生）已知正实数x，y，z满足：xy+yz+zx≠1，且．
（1）求的值．
（2）证明：9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
【思路点拨】
（1）先去分母、去括号，重新分组后分解因式可得[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，从而得xyz＝x+y+z，将所求分式通分后代入可得结论；
（2）计算两边的差，把（1）中：xyz＝x+y+z，代入并计算可得差≥0，从而得结论．
【解题过程】
解：（1）由等式，
去分母得z（x2﹣1）（y2﹣1）+x（y2﹣1）（z2﹣1）+y（z2﹣1）（x2﹣1）＝4xyz，
x2y2z+xy2z2+x2yz2﹣[x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz]+（x+y+z）﹣xyz＝0，
xyz（xy+yz+zx）﹣（x+y+z）（xy+yz+zx）+（x+y+z）﹣xyz＝0，
∴[xyz﹣（x+y+z）]（xy+yz+zx﹣1）＝0，
∵xy+yz+zx≠1，
∴xy+yz+zx﹣1≠0，
∴xyz﹣（x+y+z）＝0，
∴xyz＝x+y+z，
∴原式．
（2）证明：由（1）得：xyz＝x+y+z，
又∵x，y，z为正实数，
∴9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8xyz（xy+yz+zx）
＝9（x+y）（y+z）（z+x）﹣8（x+y+z）（xy+yz+zx）
＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）﹣6xyz
＝x（y﹣z）2+y（z﹣x）2+z（x﹣y）2≥0．
∴9（x+y）（y+z）（z+x）≥8xyz（xy+yz+zx）．
注：（x+y）（y+z）（z+x）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+2xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+2xyz；
（x+y+z）（xy+yz+zx）＝x2y+xy2+y2z+yz2+z2x+zx2+3xyz＝x（y2+z2）+y（z2+x2）+z（x2+y2）+3xyz．21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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